1、第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie12.1、质点在有心力 的作用下运动，质点的速度的大小为 ，这里 a 是常数。()Fr /vr已知 时 ，速度与矢径间夹角为 。求质点的轨道方程。00解：质点受到有心力的作用，在极坐标系中有： ，2rh222()()ahvrr化简得： ，变形有：2 2drrhdaht分离变量： ，积分有： c 为积分常数21()1adrh2()1ache初始条件： 时 00代入初始条件可得： ，故0lnrc2()10ahe又速度与矢径间夹角为 ，与 比较可知：rvhtgtrctgr 2rh22()1ahctacth所以质点的轨道方程为： 0ctgre2.2
2、、木星轨道的半长轴长度是 5.2 天文单位(1 天文单位为 ，是太阳与地球的平81.50km均距离)。已知地球和木星的轨道都接近圆形。求出(i)木星绕太阳运动的周期(ii)木星的平均轨道速率。解：(i)由牛二定律知： ，22=mGrr木 星 太 阳 木 星 木 星 木 太木 太 22Grr地 球 太 阳 地 球 地 球 地 太地 太可解得： ，式中3/2()1.9地 太木 星 地 球 地 球 木 太 1地 球 年(ii)因接近圆形 9.60.2.0vrr木 星 木 星 木 太 地 球 木 太 地 球 地 球2.3、月球的质量和半径分别是 和 ，其中 分别是球球的013em73eR,emR质量和
3、半径。已知地球半径约为 6370km，试求(i)月球表面处的重力加速度第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie2(ii)若在月球表面发射火箭，使之脱离月球，则火箭的发射速度至少是多少？解：(i)物体(质量为 )在月球表面处受到的重力可看是成有引力的体现：m 2mgGR同理此物体放在地球表面时有： 2emgGR两式相除有： 2 221()9.803()/.6/.7eRg ssm(ii)只考虑火箭( 质量为 )和月球之间的引力，那么火箭和月球机械能守恒(取无穷远处为0 势能)。火箭刚好脱离月球时，火箭的最小速度为 0，势能为 0，若月球的势能为 V，则有： 2minmin1 2.54
4、62.38/eGVvGVvgRgkmsR2.4、如果质点受到的有心力为 ，式中 及 都是常数，并且 。23()rFe2h试证其轨道方程可写为： ，式中 ， ，/(1cos)raek2h2ka，A 为积分常数，2khe2h解：代入比内公式有：223()()duFmuh化简为：2220duh正是简谐振动方程，故其通解为： ，A 为积分常220dh 2coshu数观察 的形式，显然有特解 ，代入可得：222uc2ch所以 的通解为：2220dh221oshuAr第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie3从而222221coscos1hrhAA由已知 ， ， ，代入可得：2k2ka2kh
5、e/(cos)raek2.5、一质点受遵循万有引力定律的有心力作用，作椭圆运动。 和 是过椭圆中心一直1P2径的两端， 和 分别是质点在 和 处的速率。证明当 和 不是短轴端点时1v21P2， 是质点在短轴端点处的速率21b证明：如图所示，由于椭圆具有中心对称性，所以设 的坐标为 和 的坐标为1P0(,)xy2P， ， ，由椭圆的定义知 ， 到准线0(,)xy212PFr1PFr2ra1的距离为 ，由椭圆的定义知2ac0xc120cax即 10ra那么2121000()()()ccrxaxa质点受到万有引力定律的有心力作用，机械能守恒：在 有：1P21kmvEr在 点有：22在短轴端点有：21
6、bkmvEa那么有：Fo x1r2by20(,)Px0(,)Py2ac第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie44 422 2121121 14 4122220()()()4()rkkmvEkEkrraakcx2424 22241 1() ()bkmvEEkaEkaa因 和 不是短轴端点，故 ，所以 ，即1P220x2241)bmvv21bv2.6、设地球的半径为 ，质量是 。证明人造卫星在地球引力场中以椭圆轨道运动的速R率由下式表示： 。其中， 是质点能脱离地球的逃逸速度，1()2evraeGR即第二宇宙速度； 是卫星轨道半长轴的长度。证明：由平方反比引力下质点椭圆轨道极坐标方
