1、电 磁 学 第二章 有导体时的静电场1第二章 有导体时的静电场导体：导电能力极强的物体。绝缘体（电介质）：导电能力极微弱或者不能导电的物体。半导体：导电能力介于两者之间的物体。导体和电介质放入静电场后，静电场不仅要影响导体和电介质中电荷的分布，而且电荷分布变化后，反过 来又要影响电场的分布。导体和绝缘体有着完全不同的静电特性，静电现象的一切 应用， 实际上是导体和电 介质静电特性的运用。研究 导体和电介质的静电特性以及导体和电介质内外电场分布的图像，具有重要意义。几个常用的术语：总（净）电量不为零的导体叫做带电导体；总（净）电量为零的导体叫做中性导体；与其他物体距离足够远的导体叫做孤立导体。这
2、里的足够远是指其他物体的电荷在我们所关心的场点上激发的场强小到可以忽略。本章讨论静电场中有金属导体存在时的各种问题，并介绍几个新的物理量。1 静电场中的导体一、导体的静电平衡金属导体是以金属键结合的晶体，由许多小晶粒组成，每个晶粒内的原子作有序排列而构成晶格点阵。组 成晶体时，晶格 结点上的原子很容易失去外层的价电子，成为正离子。而脱离原子核束 缚的价电子则可以在整个金属晶体中自由运动，称为自由电子。金属导体在电结 构上的重要特征就是具有大量的自由电子。导体不带电或不受外电场作用时，自由 电子只作热运动，不 发生宏 观电量的迁移，自由 电子和晶格点阵的正电荷互相中和，因而整个金属导体的任何宏观
3、部分都呈电中性状态。金属导体放入电场强度为 的静电场中，金属的自由电子在外电场的作用下0E相对于晶格作定向运动，并在 导体的一个侧面集结，使该侧面出现负电荷。而相 对的另一侧面则出现正电荷， 这就是静电感应现象。由此产生的电荷称为感应电荷。相对侧面上的感应电荷电量相等而符号相反。感应电荷在空间必然产生电场，该电场与原来的电场叠加，改变 了空间各处的电场分布。我们把感应电荷产生的电场称为附加电场，用 表示。空间任意一点的场强可表示 为：E0在导体内部，附加电场 与外电场 方向相反，只要 不足以抵消 ，导体0EE0电 磁 学 第二章 有导体时的静电场2内部的自由电子的定向运动就会继续，感应电荷增加
4、， 相应增大，直至 与 完EE0全抵消，导体内部的电场为零。在金属导体中，自由电子没有定向运动的状态，称 为静电平衡状态。 导体静电平衡的必要条件就是导体内任一点的电场强度都等于零。金属导体建立的静电平衡过程是静电感应发生并达到稳定的过程。实际上， 这 个过程是在极短的时间内完成的，故我们不讨论静电平衡 过程，而 仅讨论导体处于静 电平衡状态的性质。感应电荷激发的附加电场 ，不仅导致导体内部的场强为零，改变了导体外部E空间各处原来电场的大小和方向，甚至还会改变产生原外加电场 的带电体上的0E电荷分布。根据静电平衡时金属导体内部不存在电场，自由电子没有定向运动的特点，处于静电平衡的金属导体具有如
5、下的性质： 整个导体是等势体，导体表面是等势面。在导体内部任取两点 P 和 Q，它们之间的电势差可以表示为 )E(ld0QP因为处于静电平衡的导体内部电场强度为零，上面的积分必定为零，所以 P可见导体内部任意两点的电势都相等，整个导体必定是等势体，等势体的表面必定是等势面。 导体表面附近的场强处处与表面垂直因为等势面与场强方向互相垂直，所以导体表面附近的电场强度必定与该处的表面相垂直。 静电平衡的导体上的电荷分布处于静电平衡的导体上的电荷分布具有以下规律：1、处于静电平衡的导体，其内部不存在净电荷，电 荷只能分布在导体的表面上用高斯定理证明。在导体内部任取一闭合曲面 S，运用高斯定理：内qSd
6、E01因为导体内部的 ，上式积分为零，必定有 ，所以 导体内部不存在净电0内q荷。电 磁 学 第二章 有导体时的静电场32、处于静电平衡的导体，其表面上各处的面电荷密度与该处表面紧邻处的电场强度的大小成正比导体表面是等势面，根据等势面与电场线相互垂直的性质，导体外紧靠表面处的电场方向垂直于导体表面， 设导体表面附近的电场强度为 。在导体表面取一面E元 dS，认为电荷在 dS 区域内分布是均匀的，电荷面密度为 （ ）。包 围 dS 作一0柱状闭合面，上下底面均为 dS，且与表面平行，上底面在 导体表面外侧，下底面在导体内部。由于圆柱侧面与 电场强度方向平行， 电通量 为零；导体内部电场强度为零，
