1、实验三 用双线性变换法设计 IIR 滤波器1、实验目的1、了解两种工程上最常用的变换方法:脉冲响应不变法和双线性变换法。2、掌握双线性不变法设计 IIR 滤波器的原理及具体设计方法，熟悉双线性设计法设计低通、带通和高通 IIR 滤波器的计算机程序。3、观察用双线性变换法设计的滤波器的频域特性，并与脉冲响应不变法相比较，了解双线性变换法的特点。4、熟悉用双线性变换法设计数字 Butterworth 和 Chebyshev 滤波器的全过程。5、了解多项式乘积和多项式乘方运算的计算机编程方法。2、实验原理与方法从模拟滤波器设计 IIR 数字滤波器具有四种方法：微分差分变换法、脉冲响应不变法、双线性变
2、换法、匹配 Z 变换法；在工程上常用的是其中两种：脉冲响应不变法、双线性变换法。脉冲响应不变法需要经历如下步骤：由已知系统传输函数 H（s）计算系统冲击响应 h(t)；对 h(t)进行等间隔取样得到 h(n)=h(nT)；由 h(n)活的数字滤波器的系统响应H（z） 。这种方法非常直观，其算法宗旨是保证所设计的 IIR 滤波器的脉冲响应和响应模拟滤波器的冲击响应在采样点上完全一致。而双线性变换法的设计准则是使数字滤波器的频率响应与参考模拟滤波器的频率响应相似。脉冲响应不变法的优点是频率坐标的变换是线性的，缺点是有频谱的周期延拓效应，存在频谱混淆的现象。为了克服频谱混淆提出了双线性变换法，它依靠
3、双线性变换公式：，z= 其中，s= ，z=1zssjjre建立起 S 平面和 Z 平面的单值映射关系，数字频域和模拟频域之间的关系： ， （3-1）)2/(tgarctg由上面的关系式可知，当 时， 中止在折叠频率 处，整个 轴单值j的对应于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，不存在频谱混淆的问题。从式（3-1） 还可以看出，两者的频率不是线性关系。这种非线性关系使得通带截止频率、过渡带的边缘频率的相对位置都发生了非线性畸变。用双线性变换法设计数字滤波器时，一般总是先将数字滤波器的各临界频率经过（3-1）的频率预畸，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率，然后设计参考模拟滤波器的传
4、递参数，最后通过双线性变换式求得数字滤波器的传递函数。参考模拟滤波器的设计，可以，按照一般模拟滤波器的设计方法，利用已经成熟的一整套计算公式和大量的归一化设计表格和曲线，通过原型变换完成实际的滤波器设计。在本实验中，我们只涉及 Butterworth 和 Chebyshev 两种滤波器的设计，相应的这两种参考模拟原型滤波器的设计公式如下：Butterworth：阶数： )lg(/10lg. spspN传递函数： 10)()NkkcsasH5.0)(1kNjcke有关参数： Nssc21.)/(ppc21)0/(1.Chebyshev：阶数： )(/10.1sppschchN传递函数： Nkkp
5、psa yxH1)( in2/ )coskyjhx， =hxky2有关参数：波纹系数： 01.p综上所述，以 Butterworth 低通滤波器设计为例，可以将双线性变换法设计数字滤波器的步骤归纳如下：1、确定数字滤波器的性能指标。这些指标包括：通带、阻带临界频率 fpfs；通带内的最大衰减 ；阻带内的最小衰减 ；采样周期 T。ps2、确定相应的数字频率， ，fp2fss23、计算经过频率预畸的相应参考低通原型的频率 ， 。)(pptg)2(sstg4、计算低通原型阶数 N：计算 3db 归一化频率 ，从而求得低通原型的传递函数c。)(sHa5、用变换公式 s= ，代入 ，求得数字滤波器传递函
6、数：1z)(sHaH（z ）= )(sa1|z6、分析滤波器频域特性，检查其指标是否满足要求。三 实验内容及步骤(一)编制实验用主程序及相应子程序f=1;T=1/f;fp=?;fs=?;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2);Qs=2*f*tan(ws/2);n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,Rp,Rs,s);b,a=cheby1(n,f,Wn,high,s);close all;freqs(b,a);title(高通模拟滤波器的频率响应);bz,az=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,50,f);title(高通数字滤
7、波器的频率响应);（2）上机实验内容1、采样频率为 1Hz，设计一个 Chebyshev 高通数字滤波器，其中通带临界频率 fp=0.3HZ，通带内衰减小于 0.8db（ap=0.8db ） ，阻带临界频率 fs=0.2HZ，阻带衰减大于 20db（as=20db） 。求这个数字滤波器的传递函数 H（Z） ，输出它的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。f=1;T=1/f;fp=0.3;fs=0.2;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=tan(wp/2);Qs=tan(ws/2);n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,0.8,20,s);b,a=cheby
8、1(n,0.8,Wn, high,s);close all;bz,az=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,512,f);title(Chebyshev 高通数字滤波器的频率响应 );2、采样频率为 1Hz，设计一个数字低通滤波器，要求其通带临界频率fp=0.2HZ，通带内衰减小于 1db（ap=1db ） ，阻带临界频率 fs=0.3HZ，阻带衰减大于 25db（as=25db） 。求这个数字滤波器的传递函数 H（Z） ，输出它的幅频特性曲线。f=1;T=1/f;fp=0.2;fs=0.3;wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;Qp=2*f*tan(wp/2
9、);Qs=2*f*tan(ws/2);n,Wn=cheb1ord(Qp,Qs,1,25,s);b,a=cheby1(n,1,Wn, low,s);bz,az=bilinear(b,a,f);freqz(bz,az,512,f);title(数字低通滤波器的频率响应);3、设计 Butterworth 带通数字滤波器，其上下边带 1db 处的通带临界频率分别为 20kHZ 和 30kHZ（fp1=20kHZ,fp2=30kHZ,ap=1db）,当频率低于 15kHZ 时，衰减要大于 40db（fs=15kHZ,as=40db） ，采样周期为 10us，求这个数字滤波器的传递函数 H(Z)，输出它
10、的幅频特性曲线，观察其通带衰减和阻带衰减是否满足要求。T=10(-5);f=1/T;fp1=20000;fp2=30000;fs1=15000;fs2=35000;wp1=fp1/f*2;wp2=fp2/f*2;ws1=fs1/f*2;ws2=fs2/f*2;Rp=1;Rs=40;n,Wn=buttord(wp1 wp2,ws1 ws2,Rp,Rs);b,a=butter(n,Wn); freqz(b,a,512,f);title(Butterworth 带通数字滤波器的频率响应);四、思考题1、双线性变化法和脉冲响应不变法相比较。有哪些优点和缺点？为什么？2、双线性变换是一种非线性变换，在实验中你观察到这种非线性变换了吗？应该怎样从哪种数字滤波器幅频特性曲线中可以观察到这种非线性关系？
