1、系列专题讲座（四） 简单的统筹规划问题赵民强导读：最 优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益因此，最优化问题成为现 代应用数学的一个重要研究对象，它在生产、科学研究以及日常生活中都有广泛的应用作为数学爱好者，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有 益的现在通过几个例题，学习一些简单的知识和解题方法。也介绍了一点不定方程的知识，只供学有余力的学生进一步学习的参考。例 1、 妈妈让小明给客人烧水沏茶洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟洗茶壶要用 1 分钟，洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分
2、钟小明估算了一下，完成这些工作要 20 分钟为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？分析: 本题取自华罗庚教授 1965 年发表的统筹方法平话烧水沏茶的情况是：开水要烧，开水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取怎样安排工作程序最省时间呢？办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶
3、是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件它们的相互关系可以用下图的箭头图来显示箭杆上的数字表示完成这一工作所需的时间，例如表示从把水放在炉上到水开的时间是 15 分钟从图上可以一眼看出，办法甲总共要 16 分钟，而办法乙、丙需 20 分钟洗壶杯、拿茶叶没有什么先后关系，而且是由同一个人来做，因此可以将上图合并成下图解: 先洗开水壶用 1 分钟，接着烧开水用 15 分钟，在等待水开的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶，水开了就沏茶，总共用了 16 分钟又因为烧开水的 15 分钟不能减少，烧水前必须用 1 分钟洗开水壶，所以用16 分钟是最少的说明：本题涉及到
4、的统筹方法，是生产、建设、工程和企业管理中合理安排工作的一种科学方法，它对于进行合理调度、加快工作进展，提高工作效率，保证工作质量是十分有效的例 2、用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎 1 个饼需要 2 分钟（假定正、反面各需 1 分钟），问煎 1993 个饼至少需要几分钟？分析: 由于 1993 数目较大，直接入手不容易我们不妨先从较小的数目来进行探索规律如果只煎 1 个饼，显然需要 2 分钟；如果煎 2 个饼，仍然需要 2 分钟；如果煎 3 个饼，初学者看来认为至少需要 4 分钟：因为先煎 2 个饼要 2 分钟；再单独煎第 3 个饼，又需要 2 分，所以一共需要 4 分钟但是，这不
5、是最佳方案最优方法应该是：首先煎第 1 号、第 2 号饼的正面用 1 分钟；其次煎第 1 号饼的反面及第 3 号饼的正面又用 1 分钟；最后煎第 2 号、第 3 号饼的反面再用 1 分钟；这样总共只用 3 分钟就煎好了 3 个饼解：如果煎 1993 个饼，最优方案应该是：煎第 1、2、3 号饼用“分析”中的方法只需要 3 分钟；煎后面 1990 个饼时，每两个饼需要 2 分钟，分19902=995（次）煎完，共需要 2995=1990（分钟）；这样总共需要 3+1990=1993（分钟）同学们再考虑一下：煎 2006 张，2007 张各应如何解？从中总结出规律。说明：通过本例可以看出，掌握优化
6、的思想，合理统筹安排操作程序，就能够节省时间，提高效率例 3、5 个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是 1 分钟、2 分钟、3分钟、4 分钟和 5 分钟如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值分析: 5 个人排队一共有 54321=120 种不同顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面，则后面等的人所费的总时间会省些 解：首先 需 1 分钟的人排在第一位置，需 15=5 分钟需 2 分钟的人排在第二位置，共需 24=8 分钟需 3 分钟的人排在第三位置，共需 3
7、3=9 分钟需 4 分钟的人排在第四位置，共需 42=8 分钟需 5 分钟的人排在第五位置，共需 5 分钟所以共用时：15+24+33+42+51=35（分钟）说明: 排队提水的问题，在其他一些场合也是会遇到的例如，有一台机床要加工 n 个工件，每个工件需要的加工时间不一样，问应该按照什么次序加工，才能使总的等待时间最短同学们可类比去解。例 4、 有 157 吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 2 吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是 10 公升与 5 公升问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需用油多少公升？解：依题意，大卡车每吨耗油量为 105=2（公
8、升）；小卡车每吨耗油量为 52=2.5（公升）为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于157=531+2，因此，最优调运方案是：选派 31 车次大卡车及 1 车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油1031+51=315（公升）说明：本题是 1960 年上海市数学竞赛试题上述解法是最朴素的优化思想选派每吨耗油量较少的卡车同学们可考虑： 货物分别为，158，159.160 时如何解？ 大卡车的载重量是 5 吨，小卡车的载重量是 3 吨，又如何解？例 5、某工地 A 有 20 辆卡车，要把 60 车渣土从 A 运到 B，把 40 车砖从 C 运到 D（工地道路图如右图所示），问如何
9、调运最省汽油？分析: 把渣土从 A 运到 B 或把砖从 C 运到 D，都无法节省汽油.只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。解：如果各派 10 辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回 300 米，每运一车砖则要空车跑回 360 米， 空车共跑 60300+36040=32400 米。如果一辆车从 ABCDA 跑一圈，那么每运一车渣土、再运一车砖要空车跑240+90330（米）.因此，先派 20 辆车都从 A 开始运渣土到 B，再空车开往 C 运砖到 D 后空车返回 A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.然后再派这 20 辆车都从 A 运渣土到 B 再空车返回 A，则运渣土任务也完成了.