7、下底面的电通量也为零。通 过整个闭合面的电通量就等于上底面的电通量。根据高斯定理： 00dSEqSdE0因为上底面的法线方向与导体表面的外法线方向 一致，且有 ，所以该处的场n0强方向垂直于导体表面指向导体外部，故表面附近的电场强度可表示为 nE0表明带电导体表面附近的场强大小与该处电荷面密度成正比，场强方向垂直于表面。这一结论对孤立导体（孤立导体是指远离其他物体的导体，其他物体对其影响可以忽略不计）或处在外电场中的任意导体都普遍适用。注意：导体表面附近的场强 不单是由该表面处的电荷所激发，它是导体面上E所有电荷以及周围其他带电体上的电荷所激发的合场强，外界的影响已经在 中体现出来。3、孤立导
8、体处于静电平衡时，它的表面各 处的面电荷密度与各处表面的曲率有关，曲率越大的地方，面电荷密度也越大电荷在导体表面上的分布与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关，即使对于其附近没有其他导体和带电体，也不受任何外来电场作用的所谓孤立导体来说，电荷在表面上的分布与自身之间也没有简单的函数关系。但存在大致的规律：表面凸起部尤其是尖端处，面电荷密度较大；表面平坦处，面电荷密度较小；表面凹陷处，面电荷密度很小，甚至为零。设两个半径分别为 R 和 r 的球形导体（ ），用一根很长的细导线连接，使rR电 磁 学 第二章 有导体时的静电场4两个导体带电，电势为 。两个导体组成的整体可以看成孤立导体系
9、，在静 电平衡时必定是等势体。假设两个导体相距很远，每个球面上的电荷分布在另一个球面上所激发的电场可以忽略不计，线的作用是使两球保持等电势，线上的电荷分布可以忽略不计，因此每个球可以看作孤立导体，两球表面的电荷分布各自都均匀分布。设大球所带电量为 Q，小球所 带电量为 q，则两球的电势为R04r04由两球电势相等，可得， （ ）rQqr可见大球所带电量 Q 比小球带的电量 q 多。但两球的电荷密度分布为2R42r4所以 qr2r可见，电荷密度与曲率半径成反比，即曲率半径越小，电荷面密度越大，小球上的面电荷密度反而比大球要大。应该指出，当两球相距不远时，两球所 带的电荷的影响不能忽略不计， 这时
10、每个球都不能看成孤立导体，两球表面上的电荷分布也不可再看成均匀的。同一球面上各处曲率半径虽然相等，但 电荷面密度却不再相同，因此电荷面密度与曲率半径成反比并不是一个普遍的结论。由上面的结论可以看出，对于可近似看成孤立导体的导体，表面凸起部尤其是尖端处，面 电荷密度较大，附近的电场强度也较强。 对于具有尖端的 导体，无疑尖端处的电场特别强，在 导体的尖端附近，由于场强很大，当达到一定量 值时，空气中原有残留的离子在这个电场的作用下将发生剧烈运动，并获得足够大的动能与空气分子碰撞而产生大量的离子。其中与 导体上电荷异号的离子，被吸引到尖端上，与尖端上的电荷中和；与导体上电荷同号的离子受到排斥而从尖
11、端附近飞开。从外表上看，就好像尖端上的电荷被 “喷射”出去放掉一样，所以这 种现象称为尖端放电。在高电压设备中，为了防止因尖端放电而引起危险和漏电造成的损失，输电线的表面应是光滑的。具有高 电压的零部件的表面也必须做得十分光滑并尽可能做成球面。与此相反，在很多情况下人们还利用尖端放电 。火花放 电设备的电极往往做电 磁 学 第二章 有导体时的静电场5成尖端形状。避雷针就是根据尖端放电原理制造的。当雷电发生时，利用尖端放 电原理，使强大的放电电流从和避雷针连接并良好接地的粗导线中流过，从而避免了建筑物遭受雷击的破坏。在离子撞击空气分子时，有时由于能量较小而不足以使分子电离，但会使分子获得一部分能
