1、第 1 页 共 14 页科目 运筹学班级姓名学号时间题号 一 二 三 四 五 总分分数一、 （25 分）给出下列线性规划的最优单纯形表，如表 1 所示。其中 分别为第一、第54,x二约束方程中的松弛变量。 0,2685 max32131xz表 1jc5 8 6 0 0BC基( )BXb1x23x45x5 1x4 1 0 0 2 18 28 0 1 1 1 1jjzc0 0 2 2 3试分析下列各种条件下最优解（基）的变化：(1) 目标函数中变量 的系数由 6 变为 10；3x(2) 约束条件右端项由 变为 ；201(3) 在原线性规划的约束条件上，增加约束条件： 。其最优解是否变化？1321x
2、如变化，求出最优解。第 2 页 共 14 页二、 （25 分）表 2 中给出了一个运输问题，回答下列问题：1、求解运输问题的初始基可行解的方法有哪几种，都是什么？2、对于已经求得的初始可行解进行最优性检验有几种方法，都是什么？运输规划的基可行解最优的条件是什么？3、利用最小元素法求下列运输问题的初始基可行解，并检验该初始基可行解的最优性。表 2销地产地 1B3B4产量1A23317119432101085749销量 3 6 5 6第 3 页 共 14 页三、 （20 分）用 Gomory 割平面法求解如下整数规划问题，已知该整数规划的松弛问题的最优单纯形表如表 3，其中 分别为第一、第二约束方
3、程中的松弛变量。43,x取 整 数2121,04 maxxz表 3jc1 1 0 0CB XB b x23x41 1x3/4 1 0 1/4 1/41 27/4 0 1 3/4 1/4jjzc0 0 1/2 1/2第 4 页 共 14 页四、 （10 分）应用 Dijkstra 算法求图 1 中的网络从 到 的最短路径（只需在图上标号并指出1v6最短路径） 。v3 v53524242图 1v2 v4v6v12第 5 页 共 14 页五、 （20 分）图 2要求：（1）用图上计算法计算图 2 中各事项的时间参数，各工作的时间参数以及时差；(2) 指出该网络图的关键路径。第 6 页 共 14 页试
4、题答案一、 （25分）给出下列线性规划的最优单纯形表，如表1所示。其中 分别为第一、第二54,x约束方程中的松弛变量。 0,21685 max3213xz表1jc5 8 6 0 0BCBXb1x23x45x5 1x4 1 0 0 2 18 28 0 1 1 1 1jjzc0 0 2 2 3试分析下列各种条件下最优解（基）的变化：(1) 目标函数中变量 的系数由6变为10；3x(2) 约束条件右端项由 变为 ；201(3) 在原线性规划的约束条件上，增加约束条件： 。其最优解是否变化？1321x如变化，求出最优解。第 7 页 共 14 页解：（1）题意即为 由6变为10，此时最优单纯形表1变为下
5、表：3cj 5 8 10 0 0BCBXb1x23x45x5 1x4 1 0 0 2 18 28 0 1 【1】 1 1jjzc0 0 2 2 3这时原方案已不再是最优方案，再经过一次迭代，得到最终单纯形表：j 5 8 10 0 0BCBXb1x23x45x5 1x4 1 0 0 2 110 38 0 1 1 1 1jjzc0 2 0 0 5由最终单纯形表可得，此时最优解变为：，目标函数最优值变为： 。TX0,84* 1z max第 8 页 共 14 页（2）题意即为 由12变为30，此时最优单纯形表1中的 列向量将变为：bb。104231bB最终单纯形表由表1变为下表：（2分）jc5 8 6
6、 0 0BCBXb1x23x45x5 1x40 1 0 0 2 18 210 0 1 1 【1 】 1jjzc0 0 2 2 3这时原方案已不是最优方案，用对偶单纯形法再迭代一次，得到最终单纯形表：j 5 8 10 0 0BCBXb1x23x45x5 1x20 1 2 2 0 10 410 0 1 1 1 1jjzc0 2 4 0 5由最终单纯形表可得，此时最优解变为：，目标函数最优值变为：TX0,12* 1z max第 9 页 共 14 页（3）增加新约束条件： 后，原最优解不满足新约束条件，即1613不成1321x立，故原最优解会发生变化。 （1分）新约束加入松弛变量 标准化： ，置于表1
