1、 立体几何（理） 高考对接演练在高考数学试题中， 立体几何（理） 解答题一般位于高考数学解答题（第三大题）前 4 题的位置，以证明题和计算题为主，难度为中档题。基本题型是：在具体背景下，第（）小题是证明线、面关系（包括线面平行、线先垂直、线面垂直、面面垂直） ；第（）小题是求角（包括线面角、二面角）或距离（主要是点到平面的距离） 。试题涉及的知识点有：平面的基本性质（三个公理和三个推论） 、空间点、线、面的关系；直线和平面平行的判定与性质；平面和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定和性质；平面和平面垂直的判定和性质；空间角（包括两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角） ；空间距
2、离（主要是点到直线的距离） ；空间向量及其应用。立体几何（理） 高考对接演练【例 1】 （2007 山东）如图，在直四棱柱 11ABCD中,已知 ， ，12DC.AB（）设 E 是 DC 的中点，求证: ;11DEAB平 面（）求二面角 的余弦值.11ABC【解】（）连结 BE，则四边形 DABE 为正方形，且 ，1D1A为平行四边形，E四 边 形.1AB，11. BD平 面 ， 平 面1.D平 面（）以 D 为原点， 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直1,C角坐标系，不妨设 DA = 1，则 11(0,)(,0)(,)(0,2)(,).ABA12.设 为平面 的一个法向量，(
3、,)nxyz1D由 得： ，取 z = 1，则 .1AB20xy(2,1)n设 为平面 的一个法向量，(,)mxyz1C由 得： ， 取 ，则 .10yzx1z(,)m设二面角 的的大小为 ，由于 为锐角，则11ABD3cos|,| .9mnED1 C1B1A1DCBAED1 C1B1A1DCBA【例 2】 （2012 青岛一模）如图，在梯形 ABCD 中， ，/ABCD，四边形 ACFE 为矩形，平1,60ADCBA面 平面 ABCD，CF = 1.FE（1 ）求证： 平面 ACFE；（2 ）点 M 在线段 EF 上运动，设平面 MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为 ，试求(90)的取
4、值范围.cos【解】（1）证明：在梯形 ABCD 中， 因为 ， ，ABC ，/ABCD1CB60所以 AB = 2. 由余弦定理得：22cos3A所以 所以 BCAC 因为平面 ACFE平面 ABCD，平面 ACFE平面 ABCD = AC，BC 平面 ABCD 所以 BC平面 ACFE. （2）由（1 ）可建立如图所示空间直角坐标系。令 ，(03)FM则 ，(0,),(3,0)CA,1,1B所以 1B设 为平面 MAB 的一个法向量，1(,)nxyz由 ， 0A10n联立得： ，3xyz取 x = 1，则 ， ,n易知 是平面 FCB 的一个法向量20所以 1222|11cos334n 因
5、为 所以当 时， 有最小值 ，00cos7当 时， 有最大值 . 所以 3cos121,2ABC1A1C1A1BCABCEzxy【例 3】 （2012 青岛二模） 如图，在多面体中，1ABC四边形 是 正方形，AC = AB =1AB，1， .1/C12BC（）求证： 面 ；/A1（）求二面角 的余弦值的大小.【解】（）取 BC 的中点 E，连结 AE， ，1E因为 ， ，所以 ，1/BC2BC11/,BCE所以 四边形 为平行四边形， 从而 ，1因为 ， 1A面 11EA面所以 。 因为 ， ，/BC面 /BC12B所以 11,因为四边形 为平行四边形，所以 且E1/E1C又因为 是正方形，
6、所以 且 ，1AB1/A=故 为平行四边形，所以 。C1因为 ， ，11面 C面所以 。/E面因为 ，所以 ，1AB11/BAE面 面又 ，所以 。 1面 /面（）因为四边形 为正方形，1所以 , ，1C1所以 ，因 为 ，所以 12AB1CAB12由勾股定理可得： ，所以 ，90AC因为 ，所以 面 ABC ，1因为 ，所以12由勾股定理可得： ，所以 90BACB故以 A 为原点，以 AC 为 x 轴建立坐标系如 图， 则，11(,0),(,)(,)(0,1)2，所以 ， ，1,C1,C， .1(0,)BA1(,)2B设面 的法向量为 ，由,nxyz1100nCAn且，令 z = 1，则1