12、量而处于高能状态。处于高能状态的分子是不稳定的，总要返回低能量的基态。在返回基态的过 程中要以发射光子的形式将多余的能量释放出去，于是在尖端周围就会出现黯淡的光环，这种现象称为电晕。二、带电导体所受的静电力设 是导体表面含 P 点的小面元， 是 P 点的电 荷面密度， 则 （作为一个SS电荷为 的点带电体）所受到的静电场力为)(EF其中 是除了 外所有电荷在 P 点贡献的场强。设 P1 是从 P 出发沿着 S导体表面法向稍作外移所到的点，则 P1 点的场强为ne0)(P它可分解为两部分， )()()( 110PPEeESn其中 是 在 P1 的场强， 是除了 外的电荷在 P1 的场强。)(1S
13、 S因为 P1 可任意靠近 P，对它而言 可被视为均匀 带电 无限大平面， 则，于是， nSeE012)( neE012)(P 是带电面上的点， 场强在 P 点有突变，但这里是指总场强 E。由于激发分场强 的电荷已不含 的电荷， 在 P 点是连续的，既然连续，相距极近的)( S)(点 P 和 P1 的 就相同，则 neE012)()(则 这就是导体表面任一面元 的受力公式。把 该式沿着导nF0SS体表面作积分便可得到整个导体所受的静电力。电 磁 学 第二章 有导体时的静电场6讨论：导体表面内外的总场强可看成两部分构成， 和 的矢量和。)(1PSE)(1P1 在导体表面外 侧时， ， ，则 ；当
14、 P1nSeE012)(Pne012)( ne0在导体表面内侧时， ，而 的连续 性使 仍成立， 则 12)(；总场强在导体表面一点的突变完全是由含 P 的小面元 的场强0)(1PE S突变造成的S三、有导体存在时静电场的分析与计算把导体放入静电场，就会因电荷的重新分布而使电场发生改变，直到达到静电平衡，导 体上的电荷分布以及周围的电场分布就不再改变了。这时的电荷和电场的分布可以根据静电场的基本规律、电荷守恒以及导体静电平衡条件加以分析和计算。书中的例题列出了典型的导体改变电场分布的情况。导体静电平衡问题的讨论方法中例 1、例 2、例 3、例 4、例 5、以及平行板导体组例题 1、22 静电屏
15、蔽利用放入静电场中的导体会因电荷的重新分布而使电场发生改变这个事实，可以根据需要人为地选择导体的形状来改造电场。例如，用封闭金属壳把电学仪器罩住，就可以避免壳外电荷 对仪器的影响，可以使壳外 电荷在壳内空间激发的场强为零。一、空腔导体内外的静电场封闭导体壳就是空心导体，也叫做空腔导体。分 为空腔内无带电体和有带电体两种情况进行讨论。1、空腔内空间无带电体若空腔内空间没有带电体，则在静电平衡下，无 论自身是否带电，空腔 导体必定具有下列性质： 空腔内表面上不存在净电荷，净电荷只分布在外表面上。 空腔内无电场，空腔内电势处处相等。上述结论可做如下证明：电 磁 学 第二章 有导体时的静电场7在导体空
16、腔内外表面之间取一高斯面，将导体空腔内表面包围起来，根据高斯定理 内qSdE01因为高斯面完全处于导体内部，静电平衡下导体内部场强处处为零，所以 内这说明导体空腔内表面上电荷的代数和为零。但仍需排除空腔内表面上有些地方有正电荷，而另一些地方有负电荷，正 负电荷代数和为零的情况。进一步用反证法说明：如果空腔内表面某处 ，而另一处 ，空腔内必定00有电场线从 处发出，并 终止于 处。由于空腔内无电荷， 电场线不会在空00腔内终止，而导体内部场强处处为零， 电场线也不能穿出导体。因此，由内表面正 电荷发出的电场线将只能终止于内表面负电荷，电场沿这条电场线的线积分一定不为零，这条 电场线的两端点之 间