7、得下表：6 3263xjc5 8 6 0 0 0BCBXb1x23x45x65 1x4 1 0 0 2 1 08 28 0 1 1 1 1 00 6x13 2 1 3 0 0 1jjzc0 0 2 2 3 0将基变量 ， ， 所对应的列向量变为单位向量，经计算得下表1x26jc5 8 6 0 0 0BCBXb1x23x45x65 1x4 1 0 0 2 1 08 28 0 1 1 1 1 00 6x3 0 0 2 【3 】 1 1jjzc0 0 2 2 3 0第 10 页 共 14 页再利用对偶单纯形法计算得下表：（3分）jc5 8 6 0 0 0BCBXb1x23x45x65 1x2 1 0
8、 4/3 0 1/3 2/38 29 0 1 1/3 0 2/3 1/30 4x1 0 0 2/3 1 1/3 1/3jjzc0 0 10/3 0 11/3 2/3用对偶单纯形法求出新的最优解为：，目标函数最优值变为： 。T0,19,2*X82z max二、 （25分）表2中给出了一个运输问题，回答下列问题：1、求解运输问题的初始基可行解的方法有哪几种，都是什么？2、对于已经求得的初始可行解进行最优性检验有几种方法，都是什么？运输规划的基可行解最优的条件是什么？3、利用最小元素法求下列运输问题的初始基可行解，并检验该初始基可行解的最优性。表2销地产地 1B3B4产量1A233171194321
9、01085749销量 3 6 5 6第 11 页 共 14 页1、答：求解运输问题初始基可行解有三种方法：最小元素法、西北角法和沃格尔法。2、答：初始基可行解的最优性检验有两种方法，它们是：闭回路法以及位势法。最优条件是所有检验数都非负。 （3分）3、解：此问题是一个产销平衡问题， 应用最小元素法求得的初始基可行解如下表：销地产地 1B23B4产量1A23364133749销量 3 6 5 6下面应用闭回路法或位势法计算得各个空格的检验为：。12;0;1;2;13324此时还存在负检验数 ，该初始基可行解不是最优解，还需进一步改进。三、 （20分）用Gomory 割平面法求解如下整数规划问题，
10、已知该整数规划的松弛问题的最优单纯形表如表3，其中 分别为第一、第二约束方程中的松弛变量。43,x取 整 数2121,043 maxxz表3jc1 1 0 0CB XB b x23x41 1x3/4 1 0 1/4 1/41 27/4 0 1 3/4 1/4jjzc0 0 1/2 1/2第 12 页 共 14 页解：由表3可知，此整数规划的松弛问题的最优解不是整数规划的解。利用Gomory割平面法，将常数项都分解成整数和非负真分数之和，由于两个常数项具有相等的非负真分数部分，任从其中的一行，如第一行，产生割平面约束：。0413x引入松弛变量 ，得割平面方程：5x。434135x将这个新的约束条
11、件反映到表3中，再用对偶单纯形法进行迭代得下表：（jc1 1 0 0 0CB XB b x23x45x1 1x3/4 1 0 1/4 1/4 01 27/4 0 1 3/4 1/4 00 5x3/4 0 0 【 3/4】 1/4 1jjzc0 0 1/2 1/2 01 1x1 1 0 0 1/3 1/31 21 0 1 0 0 10 3x1 0 0 1 1/3 4/3jjzc0 0 0 1/3 2/3由上表可得： ，已为整数解，且 。T,1*X2 maxz第 13 页 共 14 页四、 （10分）应用Dijkstra算法求图1中从 到 的最短路径（只需在图上标号并指出最短路1v6径） ， 。图
12、 1v3 v5352424解：用Dijkstra算法求解过程如下：(每个顶点P标号正确得1分)（1）首先给 以P标号，给其余所有点T标号。v（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追踪得 到 的最短路径为： 。1v6v1v4v220)(1()(2,36)jj 30,min,min122 lv5)()(333Tv2P41,in)(,in)(2333 lvP523mm444 Tv ,i)(,i)(2555l3P5535()in(),in,45TvvPl49,mi)(,mi)(4666 l 725nn5vT7)(P6521v第 14 页 共 14 页五、 （20分）图2要求：(1) 用图上计算法计算图2中各事项的时间参数，各工作的时间参数以及时差；(2) 指出该网络图的关键路径。解：（1）用图上计算法（六时标注法）计算得图2中各事项的时间参数，各工作的时间参数以及时差如下图所示：. 各事项的时间参数：事项：最早时间：0 最迟时间：02 23 55 59 1111 1118 18 . 各工作的时间参数及时差的六时标表示方法如下图所示：其中六时标表示法为如下形式：tES tEF R(i,j)tLS tLF r(i,j)（2）该网络图的关键路径为：。 （3分）