7、程 知：221cos1csmhpkreA在近日点( )有： ，在远日点( )有：0min1premax又质点受受遵循万有引力定律的有心力作用，故机械能守恒： 222422in0mininmi111(|) ()kkhkeEvr krrhp 因2minax11ppr aeeE于是有： ，即2kE2kvr又因 ，所以有：2G211()()2GmRara那么 证毕。1()emvRvRrar2.7、太阳绕银河系中心运动，其轨道运动速度约为 250km/s，离银河系中心的距离为30000 光年。以太阳质量 为单位，估计一下银河系的总质量s gm解：由于太阳绕银河系中心做圆周运动，有：2ssGvr第二章_有
8、心运动和两体问题_习题解答_By XuJie5查表有： ，1326.70/Gmkgs 301.98skg解得：254 411(.)06524.606.7sgvr kg所以41130.6.98sm从而银河系的质量 1.gsm2.8、一质点质量为 ，在有心引力 作用下运动。试问质点的能量 及角动量的大小3krE分别为何值时，质点将按轨道 运动？这里 均为已知常数。Lbae,ab解：质点受到有心力的作用，故角动量守恒： 2mrL因 ，所以 ，brae1braer 222311bLrmr由牛顿第二定律可知： 23232()()kbLkFrr若取无穷远处的势能为零则 332()rrkVrddr机械能守恒
9、： 2222211() 0bkEmLmr所以只有当 ， 时，质点将按轨道 运动02kLbbae2.9、一质量为 的质点受两体谐振势 的有心力作用。初始时质点沿半径为21()Vrk的圆轨道运动。r(i)求出质点圆轨道运动的速度 0v(ii)如果质点在轨道平面内受到一与速度成 角的大小为 的冲量作用，求质点在此0Imv后的运动中离力心的最大和最小距离(iii)当 和 时，从物理上对你所得到的结果分别作出解释0解：(i) 质点受两体谐振势 时，有心力为：21()Vrk0vI第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie6()()rrFrVek质点做圆周运动，故有 ，解得20vm0kvrm(i
10、i) 由题意知，初始时刻， 时， ， ，t0cos()sin2vv02cosv与 成 的夹角。/质点受有心力，施以冲量 I 后，角动量仍然守恒：(1)2 20sin()cos2z zzzmvemrvemrveh由极坐标系下的牛二定律知：223()()k23hkddmt23()积分有：222hkcm代入初始时刻质点运动的条件有： 220sinkrcv220sinhkcvrm所以有： 2 22 2220 021sin()()sinkhkkvrrvm把 ， 代入可得：20cohr0rm242221s()()sink rmr由高数中求极值的知识可知，只需满足 时， 有极值。0第二章_有心运动和两体问题
11、_习题解答_By XuJie7当 242221cos()()sin0krrmr即 42424(inco化简有： 23cos)(1s)0rr求根公式得： 224242()()(co)3cos5cosr所以 24显然当 时，质点离力心最远3cos5cosr时，质点离力心最近24或者利用机械能守恒和角动量守恒： 222111()mvkrk2 20sincosz zzzevemrveh把 和 代入可得：0cosv22/h242221()()sinkrrmr(iii) 当 时，0cos那么 ，又质点的轨道方程为： 242221cos()()sinkrrmr第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By Xu
