1、1有理数、 无理数之战 小毅的小脑袋瓜里，整天琢磨着数学问题。一天晚上，他正在一道又一道地演算数学题，忽然听到屋后“乒乒叭叭”响起枪声。 “深更半夜，哪来的枪声？”小毅爬上屋后的小山一看，啊呀，山那边摆开了战场，两军对垒打得正凶。一方的军旗上写着“有理数”，另一方的军旗上写着“无理数”。 小毅记得老师讲过，整数和分数合在一起，构成有理数。无理数则是 无限 不循环小数。 “奇怪， 有理数和无理数怎么打起仗来了？” 小毅攀着小树和藤条，想下山看个究竟。突然，从草丛中跳出两个侦察兵，不容分说就把他抓起来。小毅一看，这两个侦察兵胸前都佩着胸章，一个上面写着“”，另一个上面写着“ ”。 31噢，他们都是
2、有理数。“你们为什么抓我？”小毅喊着。 “你是无理数，是个奸细！”侦察兵气势汹汹地说。 “我不是无理数，我是人！”小毅急忙解释。 侦察兵不听他的申辩，非要带小毅去见他们的司令不可。小毅问：“你们的司令是谁？” “大名鼎鼎的整数！”侦察兵骄傲地回答。 “那么多有理数，为什么偏偏让当司令呢？”小毅不明白。 侦察兵 回答说：“在我们有理数当中，是最基本、最有能力的了。只要有了，别的有理数都可以由造出来。比如吧，2=1+1；我是 ， ；再比如 0，01-1。” 311小毅被带进司令所在的一间大屋子里。这里有许多被捉的俘虏，屋子的一头，摆着一架光机模样的奇怪的机器。 “押上一个！”司令下命令。 两个士兵
3、押着一个被俘的人走上机器。只见荧光屏“啪”的一闪，显示出“20502”。 “整数，我们的人。”司令说完，又叫押上另一个。荧光屏显示为“ ”。 135“分数，也是有理数，是你们的人！”小毅憋不住地插嘴。司令满意地点点头。又押上一个，荧2光屏上显示出“0.35278= ”。 1035278“有限小数；有理数，是你们的人！”小毅继续说。接着押上的一个在荧光屏上显示出是“0.787 878 ”. 9“也是你们的人。”小毅兴奋地说，“循环小数，可以化成分数的。” 这时，又有一个俘虏被两个士兵硬拉上机器，荧光屏“啪”的一闪，出现“1.414= ”。不2等小毅开口，司令厉声喝道：“奸细，拉下去！”这个无理数
4、立刻被拖走了。接着荧光屏显示出一个数“0.101 001 0001 00001 000001”。 “这是循环小数吧？”小毅还没说完，那数猛地从机器上跳开想逃跑，却被士兵重新抓住。 “这是个无限不循环小数，是个无理数！”司令说道。小毅因为识别错了，脸都红了。这时，两个士兵请小毅站到机器上去，荧光屏立刻出现一个大字“人”。 “实在对不起！”司令抱歉地说，“到客厅坐坐吧。” 小毅问司令为什么要和无理数打仗。司令叹了口气说：“其实，这是迫不得已的。前几天，无理数送来一份照会，说他们的名字不好听，要求改名字。” “要改成什么名字？” “要把有理数改成比数，把无理数改成非比数。”司令说，“我想，千百年来人
5、们都这么叫，已经习惯了，何必改呢？就没有答应。谁知他们蛮不讲理，就动起武来了。” 小毅试探地问：“我来为你们调停调停好吗？他们无理数的司令是谁呢？” “是 ”司令答道， “我们也愿意协商解决这个问题。 ” 小毅来到无理数的军营。他问 司令为什么非要改名不可？ 司令说：“我们和有理数同样是数，为什么他们叫有理数，而我们叫无理数呢？我们究竟哪点无理？”说着， 司令激动起来。 小毅问：“那当初，为什么给你们起这个名字呢？” “那是历史的误会。” 司令说，“人类最先认识的是有理数。后来发现我们无理数时，对我们还不理解，觉得我们这些数的存在好像没有道理似的，因此取了无理数这么个难听的名 字。可是现在，人
6、们已经充分认识我们了，应该给我们摘掉无理这顶帽子才对！” “那你们为什么要叫非比数呢？” 3“你知道有理数和无理数最根本的区别吗？” 司令问小毅。不等小毅回答，他自己又接着说下去：“凡有理数，都可以化成两个整数之比；而无理数，无论如何也不能化成两个整数之比。” 小毅觉得 司令说得有道理，就点了点头，又试探着问：“那么，能不能想办法和平解决呢？ ” 司令见他诚心诚意，就说： “有一个好办法，但需要你帮忙。 ” “我一定尽力！”小毅答道。 司令高兴得一把拉住小毅的手： “你回家后，给数学学会写一封信，把我们的要求转达给国际数学组织，请他们发个通知，把有理数和无理数改为比数和非比数。只要人类承认了，