17、有电势差。但它的两端点在同一导体上，静 电平衡要求这两点电势相等。因此上述 结论与静电平衡条件相违背，这说明静电平衡时导体空腔内表面上 必须处处为零，空腔内各点的场强等于零，空腔内电势处处相等。在空腔外面的空间总有电场存在，其电场分布由空腔外表面上的电荷分布及导体外其他带电体的电荷分布共同决定。总之，当导体空腔处在外电场中时，空腔 导体外的带电体只会影响空腔导体外表面上的电荷分布并改变导体外的电场分布，而且这些电荷的重新分布的结果，最终导致导体内部及空腔内的总场强等于零。2、空腔内空间有带电体如果空腔内部存在电量为 的带电体，利用高斯定理可以证明，在空腔内、q外表面必将分别产生 和 的电荷。外
18、表面的电荷将会在空腔外部空间产生电场。而腔内出现由带电体 及腔内表面上的电荷分布所决定的电场，这个电场与导体外其他带电体的分布无关。即 导体空腔外的电荷（包括导体外表面上的电荷）对导体空腔内的电场即电荷分布没有影响。这时，即使空腔导体外无其他带电体仍有电场存在，它事气馁的带电体 通过腔外表面感应出等量同号的电荷所激发的，电场q全由空腔导体外表面上的电荷分布所决定，与腔内情况无关。腔内带电体放置的位置，只会改变腔内表面上电 荷的分布， 绝对不会改变导 体外表面上的电荷分布及腔外电场分布（即电荷 及空腔内表面的感应电荷在导体外所激发的合电场恒为零）。若将导体接地，则导体外表面上的感应电荷因接地而被
19、中和，由外表面电荷产生电 磁 学 第二章 有导体时的静电场8的电场随之消失。二、静电屏蔽综上所述，在静电平衡状态下，空腔 导体外面的带电体不会影响空腔内部的电场分布；一个接地的空腔导体，腔外的电场不受空腔内的带电体的影响。利用导体静电平衡的性质，使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影响，或者将导体空腔接地，使腔外空间免受腔内 电荷和电场的影响， 这类 操作都称为静电屏蔽。静电屏蔽在电磁测量和无线电技术中有广泛的应用。例如，为避免外界电场对设备中某些精密电磁仪器的干扰，或者为了避免某些高压设备的电场对外界的影响，常将测量仪器甚至整个实验室用接地的金属壳或金属网罩起来。传送弱讯号的连接导线，为
20、了避免外界的干扰 ，常在 导线外包一层用金属 丝编织的屏蔽线层，称 为屏蔽导线。导体空腔内电场为零的结论还有重要的理论意义。对于库仑定律中的反比指数“2”， 库仑曾用扭秤实验直接确定过，但是扭秤 实验不可能做得非常精确。处于静电平衡的导体空壳内无电场的结论是由高斯定律和静电场的电势概念导出的，而这些又都是库仑定律的直接结果。因此在 实验上检验导体空壳内是否有电场存在可以间接的验证库仑定律的正确性。卡文迪 许和麦克斯韦以及威廉斯等人都是利用这一原理做实验来验证库仑定律的。3 电容器及其电容一、孤立导体的电容导体静电平衡特性之一，是导体表面上有确定的电荷分布，并具有一定的电势值。理论 和实验均表明
21、，不同大小和形状的孤立 导体若 带上等量的电荷，其 电势并不相同，而且随着电量的增加，各导体的电势将按各自的一定比例上升。 为描述这种性质，引入孤立导体的电 容这个物理量。定义：导体所带电量与它的电势的比值，叫做该孤立导体的电容。用 C 表示：qC式中 q 是该导体所带电量， 是它的电势。其物理意义是：使导体升高单位电势所需的电荷量。孤立导体的电容只与导体的大小和形状有关，而与所带电荷和电势无关，是表征导体储电能力的物理量。 对一定的导体，其 电容 C 是一定的，如：半径 为 R 的带电电 磁 学 第二章 有导体时的静电场9量为 Q 的孤立导体球，其 电势为：R04其电容为 C0孤立导体的电容
22、，只与导体自身的大小和形状有关。孤立导体所带电量可以表示为电容和电势的乘积，即： Q国际单位制中，电容的单位是法拉（F ）1VCF1仑仑实际应用中，常采用微法（F ）和皮法（pF）：0p,0126二、电容器的电容孤立导体是指远离其他物体的导体，是很难实现的一种理想情况。为了消除其他导体的影响，可采用静电 屏蔽的原理，用一个封 闭 的导体壳 B 将导体 A 包围起来，就可以使由导体 A 和导体壳 B 构成的一对导体系不再受到壳外 导体的位置及带电状态的影响。一般来说，壳外的带电体及导体壳外表面上的感应电荷会改变导体 A和导体壳 B 的 电势值（如果 B 接地， 则不会改变 A 的电势），但不会改
