1、1带电粒子在电磁场中运动的对称美赏析文朱 欣大自然奇妙而又神秘的对称美普遍存在于各种物理现象、物理过程和物理规律中从某种意义上讲，物理学的每一次重大突破都有美学思想在其中的体现用对称性思想去审题，从对称性角度去分析和解决问题，将给人耳目一新的感觉本文通过对带电粒子在电磁场中的运动问题的分析，体会其中的美学思想和对称美的感受 一、一片绿叶 例 1 如图 1 所示，在平面内有很多质量为、电量为的电子，从坐标原点 O 不断以相同的速率 沿不同方向平行平面射入第象限现加一垂直平面向里、磁感应强度为 B 的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于轴且沿轴正方向运动求符合条件的磁场的最小面积 （不考虑
2、电子之间的相互作用） 解 析 如 图 2 所 示 ， 电 子 在 磁 场 中 做 匀 速 圆 周 运 动 ， 半 径 为 在 由 O 点 射 入 第 象 限 的 所 有 电 子 中 ，沿 轴 正 方 向 射 出 的 电 子 转 过 1 4 圆 周 ， 速 度 变 为 沿 轴 正 方 向 ， 这 条 轨 迹 为 磁 场 区 域 的 上 边 界 下 面 确 定 磁 场 区 域 的 下边 界 设某电子做匀速圆周运动的圆心和点的连线与轴正方向夹角为 ，若离开磁场时电子速度变为沿轴正方向，其射出点（也就是轨迹与磁场边界的交点）的坐标为（、）由图中几何关系可得 ，消去参数 可知磁场区域的下边界满足的方程为
3、 （） （0，0） 这是一个圆的方程，圆心在（0，）处磁场区域为图中两条圆弧所围成的面积磁场的最小面积为 2（14） （12） ）（2） （2 ） 欣赏 由两条圆弧所围的磁场区域像一片嫩绿的树叶，青翠欲滴! 二、一朵梅花 例 2 如图 3 所示，两个共轴的圆筒形金属电极，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝、和，外筒的外半径为在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感应强度大小为在两极间加上电压，使两筒之间的区域内有沿半径向外的电场一质量为、带电量的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝的点出发，初速度为零如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S，则两极之间的电压 U 应是多少?（
4、不计重力，整个装置在真空中）2解析 如图 4 所示，带电粒子从 S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿出狭缝 a 而进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动粒子再回到 S 点的条件是能沿径向穿过狭缝只要穿过了，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过、，再经回到 S 点设粒子进入磁场区的速度大小为，根据动能定理，有 （12） 设粒子做匀速圆周运动的半径为 R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有 由前面的分析可知，要回到 S 点，粒子从到必经过 34 圆周，所以半径 R 必定等于筒的外半径，即由以上各式解得： 2 欣赏 粒子的运动轨迹构成了一朵
5、怒放的梅花，香气迎风而来! 三、一滴水珠 例 3 如图 5 所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场左侧匀强电场的场强大小为 E、方向水平向右，电场宽度为 L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里一个质量为、电量为、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的 O 点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到 O 点，然后重复上述运动过程求：（1）中间磁场区域的宽度； （2）带电粒子从 O 点开始运动到第一次回到 O 点的所用时间 t解析 （1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得 （12） ，带电粒子
6、在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得 ，3由以上两式，可得 （1）可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图 6 所示，三段圆弧的圆心组成的三角形 是等边三角形，其边长为2所以中间磁场区域的宽度为60（12） （2）在电场中 222 ，在中间磁场中 2（16）23，在右侧磁场中 （56）53，则粒子第一次回到 O 点的所用时间为 2 73欣赏 粒子在两磁场区的运动轨迹形成了一滴水珠，晶莹明亮! 四、一条波浪 例 4 如图 7（甲）所示，0 的区域内有如图 7（乙）所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场，磁场方向垂直纸面向外时为正方向现有一个质量为、电量为的带正电的粒子，在0 时刻从坐标原点 O 以速
7、度沿着与轴正方向成 75角射入粒子运动一段时间后到达 P 点，P 点的坐标为（，），此时粒子的速度方向与 OP 延长线的夹角为 30粒子只受磁场力作用（1）若 为已知量，试求带电粒子在磁场中运动的轨道半径 R 和周期 的表达式； （2）说明粒子在 OP 间运动的时间跟所加磁场变化周期 T 之间应有什么样关系才能使粒子完成上述运动； （3）若 为未知量，那么所加磁场的变化周期 T、磁感应强度 的大小各应满足什么条件，才能使粒子完成上述运动?（写出、 应满足条件的表达式） 解析 （1）由牛顿第二定律，可得 ， ，粒子运动的周期 22 4（2）根据粒子经过 O 点和 P 点的速度方向和磁场的方向可判