7、有理数也不能不答应。” 小毅答应回去试一试。他一面往家走，一面在心里嘀咕：要是数学家们不同意可怎么办呢？ 老师的话有理数是个翻译名词， rational number ，日本人把它翻译成“有理数” ，我们又从日文中把它移植过来，实际上这是一个误解，正确的翻译应该是 “指可以被精确地表示为两个整数之比的数” ，所以有理数实际上正确的翻译名称应该是“比数”才对，但是，有理数这个概念人们已经用了很多年了，习惯了这个叫法，不容易改过来，我们也就沿用原来的称呼，但是大家要明白，这个和语文中的“有理” 、 “无理”没有关系，根本不是一回事，下面我们来看看哪些数是有理数（或者说这些数怎样化成两个整数的比）1
8、、整数化成自身比 1=51 =261 1 = 1（8）526)(82、分数全都是有理数（不论正负以及真分数、假分数）4= 3643 =（ 5）2 = 2（5）4363、有限小数化成分母是 10、100、1000、10000的分数，再化成两个整数的比810251.10377.3104693693.44、无限循环小数化成分母是9、99、999、9999、99999（分母也可能是这些数的整 10、整 100、整 1000、整 10000倍）的分数，再化成两个整数的比比如：纯循环小数能化成分母是 9、99、999 等的分数0.Error! = 0.Error!Error! = 6.Error!3Err
9、or! = 6 + 957 9632510.Error!35Error! = 13如果是混循环小数（即不从小数点后第一位开始循环的小数）自己把带分数化成假分数，结果都有意不化简比如：循环节的长度为 1 位，能化成分母是 9 的整 10、整 100、整 1000倍的分数0.0Error! = 0.00Error! = 13.000Error! = 0.0000Error! = 905905907134比如：循环节的长度为 2 位，能化成分母是 99 的整10、整 100、整 1000倍的分数0.0Error!Error! = 0.00Error!Error! = 7.000Error!Error
10、! = 90519057 90760.0000Error!Error! = 83比如：循环节的长度为 3 位，能化成分母是 999 的整510、整 100、整 1000倍的分数0.0Error!2Error! = 0.00Error!3Error! = 0.050Error!2Error! = 0.05 + 9052690534= 0.0000321 = 901349021比如：循环节的长度为 4 位，能化成分母是 9999 的整10、整 100、整 1000倍的分数0.0Error!12Error! = 0.00Error!34Error! = 22.327Error!23Error! =
11、22.327+905123905348= 901234870.0000Error!21Error! = 以此类推，当然了，用任意一个质数作最简分数的分母都能很容易地得到循环小数，并不是非用 9 等作分母才行，你有兴趣可以自己算算 （= ） 、 （ 759142851384961532） 、 （ ）1935915784384206从上面的分析我们可以看出，不论是分数、小数、还是整数（包括 0）都可以化成两个整数的比，它们都是有理数；反之，不能化成两个整数比的数就是无理数，也就是无限不循环小数。也许有同学发现了一个问题，那就是 0.Error!不能用这个方法来化成分数，那么 0. Error!能化成分数吗？又怎么化呢？老师也回答不了这个问题，你有兴趣研究吗？加油吧！数学王国里还有很多很多这样的秘密等着你来探索和发现呢，比如上面的 、 、 等经过计75138466算你会发现它们都是循环小数，倒过来又可以用上面的方法把它们化成分母是 9、99、999或者90、900、9000或者990、9900、99000等的分数，那么可不可以说所有的质数都会是这些数中某个数的约数呢？