7、02xzy(,)设面 的法向量为 ，则1ACB2(,)nmk21210,0nBn且则 ，令 k = 1，则 02nkm2(,)设二面角 的平面角为 , 1则 1221cos|,| 3n【例 4】如图所示，四棱锥 PABCD 中，AB AD，CD AD，PA 底面 ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M 为 PC 的中点。（）求证：BM平面 PAD；（）在平面 PAD 内找一点 N，使 MN 平面PBD；（）求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦。【答案】（）因为 M 是 PC 的中点，取 PD 的中点 E，则 ，又E12CDAB12所以四边形 ABME 为平行四边形，所
8、以 BM ，A而 ， ，所以 BM BP平 面 PD平 面 PD平 面（）以 A 为原点，以 AB、AD、AP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则， ， ， ， ， ，1,0)2,0C,20,21,M0,1E在平面 PAD 内，设 ，则 ，Nyzyz易知： ，,PB1,DB由 ， 所以 ，得： M20P12由 所以 ，得： yy所以 ，于是 N 是 AE 的中点，此 时 。10,2N PMNBD平 面（）设直线 PC 与平面 PBD 所成的角为 ， ，设 ，则(,)PC， 1,2M,C于是 cos 36|2N 2sin|co|3故直线 PC 与平面 PBD 所成角的
9、正弦为 .2【例 5】 （2011 山东 19）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形， ， 平面09ACBEAABCD， EF/AB，FG/BC，EG/AC，AB = 2EF（）若 M 是线段 AD 的中点，求证：GM/平面 ABFE；（）若 ，求二面角2ACBEABFC的大小【解】（）由四边形 ABCD 为平行四边形， ，EA平面 ABCD，可得以 A09为坐标原点，AC，AD，AE 所在直线分别为 轴建立直角坐标系，,xyz设 ，则 ,=,ACaDbAEc(,).1(,0),(,0),0,(,0)2MbBab由 EG/AC 可得: ，()GCR1,2GMEAabc由 FG/B
10、C 可得: ，()FBAD，11(,),22Eabc 则 ， ，而 平面 ABFE，12GMG所以 GM/平面 ABFE；（）若 ，设 ，则 ， ACBE1A2CB,(2,0),(0,)(,0),(1)F则 ， ，2DF20A设 分别为平面 ABF 与平面 CBF 的法向1122(,),(,)xyzxyzn=n量则 ，令 ，则 ，即 ； 1120xyz111,0z1(,0)n=又有 ，令 ，则 ，即 。222x22,y2,1xyz于是 ，则 ，1212cosn, 1260n,设二面角 的大小为 ，由题意知：ABFC12,n故二面角 的大小为 。60【例 6】 （2012 潍坊二模）如图，斜三棱
11、柱 ABCA1B1C1，侧面 BB1C1C底面 ABC， BC1C 是等边三角形， .4,BA（1 ）求证： ；1（II）设 D 为 BB1 的中点，求二面角 DACB 的余弦值.【解】（1）因为侧面 BB1C1C底面 ABC， ，1C=AC侧 面 底 面且 ，所以 ，而 ，ABA面 11面所以 。1（II）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，4，0）， ，1(,23)1(,623)从而有 ，D5,易知平面 BAC 的法向量为 ，1(0,)n设平面 DAC 的法向量为 ，则 且 ，2xyz20nCA20D即 ，解得： ，取 ，得：4053xyz3,
12、5。2(0,)n设二面角 DACB 的大小为 ，xyz则 。1257cos|,|148n【例 7】如图，斜三棱柱 中，侧面 底面 ，侧棱 与底面1ABC1ABC1A成 角， ，底面 是边长为 2 的正三角形，其重心为 G 点，ABC06=2E 在线段 上，113E（）求证： 侧面/GAB（）求平面 与底面 所成的锐二面角的余弦。1C【解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，则有，(0,),(02,)(3,10)A。1132,B从而有： ， .,G,3E于是有： ，而 ,0,11(0,3)AGE所以 ，即 ，又 ，/EAB/ 1BA平 面所以 1平 面（）易知底面 ABC 法向量为 ，(0,)n设
13、平面 的法向量为 ，则 有 ，1BGE2,xyz10nGBE即 ，取 ，则 ， 。30xyz31y3x所以 。平面 与底面 ABC 所成的锐二面角为 ，则2(3,1)n1BGE.2121321cos, 7|n11BEA G BC H11EA G BC Hxyz【例 8】 （2011 上海） 已知正四棱柱 的的1ABCD底面边长为 1，点 F 在侧棱 上， ,1/B平 面 F且平面 FBD 与底面 ABCD 所成的锐二面角为 。045（）求正四棱柱 的侧棱长；1（）求异面直线 FB 与 DC 之间的距离；（）求三棱锥 的体积。1CFBD【解】（）建立如图所示空间直角坐标系，则有：(0,),(0,