12、Jie8242222421cos()()sin(5)krrmrrkr所以当 时，质点在 到 的范围内，遵循运动规律0r2 4222(5)krm当 时， ，那么 ，cos1r02422222()()sin1cos()krmrrkr 所以当 时，质点在 0 到 的范围内，遵循运动规律r22()krm2.10、一慧星在近日点处离太阳的距离是地球轨道半径的一半(假定地球作圆轨道运动) ，在该处慧星的速率是地球轨道速率的二倍，试从守恒定律出发。(i)求出慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率(ii)问此慧星的轨道是椭圆、抛物线还是双曲线？为什么？(iii)它能脱离太阳系吗？解：设慧星、地球和太阳的质量分别为
13、： 。地球轨道半径为 R，地球轨道速率,cesm，慧星轨道与地球轨道相交处慧星的速率为0v v(i) 地球作圆轨道运动： 即202eseGR20sR慧星受到万有引的作用，机械能守恒： 2 2011()cs csc cmmEvv所以 ， ，T 为 1 年，R 查表，可求出速率。(ii)在平方反比引力作用下，设其轨道方程为： ，这里cospre2csmhG在近日点： min21Rpre机械能守恒：第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie92222minimininmin()1() (10csccscscGhGEr errh即 ，所以慧星的轨道为抛物线。e(iii)由于慧星的机械能为
14、0，动能可以用来克服引力势能，理论上能脱离太阳系。2.11、由于核电荷部分地被原了中的电子所屏蔽，屏蔽库仑势为 ，其中/()rakVe， 为原子序数。试讨论电子在上述势场中作圆轨道运动时的稳定条件。2kZe解：电子受到库仑力作用，机械能守恒： 22 2 2111()()()reae e emhkEmrVr Ur式中 为电子的有效势22()()reeahkUr因 1()radkV由稳定性条件知，只需使有效势为最小值，电子稳定。所以 ，即2/31()()0raemhkUrd22/1()raemhrek22/ /422()()()0raraerr即23/22/311()()raraemhek代入 得
15、：22/()raer，化简得：32/22/1 13()()()rarararee220ra于是可解得 50r2.12、地球轨道的偏心率 。今若沿其半短轴将椭圆轨道分割为两半，证明地球0.167e在这两个半轨道运行的时间分别为 ；计算一下它们相差多少天？()2eT证明：若椭圆的长半轴为 ，则短半轴为 ，半焦距为a21bacae地球周期为 ，建立如图所示的直角坐标系365TdOxy第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie10因地球是在太阳的万有引力作用下作椭圆运动，为有心力。角动量守恒： ，变形有：2mrL12Lrttm等式左侧正好是地球轨道与太阳连线的面积，说明了太阳扫过的面积与时
16、间是成正比(开普勒定律) 。那么椭圆的面积为：2200441aaxbSbdxd令 ，那么 ，所以椭圆的面积为：sinxa()cos/22 200/ /4incos(cs1)bSxdadbab沿半短轴将椭圆轨道分割为两半后，左侧和右侧分别扫过的面积为： 121 ()2FPSae12b又地球周期为 ，所以：365Td12ST，1()2()abeS2()1()2abeTS与 相差0.16735.84Td2.13、质量为 的质点在有心斥力场 中运动，式中 是力心到质点的距离。 为常m3/mcrrc数。当质点离力心很远时，质点的速度为 ，瞄准距离是 。试求质点与力心间可能达到v的最近距离 d解法 1：由
17、于质点在有心斥力场中运动，采用极坐标系，并选择力心为极点，则可列出运动学方程： 23()/(1)2mrcrh由（1）和（2）式可得 32(3)rc令 ，则 ， ， ，代入/u2hudrduhtt 22udurh（3）式有FO1P2PAByx第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie112()0(4)duhch（4）式是典型的简谐振动方程，具有如下形式的解： 2cos()(5)uAh式中参数 和 待定。对（5）式两边分别对 求导变形有：22sin()(6duchch把（5） 、 （6）两式分别平方后两端再分别相加可得：22()(7)uAcd因 时， ，即 时， ，代入（7）式可得：r