10、这时总共空车跑了33040+3002019200（米）.是最佳节油的调运方案。说明：“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。例 6、 有 十个村，坐落在从县城出发的一条公路上（如下页图，距离单位是公里），要安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管粗管足够供应所有各村用 水，细管只能供一个村用水粗管每公里要用 8000 元，细管每公里要用 2000 元把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用请你设计一个 最节约的办法，并算出费用应是多少？分析: 由题意可知，粗管每公里的费用恰好是细管每公里费用的 4 倍因此，如果在同一段路上要安装 4 根以上的细管，就应该用一根粗管
11、来代替，便可降低工程的总费用解：假设从县城到每个村子都各接一根细管（如上图），那么在 BA1、BA2、BA3、BA4、BA5、BA6 之间各有 10、9、8、7、6、5 根细管，应该把 B 与 A6 之间都换装粗管，只用一根，从 A6A ，A6A 开始用细管，分别为 4，3，2，1 根，则工程的总费用将最低，这时的总费用是：a=8000（30+5+4+2+3）+2000（24+23+22+5）=414000（元）说明：容易验证，从县城 B 起，铺设粗管到 A6 或 A7 或者 A6A7 之间任何一个地点，都是最节约的办法，总费用仍是 414000 元下面详细论证其他安装方案的总费用都大于 a当
12、粗管从县城 B 铺设到超过 A7 向 A8 移动一段路程 d（0d2）公里时，粗管费用增加 8000d（元），而细管费用仅减少2000d3=6000d（元）这时总费用比 a 多 2000d（元）当粗管从县城 B 铺设到超过 A8 向 A9 移动一段路程 d（0d2）公里时，粗管费用增加8000（2+d）=16000+8000d（元），而细管增费用仅减少2000（232d）=120004000d（元）这时总费用比 a 多 4000+4000d（元）当粗管从县城 B 铺设到超过 A9 向 A 移动一段路程 d（0d5）公里时，粗管费用增加8000（2+2+d）=32000+8000d（元）而细管费
13、用仅减少2000（23+22+d）=20000+2000d（元）这时总费用比 a 多 120006000d（元）综上所述，从县城 B 铺设粗管到超过 A7 点以东的任何地点的安装总费用都大于 a类似地，可以验证从县城铺设粗管到 A6 点以西的任何地点的总费用也都大于 a例 7、在一条公路上每隔 100 千米有一个仓库（如图），共有 5 个仓库.一号仓库存有 10 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，五号仓库存有 40 吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费，那么最少要多少运费才行？分析：欲使花费的运输费少，关键在于运输
14、的货物和路程尽可能少，实际经验告诉我们一个原则“小往大处靠”.下面就以两地调运问题为例加以计算验证：如下图，在公路上 A、B 两地各有 10 吨、15 吨麦子，问打麦场建在何处运费最少？同学们先考虑一下，建在 B 处是不是运费最少？是。现在做一简要说明。设打麦场建在 C 点，则总运费是（假定每吨小麦运输 1 千米的费用是 a 元）W10aAC15aBC10aAC10aBC5aBC10a（ACBC）5aBC=10aAB5aBC上式中 10aAB 是固定的值，不随 C 点的选取而改变；只有 5aBC 随 BC 的变化而改变，若 BC 越小，则 W 也越小.当 BC=0 时，即 C 点与 B 点重合
15、时， W 的值最小.因此打麦场建在 B 点时总运费是 10aAB（元）为最少.显然当打麦场建在 AB 线段之外时，总运费都大于 10aAB（元）。解：根据“小往大处靠”的原则，先把一号仓库的 10 吨货物送往二号仓库集中，需运费100.5100=500（元）。这时可以认为二号仓库有 30 吨货物，而五号仓库有 40 吨货物，于是又应把二号仓库的 30 吨货物运往五号仓库集中，需运费300.5300=4500（元）。所以，把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少，需要5004500=5000（元）。说明：“小往大处靠”的原则也不是一成不变的，具体问题还要具体分析。再举两例如下：例如：一号仓库有 2
16、0 吨货物，二号仓库有 30 吨货物，其他仓库存货照样如前，那么应该往哪个仓库集中呢？首先仍应把一号仓库的 20 吨货物运往二号仓库集中，然后再把五号仓库的 40 吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最少。又如：一号仓库有 30 吨货物，二号仓库有 20 吨货物，其他仓库存货仍然如前，那么应该往哪个仓库集中呢？先把一号仓库的 30 吨货物运往二号仓库集中，再把五号仓库的 40 吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最省.（想想为什么？）还有一点值得注意：在决定货物往何处集中时，起决定作用的是货物的重量，至于距离仅仅是为了计算运费.如果把本题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值，仍应该把货物集中到五号