14、)(1,0)(,1)AB设 CF = ，则 。aa，易知底面 ABCD 的法向量为 。(,)m设平面 FBD 的法向量为 ，则nxyz，即 ，取 ，则 ，所以 。0nDBF0yaz1ya(,1)na由已知： ，0 21cos45,|mn即 ，求得： 。所以 。21a2a(,)设正四棱柱的测棱长为 b，则 ，从而 。1(0,)Cb1(,CAb因为 ，所以 ，求得： 。1/CABD平 面 F2An2（）异面直线 FB 与 DC 之间的距离 。3d（） . 11 112()8CFBDCFBDCBDVVSFxyz【例 9】 （2008 安徽）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为 1 的菱形，OABCDA
15、BC, , , 为 的中点，4ABCOA平2M为 的中点N（）证明：直线 ；MNOCD平（）求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小； （）求点 B 到平面 OCD 的距离。【解】【方法一：几何法】（）证明：取 OB 中点 E，连接 ME，NEMCDM， AB , 又 NONOCD平 面 平 面 NOCD平 面（） ， 为异面直线 AB 与 MD 所成的角C 作 连接 MP. ,P于 AB 平 面 ， MP，2,4AD =21cos, 3MDC 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3（） ，所以点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等，ABOC 平 面 连接 OP，过点 A 作 于点 Q
16、，P, ,PDDOACD 平 面 又 ，QC 平 面于是线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离NMABDCOx yzNMABDCOP， ，2221324OPDOADP APD， 所以点 B 到平面 OCD 的距离为32AQ 3【方法二：向量法】作 于点 P，分别以 AB，AP，AO 所在直 线为 x，y，z 轴建立坐标系CD22(0,),(10,)(,0),(,0),ABD,2,1,4OMN（） 22(1,),(0,),(,)4NOP设平面 OCD 的法向量为 ，nxyz则 0,nPDA即 220yzx取 ，解得2z(,4)n11(,2)0MNAA MO平 面（）设 AB 与 MD
17、 所成的角 为 , 2,(,1)BD，Ab 与 MD 所成角的大小为1cos,23BDA 3（）设点 B 到平面 OCD 的交流为 d，则 d 为 在向量 上的投影的绝对值,O(0,4)n由 , 得 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为(1,02)OB23Ond23【例 10】已知在四棱锥 中，底面 ABCD 是矩形，且 AD = 2，AB = 1， PABCD平面 ABCD， E、 F 分别是线段 AB、 BC 的中点A（）证明： ；（）判断并说明 PA 上是否存在点 G，使得EG平面 PFD；（）若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 ，求二面角45的余弦值APDF【 解】（）由 平面
18、ABCD， ，AD = 2，AB = 1，90BA建立如图所示的空间直角坐标系 ，xyz则 0,1,(,)(0,)FD不妨令 ，因为 ，()Pt1Pt1,所以 ，即 ()FDAPF（）设平面 PFD 的法向量为 ，,nxyz由 ，得 ，0n0t令 z = 1，解得： 2txy,12tn设 G ，而 ，则 ，(0,)m1,0E(,0)EGm要使 EG平面 PFD，只需 ，即 ，nA1)1024tt得 ，从而满足 的点 G 即为所求 14mt14AP（） ， 是平面 PAD 的法向量，易得 ABPD平 面 B 1,0AB又 平面 ABCD， 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，得 ，PA = 1