23、变 AB 之间的电势差 。显然，导体壳 B 内表面上的感应电 荷与导体 A 上所带电荷量 等A q值异号，与导体的形状无关。我们把由导体 A 和导体壳 B 构成的一对导体系称为电容器。一般 总使电容器中 A、B 两导体（称为极板）的相对表面上带等量异号电荷 ，在两导体的电势差 时，将比值UABqCA定义为电容器的电容，其值只取决于两极板的大小、形状、相 对位置及极板间电介质的电容率，在量值上等于两导体间的电势差为单位值时极板上所容纳的电荷量，式中的 q 为任一极板上电荷量的绝对值。实际上，对其他导体的屏蔽并不需要非常严格，通常就用两块非常接近的、中电 磁 学 第二章 有导体时的静电场10间充满
24、电介质（空气、蜡纸、云母片、涤纶薄膜、陶瓷等）的金属板（箔或膜）构成。这样的装置使电场局限在两极板间，不受外界的影响，从而使电容具有固定的量值。几种常见的真空电容器的电容。(1) 平行板电 容器最简单的电容器是由靠得很近、互相平行、同样大小的两片金属板组成的平行板电容器。 设每块极板的面 积为 S 两极板内表面间的距离为 d，且极板的线度远大于两极板内表面间距离。若 电容器充电后， A 板带 ，B 板带 ，由于板面很大而q两极板间的距离很小，除了两板的边缘部分外， 电荷均匀分布在两极板的内表面上其电荷面密度分别为 和 ，即 ，且在两极板间形成匀强电场，其 场强的S大小为 0E两极板的电势差为
25、SqdEdU0BAB电容器的电容为 dSqC0AB可知，平行板电容器的电容 C 和极板的面积 S 成正比，和两极板内表面 间的距离 d成反比，而和极板上所带的电荷量无关。 说明当两极板间为真空时， 电容 C 只和电容器本身的几何结构有关。增加平行板电容器的面积，减少两极板间的距离， 则它的电容就增大。在实用上，常用改变极板相对面积的大小或改变极板间距离的方法来改变电容器的电容。可在一定范围内改变其电容值的电容器叫做可变电容器，广泛应用于电子设备（收音机的频率调谐电路）中。(2) 圆柱形电 容器圆柱形电容器是由两个同轴金属圆柱筒（面）组成。设两圆柱面的长度为 l，半径分别为 和 ，当 时， 则可
26、将两端 边缘处电场不均匀性的影响忽ARB)(ABRl略。在这样 的条件下，当两圆柱面带电后，电荷将均匀分布在内外两 圆柱面上，这时两圆柱面间的电场具有对称性，并且在很大程度上不受外界的影响。设内圆柱面带电 磁 学 第二章 有导体时的静电场11电 ，外圆柱面带电 ，这时圆柱面单位长度上的电荷量为 ，在内 圆柱面内qq lq和外圆柱面外的场强均为零。应用高斯定理，可求出在两圆柱面之间距轴线为 r（）处 P 点的场强为BARrrE20设内、外圆柱面的电势分别为 和 ，则可求出两圆柱面间的电势差为ABBAA0BAB 2RRR rdEdrUB0A0ln2lnq由电容的定义，求得圆柱形电容器的电容为 )l
27、n(AB0BARqC可见圆柱形电容器两极板间为真空时，电容只和它的几何结构有关。圆柱形电容器单位长度的电容为 )ln(2AB0R(3) 球形电容器球形电容器是由半径分别为 和 的两个同心金属球壳所组成的。设内球BR带电 ，外球带电 ，则正、 负电荷将分别均匀分布在内球的外表面和外球的内qq表面上。这时，在两球壳之间具有球心对称的电场，距球心为 r（ ）处 P 点BAR的场强为 rE420两球壳间的电势差为 BABABA 20AB 4RRRrdEdrUB014电 磁 学 第二章 有导体时的静电场12根据电容的定义，球形电容器的电容为 AB0A4RqCB再次说明电容器的电容只和它的几何结构有关。结