18、rv0uvdh2vAch又角动量守恒， ，所以有：0Lhm2(8)vAc因 ，所以求 最小，也即求 最大。由（5）式知 最大值为 A，从而有：1/urruu2minv解法 2：利用机械能守恒和角动量守恒，以及条件 时， 有最小值0r有心斥力场 中势能为：3/cr 32mcVFd角动量守恒， 0Lhv设无穷远处的势能为零机械能守恒：22 22111()()chcTVmrmrmvr当质点的径向速度为 0 时，质点离力心最近，即 ，那么 处的机械能为：0in2222minin11()hchcTr vrr第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie12可解得：22mincvhrv解法 3：机
19、械能守恒： 222min11cTVvr角动量守恒： minvr同样求得22mincvhr2.14、试求出上题中质点受力心散射后的散射角 ，并求出微分散射截面。解：由上题可知， ，即2cos()uAh211s()cos()rhA式中 ，2v22cvh当 时， ，即 ， rcos()0An1,2.2n所以两支渐近线分别对应的角为： ，122两支渐近线之间的夹角为： 2那么散射角为： ，或2vc22()cv微分散射截面为： 2d由散射角公式 微分可知：2vc第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie132 2 222 22 22()()vvvdddcccvcdvvcd 所以2 22()2
20、 sinsivcvd dc 2 22 2()()sinsi idvvc 把 代入可得：22()c 2222 22 ()()()sinsin()i ccvcvdddvv 即 22()sindc2.15、在光滑水平桌面上，两个质量分别为 和 的质点由一不可伸长的绳联结，绳穿过m固定在水平桌面上的光滑小环，如图所示，若 与小环相距 时获得垂直于绳的初速，试d写出质点 的轨道微分方程，并解出它的运动轨道方程。m解：设绳长为 ，建立平面极坐标系，选择圆环为极点，质点 初始时绳方向为极轴。l若 的位置矢量为 ，绳子张力为 ，则 的位置矢量为 ，绳子张力为rerTe()rlerTe对 ：(1)2()rTh对
21、 ： (2)m2()drlt令 ，代入(1)和(2) 有：1/u(3)2()hTd 0vmd第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie14(4)2dumhT联立(3)和(4)有： (5)2()0cos()dummuA又初始时刻，质点 状态： ， ， ， 即 ， ，rr0v1ud0u由(5)式知 (6)sin()duA把初始条件代入(5)、(6) 可得： ，01Ad/cosmrd2.16、质量为 的质点 ，置于光滑的水平桌面上运动，如图所示。此质点系有一根轻绳，绳子穿过桌面 处的光滑小孔下垂，并挂有一同样质量的质点 B。若质点 A 在桌面上离小O孔距离为 处，沿垂直于绳子方向以初速率
22、 射出，证明质点在此后运动中离d9/2vgd点的距离必在 与 之间。3证明：采用柱坐标系，圆环为极点， 轴垂直于桌面。z若 的的位置矢量为 ，绳子张力为ArerTe则 的位置矢量为 ，绳子张力为m()zlz对 ：角动量守恒有：(1)2()r zzzeermdveh牛顿第二定律： (2)(T对 ：牛顿第二定律： (3)B2()rlgdtA 初始时刻的状态： ， ， ， (4)09/2rvd由(2)、(3)有： ，即2rg 32drhgt 分离变量：23()hdr积分有：2rgCvAdB第二章_有心运动和两体问题_习题解答_By XuJie15代入(4)有：2hCgd所以22rr由(1)知： ，即hvd329gdv因此3229144grr为求 的范围，即求 的最大值和最小值，数学上体现在求 0r从而令3220dgdrr变形有： 32349因式分解： ()()0rdrd解出 或 ( 舍去)34所以质点在此后运动中离 点的距离必在 与 之间。O3或利用角动量守恒和机械能守恒：(对 A)2()r zzzmeemrdveh(对 AB)2 22111)()rlvgldmglrt同样可得322944grr
