1、蚌埠六中 七年级数学组 顾 良第 1 页 共 6 页解析有理数中蕴涵的数学思想同学们可能已经知道，我们所学习的数学知识好比是一棵大树的枝叶，而数学思想和数学思想方法就好比是这棵大树的树干.树干为枝叶的良好生长提高了丰富、充足的养分，同样数学思想和方法是数学知识的灵魂和纽带，它可以把若干的数学知识串联起来.因此，在平时的数学学习过程中，我们不仅要牢固掌握基础的数学知识，而且还要明晰其中蕴涵的数学思想和方法.这样，可以使得我们对数学知识有更加系统、深刻的了解和认识，同时也能做到对数学知识的高瞻远瞩、综观全局.下面就和同学们一起对有理数一章中的数学思想进行回顾、总结.一、分类讨论的思想我们在研究解决
2、有关问题的时候，常常根据问题的特点和具体要求，按照一定的标准，把这个问题分为若干种互不重复的情形，然后加以处理的一种数学思想就称为分类讨论的思想.分类讨论的思想在本章中体现得比较多，也比较充分.比如，对有理数的分类，我们可以有不同的分类标准，常见的有：（1）按照正负性分：；（2）按照整数、分数分： .在给出绝负 分 数负 整 数负 数 正 分 数正 整 数正 数有 理 数 0 负 分 数正 分 数分 数 负 整 数正 整 数整 数有 理 数 0对值的意义时，也是分类说明的：正数的绝对值等于其本身；负数的绝对值等于它的相反数；0 的绝对值是 0.同样，在给出有理数的加法法则时，也是通过分类的形式
3、确定的：同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；两个数中有一个为 0，和等于另一个加数.蚌埠六中 七年级数学组 顾 良第 2 页 共 6 页运用分类讨论的思想研究问题是非常有效的，它可以使得解决的对象更加清晰明了，把问题变大为小，变笼统为具体，最根本的是达到了容易解决问题的目的.当然，我们也要清楚，分类时必须遵循标准统一，不能重复也不能遗漏的原则.【例 1】若 a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?思路分析：a 是有理数它可能是正有理数、负有理数或 0，故需分a0，a=0,aO 时，|a|-a=a-a=0；当 a=
4、0 时，|a|-a=0-0=0；当 a0所以，对于任何有理数 a，|a|-a 都不会是负数小结：根据绝对值的意义， 是解决这类题目的关键二、数形结合的思想利用图形的性质研究数量关系，利用数量关系研究图形的性质，也就是把数与形进行转换，能够达到研究问题和解决问题的一种数学思想称为数形结合的思想.本章中的重要概念数轴就是典型的数形结合的产物，它帮助同学们具体、直观的理解了有理数有正数、0、负数的区分；依据数轴还帮助我们认识了相反数、绝对值的意义；结合数轴我们还总结归纳得到了有理数大小比较的方法、有理数的运算法则等.因此，数轴也具备了一种“工具”的功能.数形结合的思想实际上既把数形象化了，也把形具体
5、化了.这种思想所体现出来的方法，在我们以后的学习中将会得到更加充分的显示.蚌埠六中 七年级数学组 顾 良第 3 页 共 6 页【例 2】已知数轴上有两点 A、B，它们分别表示互为相反数的两个数a、b（其中 ab） ，并且 A、B 两点间的距离是 8，求 a、b 两数.分析：根据互为相反数的几何意义，从而得出 A、B 两点在数轴上的位置，根据数轴上的点所表示的有理数右边的数大于左边的数，正确解决问题.解：根据相反数的定义可知，因为 A、B 到原点的距离相等，即 A、B 互为相反数，它们之间的距离是 8，所以 A、B 距原点的距离都是 4，又因为ab，所以 A 点在原点右侧距原点 4 个单位处，B
6、 点在原点左侧距原点 4 个单位处，所以 a=4，b=-4.点评：若此题没有指明条件是 ab，则要分两种情况进行讨论，即ab 时，ab 时，分别求出 a、b 的值.【例 3】 有理数 a、b 满足 a0，b0 且|a|b|，用“”将a、b、-a、-b 排列起来.分析：要比较 a、b、-a、-b 的大小，可以在数轴上找到表示这四个数的点的位置，因|a|b|，故表示数 a 的点到原点的距离比表示数 b 的点到原点的距离要近，再根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的距离相等这一性质，在数轴上找出表示 a、b、-a、-b 的位置，即可知它们的大小.解：将 a、b、-a、-b 在数轴上的位置表示
