1、最优化在数学建模中的应用1海 南 大 学毕 业 论 文（设计）题 目： 最优化在数学建模中的应用 学 号： 20081605B008 年 级： 2009 级 学 院： 信息科学技术学 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 完成日期： 2013 年 4 月 19 日 最优化在数学建模中的应用2摘 要最优化方法是一种崭新的技术，它在自动控制、物质运输、机械设计、采矿冶金、工程规划等科学技术领域中有广泛应用，关键词：最优化方法、线性规划，目标函数、约束条件、决策变量最优化在数学建模中的应用3AbstractIn the daily life and work we often encounte
2、r a variety of data need to be processed, we usually take the mathematical modeling approach to abstraction, the actual problems by using mathematical knowledge, mathematical model is established, and then by using the method of mathematics and computer technology to solve. So the complex practical
3、problems are simplified, so that the practical problem can be solved.The optimization method plays a more and more important role in solving practical problems, this paper through several practical to introduce how to through the establishment of mathematical model, to get the results. Through the e
4、stablishment of mathematical model of the actual problem, and the optimal treatment method to explain and elaborate practical life, great to do with optimization method.Keywords: optimization, linear programming, objective function, constraint condition, the decision variables最优化在数学建模中的应用4目 录一、 引言 .
5、51.1 选题背景及意义 .51.2 国内外研究进展 .51.3 本文探讨的内容 .5二、 理论知识 .62.1 线性规划模型 .62.2 线性规划的几种解法 .62.2.1 图解法 .62.2.2 单纯形法 .72.3 灵敏度分析 .82.4 非线性规划模型 .82.5 一维搜索法 .82.6 无约束最优化模型 .92.7 约束最优化模型 .9三、 应用实例 .103.1 工程施工的土方运输问题 .103.11 模型的建立 .113.1.2 数据的处理 .123.1.3 运用 Excel 求解的具体操作步骤 .1331.4 模型的求解 .143.2 公交车调度问题 .173.2.1 模型的建
6、立 .183.2.2 模型的求解 .193.2.3 小结 .223.3 资金最优使用方案 .223.3.1 模型的建立 .223.3.2 模型的求解 .23四、 总结 .24附录 1.27附录 2.28最优化在数学建模中的应用5一、 引言1.1 选题背景及意义从理论上讲，通过学习最优化方法，不仅使我们处理实际问题更加方便快捷，而且可以训练我们的逻辑思维方式，体会最优化方法在数学建模中的巨大的实际意义，了解通过建模来解决实际问题的全过程，更可以使我们对最优化方法以及对 Matlab 软件的使用予以熟悉和巩固。在现实生活中，由于越来越趋于多元化发展的经济，使得数学的应用越来越广泛，其中越来越多的实
7、际问题需要我们使用数学建模的思想来予以解决，而为了获得最优化的解决方式，从而获得最好的收益，最优化方法在数学建模中的应用也一步一步的被人们所了解，重视。人们通过对最优化思想的研究为今后处理各种各样实际问题，特别是愈来愈火的经济问题打下坚实的理论基础。1.2 国内外研究进展最优化问题的发展历史相当长久，最早开始于牛顿、拉格朗日时代，由于牛顿等对微积分的重要贡献，才使得差分方程法解决最优化问题的方法变成可行，先锋者包括贝诺利(Bemot)，欧拉(Eller)和拉格郎日等。20 世纪 50 年代出现了高速计算机，最优化的发展进入蓬勃发展期，出现了大量的新型算法。Dantzig 提出了解决线性规划问题