28、构形状一定的电容器，其电容值具有固定值，与它是否带电或所带电荷量的多少无关。设想组成球形电容器的外球壳在无限远处（ ），即 时，球形电BABR容器的电容公式简化为 A04RC此式就是孤立导体球的电容公式。计算任意形状电容器的电容时，总是先假定极板带电，并求出两带电极板间的场强，再由 场强与电势差的关系求两极板间的电势差，在电势差的表式中，它必然和电容器所带电荷量成正比，于是由电容的定义式即可求出电容。注意：除以上讨论的几种典型电容器的电容外，实际上任何导体间都存在着电容。导线 与导线或元件或金属外壳之间，元件与金属外壳之间，都存在着 电容，这些电容在电工和电子技术中通常叫做分布电容。分布电容的
29、量值通常比较小，且不容易计算，在一般情况下，它的作用可以忽略不计。但在安装电子设备，尤其是高频电路中，却必须考虑分布电容的影响。实际使用的电容器种类繁多，外形各不相同，但基本结构是一致的。 电容器的用途很多，应用非常广，各种电子仪器、收音机、电视机中都要用到电容。电容器在电路中具有隔直流、通交流 的作用， 电容器和其他元件壳组合成振荡放大器以及时间延迟电路等。电容器还是一种储能元件（储存电势能），在很多仪器中，使用大容量的电容器组，它在充电过 程中所聚积和储存的电能，可在放电过程的极短时间内释放出来，从而获得很大的 电功率，例如脉冲式激光打孔机中就有这样的电容器组。测量放射性射线粒子数的盖革计
30、数管，也相当于一个具有轴对称电场的圆柱形电容器。每个电容器的成品，除了标明型号之外， 还标有两个重要的性能指标，一个是电容的大小，另一个是电容器的耐压值。例如 电容器上 标有 100F25V 等字样，100F 表示电 容器的电容，而 25V 表示电容器的耐 压值，耐压值是指电容器工作时两极板上所能承受的电压值。如果外加的电势差超过电容器上所规定的耐压值，电容器中的场强太大，两极板 间的电介质就有被击穿的危险。即电介质失去绝缘性能而转化为导体，电容器遭到破坏。这种情况称为电介 质的击穿，使用 时必须注意。电 磁 学 第二章 有导体时的静电场13三、电容器的串联和并联实际应用中，常会遇到已有电容器
31、的电容或者耐压值不能满足电路使用的要求，这时常把若干个电容器适当地连接起来构成一电容器组。电容器的基本连接方式有两种：串联和并联。(1) 串联电容器如图所示表示 n 个电容器的串联，设电容值分别为 C1、C2、Cn，组合的等效电容值为 C。当充电后，由于静电感应，每对电容器的两个极板上都带有等量异号的电荷量 和 。这时 ，每 对电容器两极板间 的电势差 U1、U2、Un 分别为q， ，1U2nCqU组合电容器的总电势差为 n21n21 1q由 得CqUn1i21C即串联等效电容器电容的倒数等于每个电容器电容的倒数之和。(2) 并联电容器如图所示表示 n 个电容器的串联。当充电后，每 对电容器两
32、极板间的电势差相等，都等于 U，但每 对电容器极板上的电荷量则不相等。设电容器 C1、C2、Cn 极板上的电荷量 q1、q2、qn，则， ，C2UCn组合电容器的总电荷量为 qqn21n21 由此可得组合电容器的等效电容为 n1i21CCU即并联等效电容器电容等于每个电容器电容之和。由以上计算结果表明，几个电容器并联可获得较大的电容值，但每个电容器qUq12n1q2Unq电 磁 学 第二章 有导体时的静电场14极板间所承受的电势差和单独使用时一样；几个电容器串联时电容值减少，但每个电容器极板间所承受的电势差小于总电势差。在实际应用中可根据电路的要求采取并联或串联，特殊需要的电路中还可有更复杂的
33、连接方法。4 静电演示仪器（略）5 带电体系的静电能一、电荷系的静电能设 n 个静止的电荷组成一个电荷系。将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，它们 之间的静电力所做的功定义为电荷系在原来状态的静电能，也称相互作用能（简称互能）。1 两个点电荷的互能设两个点电荷 和 相距为 r。令 不动而 从它所在的位置移到无穷远时， 1q21q2所受的电场 力 做的功 为2q2FrrdA将库仑公式代入，可得 rqdqrqrrrr 02120130212 444 这说明当 和 相距 r 时，他 们的相互作用能 为1q 1WW02124由于 所在点由 所产生的电势可表示为 ，而 所在点由 所产生的2q1 rq0