7、出来（如图所示） ，由图可知-ba-ab点评：借助数轴，运用数形结合思想，使问题化难为易.【例 4】 一跳蚤在一直线上从 0 点开始，第 1 次向右跳 1 个单位，紧接着第 2 次向左跳 2 个单位，第 3 次向右跳 3 个单位，第 4 次向左跳 4 个单位，b -a 0 a -b蚌埠六中 七年级数学组 顾 良第 4 页 共 6 页，依此规律跳下去，当它跳第 100 次落下时，落点处离 0 点的距离是 个单位.析解：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示，以 0 点为原点，原点向右为正方向，第 1 次向右跳 1 个单位，其位置表示的点为 1；紧接着第 2次向左跳 2 个单位，其位置表示的点为
8、-1；第 3 次向右跳 3 个单位，其位置表示的点为 2；第 4 次向左跳 4 个单位，其位置表示的点为-2，依此规律跳下去，第 6 次，第 8 次，位置的点为-3，-4，第 100 次跳后落下，其位置表示的点为-50，故此时落点处离 0 点的距离是 50 个单位.三、转化（化归）的思想把所要研究和解决的新问题变化为已经熟悉的旧的知识，这样的处理思想就称为转化（化归）的思想.我们通常说的，把“未知”变为“已知” ，把“复杂”变为“简单”都是这种思想的具体反映.有理数的减法运算就是借助于相反数的作用转化为有理数的加法运算的，这样加减运算得到了统一；有理数的除法运算借助于倒数的作用转化为有理数的乘
9、法运算，同样乘除运算也得到了统一；有了绝对值的“穿针引线” ，有理数的运算都归结到了算术数的运算了，使得数的运算从本质上得到了统一.转化的思想是我们获取新知识，丰富知识体系结构的重要法宝，它所对应的数学方法也是我们复杂问题时的有力武器之一.以上是本章所蕴涵的三种主要的数学思想，同学们一定要认真体会，积极的思考和领悟.掌握数学思想和方法，就好比“本钱”充足了，但怎样用好这些思想和方法，绝不是一日之功，需要我们反复的揣摩，用心的体验和实践.【例 5】计算： )127()3(1分析：先把中括号内的减法转化成加法，再把除法转化成乘法蚌埠六中 七年级数学组 顾 良第 5 页 共 6 页解： = =)12
10、7()43(1)127(43()127(36= =-7)29(小结：运用转化思想，使解题过程变得明快、简捷四、整体思想用整体思想法解数学题，就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、求值等.这样做，不仅可以摆脱固定模式的束缚，使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题.（一）：整体分组.【例 6】 、计算 123+4+567+8+979899+100分析：看来要找规律，才好解，两个两个找，发现不了什么，再观察，发现数值的绝对值是连续整数，符号四个一组循环.把这 4 个一组的数作为一个整体.解：原式（123+4）+（567
11、+8）+（979899+100）0（二）：整体换元【例 7】 、计算 ()()()(123051231042130512 4 )分析：前后式中有不好是相同的项，把它们捆作不散，作为集团军用.蚌埠六中 七年级数学组 顾 良第 6 页 共 6 页解：设 ，则原式a123105 ()()aa12051205a2 205【例 8】 、求 2+22+23+24+25分析：一一计算，也行，若整体设元，就更快了.解：设 x2+2 2+23+24+25，则 2 x2 2+23+24+25+26，用得x2 6262.（三）：整体相约【例 9】 、计算 35247159351 1062分析：分子、分母的结构都一样，观察发现整体变化的倍数规律也一样.则分子、分母中能有相同的因式吗？解：原式 .)7531(23512整体观察，全局考虑，事半功倍，何乐而不为.