8、的 simplex 方法； Bellman 提出了动态规划的最优化最优性原理，使得约束最优化变为可能性；Kuhn 和 Tucher 提出的最优化规划问题的充分和必要条件开创了非线性规划优化技术的基础。构成现代优化理论的相关技术是遗传算法 GA、模拟退火 SA、 、禁忌搜索、蚁群算法、神经网络、EDA、CMA-ES 等现代启发式最优化算法，他们均是从上世纪 60 年代发展起来的，这些算法同样是建模产生的.1.3 本文探讨的内容追求最优化目标基于人类的理想,最优化方法就是从众多可能方案中选择最佳者,以达到最优目标的科学方法。随着现代化生产的发展和科学技术的进步，人们越来越重视最优化方法。当求解一个
9、实际的最优化问题时，首先要把这个问题进行转化，即建立数学模型，使得问题得到最优化的解决。而其中最难进行的就是模型的建立，万事开头难，建立一个好的模型是解决问题的关键，而好的模型的构造是一种创造，成功的模型往往是科学和艺术的结晶。本文就是通过对最优化方法和数学模型的学习与建立，浅谈最优化的一些实际问题如何通过数学模型的建立来解决，以及建模过程中遇到的问题如何解决，从而提高对所学知识的认识和理解能力。最优化在数学建模中的应用6二、 理论知识2.1 线性规划模型线性规划问题的一般形式为：min z =c1x1+.+cnxnst ai1x1+ai2x2+.+ainxn=bi ， i=1，.，pai1x
10、1+ai1x2+.+ainxn bi i=p+1，mxj 0 ， j=1，.qxj0, j=q+1,.n其中 xj，j=1 ，n，为待定的决策变量，已知的系数 aij 组成的矩阵a11 a12 . a1nA= a21 a22 . a2n.am1 am2 . amn目标函数：z= ，如果原问题是求目标函数最大值，可等价转换为求 jxcnj1的最小值。一个满足所有约束条件的向量 x=（x 1，.，x n），称为问njjxc1)(题的可行解，所有的可行点组成的集合称为问题的可行区域，记为 D。由现行代数和微积分中求条件极值可以知道，当 D 为空集时，称该问题无解，D 不是空集，但目标函数在 D 上面
11、无界时，该问题无界，当 D 不是空集，且目标函数有有限个最优值，此时该问题有最优解。求一个线性规划问题就是判断该问题是否有最优解，当有最优解时，还需要在可行区域中求出使目标函数打到最小值的点，也就是目标函数的最优值。2.2线性规划的几种解法2.2.1 图解法如果一个线性规划只有两个变量，则它的可行区域在平面上具体的能够被画出，便于直接观察，同事又可以快捷的使用目标函数与可行区域的关系，那最优化在数学建模中的应用7么我们采用图解法解决该问题例：解线性规则max z=-x1+x2st 2x1-x2 x1-2x2x1+x2 x1 x250解这一问题的可行区域如图所示，变量 x1，x 2 的非负约束决
12、定了图形在第一象限内，由 3 个不等式决定了可行区域的范围，即图上阴影部分，当移动到A2 时，继续移动就不再相交，则 A2 为最优解，最优值为 Z=-1+4=3.求解上述过程的方法即为图解法图 1 图解法2.2.2 单纯形法考虑标准形式的 LP 问题min z = cTxst Ax=bx 0仍假设 D 非空，秩（A）=mn，A 为-m 实矩阵，我们知道，如果他有n最优解，则必可以在某一点达到，因而只需要在基本可行解集合中寻找即可，单纯形方法主要思想就是先找一个基本可行解，判别它是否最优，不是就继续找，直到找到或者判定无界。最优化在数学建模中的应用8直接用公式进行单纯形法是很不方便的，其中最复杂
13、的就是进行基变换，但施行基变换所用的实际上是消元法，我们可以将单纯形法的全部过程在一个类似增广矩阵的数表上进行，这种表格称为单纯形表，利用单纯形表解决单纯形问题是非常简化的方法，这里就不赘述了。2.3 灵敏度分析在设计实际的线性规划模型时，所收集的数据不是很精确，另一方面在市场经济大环境下，信息瞬息万变，当研究数据发生变化时，考虑解的变化情况是很重要的，因此，灵敏度分析就相当重要。改变价值向量，或者是改变右端向量，在同样的约束条件下求解，当原问题只有个别数据改变，特别是变化幅度不大的时候，用灵敏度分析要比对原问题从头求解简便许多，而这正是很多具体问题在修改数据时候经常碰到的。2.4 非线性规划