34、12412q电势表示为 ，所以上式可以写成rq021412W将上式可以写成对称的形式，即 )(2112q2 三个点电荷组成的电荷系的互能电 磁 学 第二章 有导体时的静电场15由 3 个点电荷 、 和 组成的电荷系，以 、 和 分别表示它们之间的1q2312r31距离。设 想先令 、 不动，而将 从它所在的位置移到无穷远， 所受 和 的q3q12电场力 和 所做的功 为31F2 rdFrrdFrdA 32313213)(将库仑公式代入，可得 320310 3232013121342rqrrr 然后再令 不动，将 移到无穷远，这一过程中电场力做的功为1q221024rA将 3 个电荷由最初状态分
35、离到无穷远，电场力做的总功就是电荷系在初状态时的相互作用能，即 )(21 )4()4(432 3203102103202103102 132132qq rqqrqrqAW 式中 、 、 分别为 、 、 所在处由其他电荷所产生的电势。1313 n 个电荷 组成的电荷系的互能将上述结果推广到 n 个点电荷组成的电荷系，则该电荷系的相互作用能为iiqW12式中 为 所在处由 以外其他电荷所产生的电势。iii4 带电体的静电能如果只考虑一个带电体，它的静电能如下定义：设想把该带电体分割成无限多的电荷元，把所有电荷元从 现有的几何状态彼此分散到无限远时，电场力所做的功叫原来该带电体的静电能，一个带电体的
36、静电能有时也称自能。因此一个带电体电 磁 学 第二章 有导体时的静电场16的静电自能就是组成它的各电荷元之间的静电互能。由电荷系的互能公式每一个带电体的静电自能可以用下式求出： qdW21由于电荷元 dq 为无限小，所以上式积分号内的 为带电体上所有电荷在电荷元 dq所在处的电势，积分号下标 q 表示积分范围遍及该带电体上所有的电荷。在很多实际场合，往往需要单独考虑电荷系中某一电荷的行为而将该电荷从电荷系中分离出来，电荷系中的其他 电荷所产生的电场对该电荷来说就是外电场了。因此前面所说的一个电荷在外电场中的电势能实际上就是该电荷与产生外电场的电荷系间的相互作用能。二、静电场的能量当谈到能量时，
37、常常要说能量属于谁或存于何处。根据超距作用的观点，一 组电荷系的静电能只能属于系内电荷本身，或者说由那些电荷携带着。但也只能说静电能属于电荷系整体，说其中某个电荷携带多少能量是完全没有意义的，因此也就很难说电荷带有能量。从场 的观点来看，很自然的可以认为静电能就储存在电场中。设想一个表面均匀带电的球壳，所带总电量为 Q。在某一时刻球的半径为 R，可知此带电球的静电能量为 RQW028若球壳膨胀使半径增大 dR 时，由于做功而使 带电球壳的能量减少了，减少的能量由上式可得 dRd208由于均匀带电球壳内部电场强度为零，所以球壳增大 dR，就表示半径为 R，厚度为 dR 的球壳内的电场消失了，而球
38、壳外的 电场并没有任何改变。将此电场的消失和静电能量的减少dW 联系起来，可以认为所减少的能量原来就储存在那个球壳内。因此可以得到储存在那个球壳内的电场中的能量为 dRQdW208电 磁 学 第二章 有导体时的静电场17根据场的概念引入的电场储能的看法由于此式可用电场强度表示出来而显得更为合理。已知原来那个球壳内的电场强度 ，所以上式又可写成204RQEddRQdW204)(2或者 VE20其中 是增大的球壳的体积。由于球壳内各处的电场强度的大小基本上dRV24都相同，所以进一步引入电场能量密度的概念。以 表示电场能量密度， 则可由上ew式得 20EdVWwe此处关于电场能量的概念和能量密度公