19、，平面 PFD 的法向量为 45 ,2n ，62cos,14ABn故所求二面角 的余弦值为 PDF6【例 11】 （2009 山东高考）如图，在直四棱柱 ABCDA B C D11中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB/ CD，AB = 4， BC = CD = 2， AA =2, E、 E 、 F 分别是棱 AD、11AA 、 AB 的中点。1（）证明：直线 EE /平面 FCC ；11（）求二面角 BFC C 的余弦值。【解法一】（）在直四棱柱 ABCD-A B C D 中，取 A1B1 的中点 F1，11连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB = 4，CD = 2，且 AB/CD，所以
20、 CD A1F1，A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D，=/ 又因为 E、E 分别是棱 AD、AA 的中点，所以 EE1/A1D，1所以 CF1/EE1，又因为 平面 FCC ， 平面 FCC ，1CF所以直线 EE /平面 FCC .1EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 OP（）因为 AB = 4,，BC = CD = 2，F 是棱 AB 的中点，所以 BF = BC = CF，BCF 为正三角形，取 CF 的中点 O，则 OBCF，又因为直四棱柱 ABCD-A B C D 中， CC1平面 ABCD，11所以 CC1BO，所以 OB平面 CC1F。过 O
21、在平面 CC1F 内作 OPC1F，垂足为 P，连接 BP，则OPB 为 二面角 B-FC -C 的一个平面角。在正BCF 中， ，在 RtCC1F 中，OPF CC1F，3B ， ,1PCF22在 RtOPF 中, ，43OP。所以二面角 B-FC -C 的余弦值为 .27cos14PB17【解法二】（）因为 AB = 4，BC = CD = 2， F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF，BCF 为正三角形，因为 ABCD 为等腰梯形，所以BAC=ABC=60 ，取 AF 的中点 M,连接 DM，则 DMAB，所以 DMCD,以 DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD 1为 z 轴
22、建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（ ，-1，0），3F（ ，1，0），C（0，2，0）,C1（0，2，2），E（ ， ，0），312EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M E1（ ，-1，1）。所以 ， ，313(,)2E(3,10)CF，(0,2)CFC设平面 CC1F 的法向量为 ，则(,)nxyz10n所以，取 ，则 ，30xyz(1,30)13102E所以 ，所以直线 EE /平面 FCC .1nE11（） ，设平面 BFC1 的法向量为 ，(0,2)FB 1(,)nxyz则 ，所以 ，1nC110320yxz取 ，则 ，1(2,0) 3n， ,|
23、3221|()7所以 。11cos,|n由图可知二面角 BFC C 为锐角,所以二面角 B-FC -C 的余弦值为 .17【命题立意】本题主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力.【例 12】 （2010 山东高考）如图，在五棱锥 PABCDE 中， 平面PAABCDE，AB /CD，AC/ED，AE/BC，三角形42,45AEBCABCPAB 是等腰三角形。（）求证：平面 PCD 平面 PAC；（）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小；（）求四棱锥 PACDE 的体积。（）【证】在 中，因为 ，BC=4，AB
24、C452AB所以 22cos458BC因此 ，故 ， 所以209C又 平面 ABCDE，AB/CD， 所以P,DPA又 PA，AC 平面 PAC，且 PAAC=A， 所以 CD 平面 PAC，又 平面 PCD， 所以平面 PCD 平面 PAC。CD（）【解法一】因为 是等腰三角形，所以 ， 因此APB2PAB24PBA又 AB/CD， 所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离。由于 CD 平面 PAC，在 中， 所以 PC=4RtC,C故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD 的距离，所以 B 到平面 PCD 的距离为 h = 2. 设直线 PB 与平