14、模型关于非线性规划问题，这里举个简单的例子进行说明。令 x=（ x1， xn） T 是 n 维欧式空间 Rn 中的一个点，f（x） ，g i（x） ，i=1，. ，p 和 j=1，.q 是定义在 Rn 上的实值函数，我们称如下的模型为数学规划。min f（x）st gi（x） ，i=1 ，p0hj（x）=0 ，j=1，.，q 令 X= 称 X 为（MP）的约束集，当目标函数 f（x） ，约束函数 gi（x） ，nRxi=1，. ，p 和 hj（x） ，j=1，.，q 皆为 x 的线性函数时，数学规划（MP）就是线性规划，若其中的目标函数和约束函数中至少有一个是 x 的非线性函数，则（MP）的可
15、行域为非线性。当 p=0，q=0，时，将可行域简记为 minf（x）称其为无约束非线性规则或无约束最优化问题，如（MP）中 X ，则对应的nR称为约束非线性规划或约束最优化问题。2.5 一维搜索法一维搜索问题又称为线性搜索问题，它是指目标函数为单位变量的非线性规划最优化在数学建模中的应用9问题，其数学模型为 )max0(int(其中 t ，对于 t 的取值为 t 的问题称为一维搜索问题，当 t 取值为 0R时的问题称为有效一维搜索问题。ax按照求解问题不同原则，算法分为两大类：精确一维搜索或者最优一维搜索，以及非精确一维搜索。其中精确搜索的两种重要方法：不用倒数的 0.618 法和使用倒数的
16、Newton 法，这里就不详述了。2.6 无约束最优化模型N 元函数的无约束非线性规划问题 min f（x）的求解，其中 x=（x 1，x n） T ，f：R n 。这些方法通常称为无约束最优化方法。1R 无约束最优化方法大体上分为两类：解析法与直接法，解析法就是在计算中要用到函数的一阶导数，或者二阶导数，直接法就是在计算过程中仅使用函数值的方法。其中两种解析法应用较为简单，最速下降法和共轭方向法。在这里不做过多叙述。2.7 约束最优化模型设（MP）问题的可行域为gi（x） ，i=1 ，.，p0X= x nRhj（x）=0 ，j=1，q对该问题的一个可行点 x* ，它满足所有的等式约束，若令
17、j= ，则X,.21hj（x*）=0 ，j 但它所满足的全部不等式约束则可能有两种情况，对某些不J等式约束有 gi(x*)=0,而其余的不等式约束有 gi（x*）0.这两种约束起的作用是不用的，对于前者，x 在 x*处的微小变动都可能导致约束条件被破坏：对于后者，x 在 x*处的微小变动不会破坏约束。因此我们称使 gi（x*）=0 的约束 gi为点 x*的一个积极约束。令 I= ，关于点 x*的所有积极约束的下标0p,.21集记为I（x*） =Iixgi,0*)(|最优化在数学建模中的应用10三、 应用实例3.1 工程施工的土方运输问题我国现阶段的国内投资主要是基础设施建设.某建筑公司在沿海某
18、城市有个大型房产开发项目,而在房产项目的施工过程中,土方的运输占据了主要的成本,理想的节约成本的方式是利用项目内部的一个工地需要挖出的土方填入另一个需要填入的土方，而受到工期安排的约束以及工地间的道路限制，需要你为工程安排一个满足工期安排的土方运输方案，使得总运费尽可能低。已知某房产项目有相邻的 13 个工地先后开工，工期规划（这里作一年的安排，给出的是年内起止时间，单位：天） 、工程需要挖出的土方（单位：千立方）、工程需要填入的土方如表 1 所示： 表 1 工地土方和工期的安排工地编号 预计工期 需要填入土方 需要挖出土方 先后顺序1 0-80 20 10 先填后挖2 20-110 15 2
19、5 先挖后填3 40-140 18 12 先填后挖4 60-170 30 20 先填后挖5 80-190 15 18 先挖后填6 100-210 25 13 先挖后填7 120-230 35 14 先填后挖8 150-250 40 20 先填后挖9 200-280 20 28 先挖后填10 230-340 22 32 先挖后填12 270-360 42 24 先填后挖13 今年不开工 40 0 只填（注:表中的先填后挖是指工程开工前先从其它地方运来土方填埋 ,工程竣工后再挖出多余的土方运走;先挖后填是指工程开工前先挖出土方运走 ,工程完工后需要从其它地方运来填入土方填埋.）如果土方不能在自己项目的工地之间就地利用，需要运到城市郊区 25 公里指定的地方倒土，产生的单位运费是项目内部工地之间最大单位运费的 3 倍,同样,为了赶工期,如果自己的工地没有土方可用,必须从市政府指定的市郊 30 公里的地方取土并运回来填埋,单位运费同样是工地之间最大运费的 3 倍。空车运费忽略运费，且运费与运输量成比例。表 2 是各个工地间的距离：表 2 工地间的道路运费1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 2 1 1 2 4 3 5 3 2 4 1 2 32 1 3 4 2 3 4 5 1 2 3 1 4 53 2 1 3 4 3 2 4 2 3 1 3 2 1