39、式虽然是由一个特例导出的，但可以证明它适用于静电场的一般情况。如果知道了一个带电系统的电场分布，则可将上式对全空间 V 进行积分以求出一个带电系统的电场的 总能量，即VedEdwW20这就是该带电系统的总能量。上式是用场的概念表示的带电系统的能量，用前面带电体的静电能公式也能求出同一带电系统的总能量， 这两个式子是完全等效的，这一等效性可以用稍复杂一些的数学加以证明。本节基于场的思想引入了电场能量的概念。但对静电场来说，虽然可以应用它来理解电荷间的相互作用能量，但无法在实际上证明其正确性，因为不可能测量静电场中单独某一体积内的能量，只能通过电场力做功测得电场总能量的变化。这样，“电场储能”概念
40、不过是一种 “说法”，而公式也不 过 是带电体静电能的另一种“写法”，正像用场的概念来说明两个静止电荷的相互作用那样。但是不要小看了这种“ 说法”或“写法”的改变，物理学中有时看来只是一种说法或写法的改变，也能引发新思想的产生或对事物更深刻的理解。电场储能概念的引入就是这样一种变更，它有助于更深刻地理解电场的概念。 对于运动的电磁场来说，电场能量的概念已被证明是非常必要、有用而非常真实的了。电 磁 学 第二章 有导体时的静电场18三、电容器的能量当电容器与电源相连时，电容器的两极板上会带上电荷，这个过程称为电容器的充电，当 电容器与电源断开而与另一回路连通时，电容器两极板上的电荷会通过电路中和
41、，这一过程叫做电 容器的放电。如果 电路中有用电器，如灯泡， 则灯泡会发光，所消耗的能量是电容器 释放的，而 电容器的能量 则是充电时由电源供给的。计算电容器两极板 A 和 B 上分别带有电荷 、两极板间电势差为 时所具QU有的能量。设想电容器两极板的带电过程是不断地把微小电荷 从原来中性的dqB 极板迁移到 A 极板的过程，因此在极板带电过程中，两极板上带的电荷总是等值异号。当电容器的两极板已 带电到 时，两极板 间 的电势差为 ，这时再把电荷qu从 B 板移到 A 板上，外力克服电场力所作的功 为dqudq设电容器的电容为 C，此时电 容器的带电量为 q，则 ，所以CudqA当电容器从 开
42、始充电到电荷量 时，外力做的总功为0QqCQ201该功等于带电电容器的静电能。利用关系式 ，带电电容器的静电能 W 又可U写成为 UW2121该结果也可以从定义式直接得到。不论电容器的具体结构如何，上式都是正确的，是计算电容器所储能量的普遍公式。在物体或电容器的带电过程中，外力所作的功等于带电系统能量的增量，而带电系统的形成过程实际上也就是建立电场的过程，说明带电系统的静电能总是和电场的存在相联系的。仍以平行板电容器为例。设极板的面积为 S，两极板间的距离为 d，板 间充满相对介电常量 的电介质。当 电容器极板上的电荷量为 Q 时，极板间的电势差r，已知 ，代入上式，得EdUdSCr0电 磁
43、学 第二章 有导体时的静电场19VESddESCUWrrr 20202021由于电场存在于两板之间，所以 Sd 也就是电容器中电场的体积 V。可见，静电能可以用表征电场性质的场强 E 来表示，而且和 电场所占的体积 成正比。表明电Sd能储藏在电场中。由于平板电容器中电场时均匀分布的，所储藏的静电场能量也应该是均匀分布的，因此电场中每单位体积的能量，即静电场能量的体密度为 DEVWwr 21210e 能量密度的单位为 。上述 结果虽是在均匀电场中导出的，但可以证明在非均匀3J/m电场和变化电场中仍然是正确的，只是此式的能量密度是逐点改变的。在真空中，由于 ，上式还原为第 12 章的电场能量公式 。比较可知，在 电场强1r 20e1w度相同的情况下，电介质中的电场能量密度将增大到 倍。这是因为在电介质中，r不但电场 本身具有能量，而且电介质的极化过程也吸收并储存了能量。E要计算任一带电系统整个电场中所储存的总能量，只要将电场所占空间分成许多体积元 dV，然后把这 些体积元中的能量累加起来，就可以得到整个电场中储存的总能量 VVrV DEdddwW2120e式中 是和每一个体积元 dV 相应的能量密度， 积分区域遍及整个电场空间 V。e