25、面 PCD 所成的角为 ， 则 ，21sin4hPB又 所以02， 6【解法二】由（）知 AB，AC，AP 两两相互垂直，分别以 AB，AC，AP 为 轴，z 轴建立如图x所示的空间直角坐标系，由于 是等腰三角形，PAB所以 又 ，2PAB2C因此 (0,)(,0)(,0),(,2)因为 AC/DE， ， 所以四边 形 ACDE 是直角梯形，CDA因为 所以 因此02,45,/AEBEBC0135AE045CAE故 所以2sin(2,)D因此 (0,),0)CP设 是平面 PCD 的一个法向量， 则 .)mxyz ,0mCPD解得 取 y = 1，则得： 又, (,1)(2,)B设 表示向量
26、与平面 PCD 的法向量 所成的角，B则 所以 ， 即直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 。cos2|P3 6（）【解】因为 AC/ED， ，所以四边形 ACDE 是直角梯形CDA因为 ，所以 ，02,45,/EBEBC0135AE因此 ， 故 ，002sin450cos452DAC所以 ，3ES四 边 形又 平面 ABCDE，所以P12PCDEV【命题立意】本小题主要考查空间中的基本关系，考查线面垂直、面面垂直的判定以及线面角和几何体体积的计算，考查识图能力、空间想象能力和逻辑推理能力。 【例 13】 （2012 淄博 4 月联考）如图所示，正方形 ABCD所在平面与圆 O 所在平面相交
27、于 CD，线段 CE 为圆的弦，AE 垂直于圆 O 的所在平面，垂足 E 是圆上异于 C、 D 的点，AE =3圆 O 的直径为 9.（I）求证：平面 ABCD平面 ADE：（）求二面角 DBCE 的平面角的正切值【解】（I）因为 AE 垂直于圆 O 所在的平面，而 CD 在圆 O 所在平面内，所以 CD AE，又 CD AD，所以 CD 平面 ADE又 CD 在平面 ABCD 内，所以平面 ABCD平面 ADE（）因为 CD 平面 ADE，所以 CD DE，所以 CE 为圆 O 的直径，设正方形的边长为 a，DE = b，在 中和 中，RtCDEtA利用勾股定理可得： 解得： 。229335
28、6ab由已知，点 B 在圆 O 所在平面内的射影 在圆 O 上，且四边形 CDE1B为矩形。1以 D 为坐标原点，分别以 ED、CD 所在的直线为 x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,),(6,0),(35,0)(6,3)(5,3)ECAB， ，设平面 DBC 的法向量 为 ，11nxyz则 ，1nDB且即 ，求得： ，6350xyz02zx取 ，则 。1(,)n设平面 EBC 的法向量为 ， 则 ，22(,)yz2200nEBnC且即 ， 解得： ，取 ，则 。3506yzx52zyx2(5,)n设二面角 DBCE 的平面角为 ，则 ，12cos|,|92所以 。故二面角
29、DBCE 的 平面角的正切值为 。2tan5 5【例 14】（2012 日照一模）在如图所示的多面体中，EF平面AEB，AEEB，AD/EF ， EF/BC， BC = 2AD = 4，EF = 3，AE = BE = 2，G 是 BC 的中点。（I）求证：AB/平面 DEG；（II）求二面角 CDFE 的余弦值。【解】（I）因为 ADEF，EFBC，所以 ADBC. 又 BC=2AD，G 是 BC 的中点，所以 ADBG。 所以四边形 ABCD 是平行四边形所以 ABDG 而 AB 平面 DEG，DG 平面 DEG, 所以 AB平面 DEG （）因为 EF 平面 AEB，AE 平面 AEB，
30、BE 平面 AEB，所以 EF AE，EF BE， 又 AE BE所以 EB、EF、EA 两两垂直。以点 E 为坐标原点，EB 、EF、EA 分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。则有：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）.由已知： 是平面 EFDA 的法向量。 (,)E设平面 DCF 的法向量 为 ，则有：(,)nxyz，即 0nFDG20令 z = 1，得： 。(,1)设二面角 CDFE 的大小为 ，则有： 6cos|,|EBn即二面角 CDFE 的余弦值为 。 6【例 15】（2012 济南 3 月模考）
31、如图,在直角梯形 ABCP 中，AP/BC，APAB，AB = BC = AP = 2，D 是 AP 的中点，E ，F ，G 分别为 PC、PD、CB 的中点，将1PCD 沿 CD 折起，使得 PD平面 ABCD.（） 求证：平面 PCD平面 PAD；（） 求二面角 G-EF-D 的大小；（） 求三棱椎 DPAB 的体积.【解】 （）PD平面ABCD PDCD CDAD CD平面PAD CD 平面PCD 平面PCD平面PAD （） 如图以 D 为原点,以 ,ACP为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz. 则有 : G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1）=（0，-1，0），EG=（1