8、断：粒子由 O 点到 P 点运动过程可能在磁场变化的半个周期之内完成；当磁场方向改变时，粒子绕行方向也改变，磁场方向变化具有周期性，粒子绕行方向也具有周期性，因此粒子由 O 点到 P 点的运动过程也可能在磁场变化的半个周期的奇数倍时间完成 （3）若粒子由 O 点到 P 点的运动过程在磁场变化的半个周期之内完成，则磁场变化周期与粒子运动周期应满足：2 6，由图 8 可知粒子运动的半径为 ，又 ， 2 ，所以、 分别满足： 2， 23 2 3 若粒子由 O 点到 P 点的运动过程在磁场变化的半个周期的奇数倍时间完成，则磁场变化周期与粒子运动周期应满足（21）2（21） 6，2，3，由图 8 可知
9、（21），又 ， 2 所以、 分别满足 （21） 2， 2 3（21）其中2，3，欣赏 带电粒子在磁场中周期性的运动像一条缓缓前行的波浪，浪花点点! 五、一颗明星 例 5 如图 9 所示，一个质量为、电量为的正离子，从 A 点正对着圆心 O 以速度 v 射入半径为 R 的绝缘圆筒中圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B要使带电粒子与圆筒内壁碰撞两次后仍从 A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力解 析 由 于 离 子 与 圆 筒 内 壁 碰 撞 时 无 能 量 和 电 量 损 失 ， 每 次 碰 撞 后 离 子 的 速 度
10、方 向 都 沿 半 径 方 向 指 向 圆 心 ， 并 且 离 子 运动 的 轨 迹 是 对 称 的 ， 如 图 10 所 示 每 相 邻 两 次 碰 撞 点 之 间 圆 弧 所 对 的 圆 心 角 为 120 由 几 何 知 识 可 知 ， 离 子 运 动 的 半 径 为560 ，离子运动的周期为 2，又 ，所以离子在磁场中运动的时间为 3（16） 3 欣赏 离子运动的轨迹构成了一颗星星，闪闪发光! 六、一弯残月 例 6 如图 11（a）所示，有一匀强磁场，磁感应强度为 B，方向垂直所在的纸面向外某时刻在 、0 处，一质子沿轴的负方向进入磁场；同一时刻，在 、0 处，一个 粒子进入磁场，速度
11、方向与磁场垂直不考虑质子与 粒子间的相互作用，质子的质量为、电量为（1）如果质子经过坐标原点 O，它的速度为多大? （2）如果 粒子与质子在坐标原点 O 相遇， 粒子的速度为多大?方向如何? 解析 （1）根据质子进入磁场的位置和速度方向可知，质子运动的圆心必在轴上，又因质子经过坐标原点，故其轨道半径 （12） ，由 ，得 2 （2）质子运动的周期 2 粒子的电量为 2，质量为 4，运动的周期 42 质子在（12） ，（32） ，（52） 时刻通过 O 点，若 粒子与质子在 O 点相遇， 粒子必在质子经过 O 点的同一时刻到达，这些时刻分别对应于（14） ，（34） 如果 粒子在时刻（14） 到
12、达 O 点，它运行了（14） 圆周所对应的弦；如果 粒子在时刻（34） 到达 O 点，它运行了（34） 圆周所对应的弦，如图 11（b）所示（54） 等情况不必考虑）由图可知， 粒子轨道半径 （ 2） ，由 4 22 ，得 4，方向有两个，即与 x 轴正方向夹角分别为 （14）， （34） 欣赏 粒子的运动轨迹形成了一弯残月，令人浮想联翩! 七、一只蝴蝶 例 7 如图 12（a）所示，在平面上的范围内有一片稀疏的电子，从 x 轴的负半轴的远处以相同的速率 沿 x 轴正向平行地向 y 轴射来试设计一个磁场区域，使得6（1）所有电子都能在磁场力作用下通过原点 O； （2）这一片电子最后扩展到22范
13、围内，继续沿 x 轴正向平行地以相同的速率 向远处射出已知电子的电量为、质量为，不考虑电子间的相互作用 解析 根据题意，电子在 O 点先会聚再发散，因此电子在第象限的运动情况可以依照例 1 来分析即只有当磁场垂直纸面向里、沿 y 轴正方向射入的电子运动轨迹为磁场上边界（如图中实线 1 所示）、沿其它方向射入第象限磁场的电子均在实线 2（磁场下边界）各对应点上才平行 x 轴射出磁场，这些点应满足 （2） （2） 实线1、2 的交集即为第象限内的磁场区域由 ，得 2，方向垂直平面向里 显然，电子在第象限的运动过程，可以看成是第象限的逆过程即只有当磁场垂直纸面向外，平行于轴向右且距 x 轴为 H 的
14、入射电子运动轨迹则为磁场下边界（如图中实线 1所示）、沿与 x 轴平行方向入射的其他电子均在实线 2（磁场上边界）各对应点发生偏转并会聚于 O 点，这些点应满足 （） 实线 1、2的交集即为第象限内的磁场区域所以 ，方向垂直平面向外 同理，可在第、象限内画出分别与第、象限对称的磁场区域，其中 ，方向垂直平面向里； 2，方向垂直平面向外欣赏 全部磁场区域的分布极像一只漂亮的蝴蝶，赏心悦目! 八、一幅窗帘 例 8 如图 13 所示，正方形匀强磁场区边界长为 a、由光滑绝缘壁围成，质量为 m、电量为 q 的带正电的粒子垂直于磁场方向和边界，从下边界正中央的 A 孔射入磁场中粒子碰撞时无能量和电量损失
15、，不计重力和碰撞时间，磁感应强度的大小为 B，粒子在磁场中运动的半径小于欲使粒子仍能从 A 孔处射出，粒子的入射速度应为多少?在磁场中运动时间是多少?解析 欲使粒子仍能从 A 孔处射出，粒子的运动轨迹可能是如图 14 甲、乙所示的两种情形 对图 14 甲所示的情形，粒子运动的半径为 R，则 2（21），0，1又 ， 2，所以 2（21）， （41）2（21），0，1，2， 对图 14 乙所示情形，粒子运动的半径为，则74，1，2，又 ， 所以 4， 224（2），1，2， 欣赏 粒子的运动轨迹组成了一幅美丽的窗帘，可谓巧夺天工! 物理学家温伯格说：“目前物理学中最有希望的探索方法就是透过现象世界与表层结构的迷雾去发现隐藏在事物深处的对称性”由此可见，对称性思想在物理学中的应用是广泛的，也是很重要的，所以我们在平时的生活和学习中要逐渐培养美学思维能力