32、，1，-1）设平面 EFG 的法向量为 =（x，y，z）n00EFxzxyzynGA取=（1，0n，1） 平面 PCD的一个法向量, =（1，DA0，0） cos 2,|DAn结合图知二面角 G-EF-D 的平面角为 45 （） 13DPABABDVSPD = 1423【例 16】如图所示：边长为 2 的正方形 ABFC 和高为 2 的直角梯形 ADEF 所在的平面互相垂直，且 DE= ，ED/AF 且 DAF=90。（）求 BD 和面 BEF 所成的角的正弦； （）线段 EF 上是否存在点 P， 使过 P、 A、 C三点的平面和直线 DB 垂直，若存在，求 EP 与 PF 的比值；若不存在，
33、说明理由。【解析】1. 先假 设存在，再去推理，下结论： 2.运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。【解】（）因为 AC、AD、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则 B（2，0，0），D（0，0，2），E（1，1，2），F（2，2，0），则 (,),(,)(,)BB设平面 BEF 的法向量 ，nxyz则 ，20xyz则可取 ，(,1)n，向量 与 所成角的余弦为DB20，。2210cos=1()设直线 BD 和平面 BEF 所成的角为 ，则 。0sinco,1DBn（）假设线段 EF 上存在点 P，使过 P、A、C 三点的平面和直线 DB 垂直，不妨设
34、 EP 与 PF 的比值为 m，则 P 212,m则 ，12,1AP ,1所以有： ，求得： 。220()02故存在满足条件的点 P，且 。12EF【点评】本题考查了线线关系，线面关系及其相关计算，本题采用探索式、开放式设问方式，对学生灵活运用知识解题提出了较高要求。【例 17】已知斜三棱柱 ，1ABC，AC = BC = 2， 在底面 ABC 上90B 1A的射影恰为 AC 的中点 D，又知 。BC（I）求证： 平面 ；1AC1（II）求 到平面 的距离；（III）求二面角 的余弦值。1B【解】（I）因为 平面 ABC，所以平面 平面 ABC，1D1AC又 ，所以 ，得 ，CA平 面 1BA
35、C又 所以 ；111平 面（II）因为 ，所以四边形 为菱形，故 ，又 D 为 AC 的中点，知 。12160取 的中点 F，则 ，从而面 面 BCF， A1ABCF平 面 AB过 C 作 于 H，则 ，B1面在 中， ，故 ，Rt2,327H即 到平面 的距离为 。11AC（III）过 H 作 于 G，连 CG，则 ，B1AB从而 为二面角 的平面角，C1在 中， ，所以 ，1RtABC122CG在 中， ，于是GH4sin7H7cos=H故二面角 的余弦为 。1【另解】（I）如图，取 AB 的中点 E，则 DE/BC，因为 ，BCA所以 ，又 平面 ABC，DAC1以 DE，DC， 为 x
36、，y，z 轴建立空间坐标系，1则 0,0,2,10， ， ，112tt，,3,ACBAt，由 ，2010C知 ， 又 ，1从而 ；1平 面（II）由 ，得： 。2130ACBt3t设平面 的法向量为 ，,nxyz， ，10,所以 ，设 z = 1，则1302nyABx 3,1n所以点 到平面 的距离 。1C1127ACd（III）设 平面 的法向量为 ， ， ，1,mxyz10,32,0CB所以 ，设 z = 1，则 ，302AyCB ,1故 ，7cos,mn设二面角 的大小为 ，则 。1ABC7cos=|,|mn【例 18】（2012 济南 5 月模考）在斜三棱柱 1CBA中，侧面ABCAC
37、面1， a21, a1 , ACB, 中 点为 1D.。（）求证： 1D面 ；（）在侧棱 1B上确定一点 E，使得二面角ACE1的大小为 3.【解析】（） 面面 ， C ，1B面，即有 DAB；又 A，D 为 1中点，则 1A 1ABCD面 （）如图所示以点 C 为坐标系原点， CA 为 x轴， 为 z轴，建立空间直角坐标系 xyz,则有),0(),0(),(),0,( 11 aBaAaBaA,1C，设 ,zyxE，且 E，即有 ),()(x，所以 E 点坐标为 ,1(a. 由条件易得面 AC的一个法向量为)0,1(1n2,4,6设平面 1CEA的一个法向量为 ),(2zyxn，由 n12可得 0)1()(0azayx令 y = 1，则有 1,2， 则 2)(3cos21 n，得： 31所以，当 31BE时，二面角 ACE1的大小为 3