17、仓库。本题可以推广为一般命题：“一条公路上有 n 个仓库，它们分别存货 A1 吨、A2 吨、an 吨.现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里，应该选取哪个仓库可以使总运输费最少？”它的解法将涉及到一次函数的知识，同学们在学过初三代数之后就会完全明白了。例 8、 山区有一个工厂它的十个车间分散在一条环行的铁道上四列货车在铁道上转圈运送货物。货车到了某一车间，就要有装卸工人装上或卸下货物各车间由于工作 量不同，所需装卸工人数也不同，各车间所需装卸工人数如图所示。当然，装卸工可以固定在车间等车；也可以坐在货车上跟车到各车间去干活；也可以一部分装卸 工固定在车间，另一部分跟车问怎样安排跟车人数和各车
18、间固定人数，才能使装卸工的总人数最少？最少需多少名工人？分析： 如跟车人数为 57，则各车间都不用安排人，但这样在需要人数少的车间，浪费人力,不行；为此找出各车间人数的平均数，后再调整。各车间人数的平均数为. 43.9.若跟车人数为 43，则需人数多于43 的车间需增加的人数分别为 14，7，5，3，9，此时共需人数 434+14+7+5+3+9=210。若 跟车人数为46，由于需人数多于 46 的有四个车间，货车上增多的人数与四个车间减少的人数一样。故跟车人数为 46人，需人数多于 46 的四个车间人数各增加 所差数即可解：464+4+2+6+11=207（人）。同学们可用其它数再算算，看这
19、个结果是否最少？例 9、189 米长的钢筋要剪成 4 米或 7 米两种尺寸，如何剪法最省材料？分析：显然无残料的剪法是最优方案.于是考虑二元一次不定方程的整数解问题这里我们先用算术方法来解。因为 1897=27。第一种方案：7 米 27 个，4 米 0 个，又由于 4 与 7 的最小公倍数为 28，所以 7 米的减少 4 根，4 米的增加 7 根即可，所以有：第二种方案 7 米 23 个 4 米 7 个第三种方案 7 米 19 个 4 米 14 个第四种方案 7 米 15 个 4 米 21 个第五种方案 7 米 11 个 4 米 28 个第六种方案 7 米 7 个 4 米 35 个第七种方案
20、7 米 3 个 4 米 42 个如用求二元一次不定方程的整数解的方法。解：设 4 米长的剪 x 根，7 米长的剪 y 根，依题意列方程4x7y189。根据倍数分析法可知7x（即 x 是 7 的倍数）。令 x10，则 7y189，解出 y1=27；x27，则 7y161，解出 y223；x3=14，则 7y133，解出 y319；x4=21，则 7y=105，解出 y4=15；x528，则 7y=77，解出 y5=11；x6=35，则 7y49，解出 y67；x7=42，则 7y21，解出 y7=3。因此，有七种剪法都是最省材料的。说明： 本例是最简单的下料问题，属于“线性规划”的范畴，线性规划
21、是运用一次方程（组）、一次函数来解决规划问题的数学分支。规划论研究的问题主要有两类：一确 定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力和财力的条件下，研究怎样合理调配，使它们发挥最 大限度的作用，从而完成最多的任务。这种解法仅供学习有余力的学生进一步学习时参考例 10、用 10 尺长的竹竿做原材料，来截取 3 尺、4 尺长的甲、乙两种短竹竿各 100 根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？分析: 不难想到有三种截法省料：截法 1：截成 3 尺、3 尺、4 尺三段，无残料；截法 2：截成 3 尺、3 尺、3 尺三段，残料 1 尺；截法 3
22、：截成 4 尺、4 尺两段，残料 2 尺。由于截法 1 最理想（无残料），因此应该充分应用截法 1.考虑用原材料 50 根，可以截成 100 根 3 尺长的短竹竿，而 4 尺长的仅有 50 根，还差 50 根.于是再应用截法 3，截原材料 25 根，可以得到 4 尺长的短竹竿 50 根，留下残料22550（尺）。解：至少要用 75 根原材料，其中 50 根用截法 1，25 根用截法 3，这样的截法最省料.说明：一般说来，一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题，用本例的方法求解是比较省料的，这种解法的理论根据要用到二元不等式及一次函数图像，有兴趣且有余力的同学可参阅有关书刊。例 11、有 1
23、993 名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？分析 由于 1993 数目较大，不易解决我们先从人数较小的情况入手“退一步想”，这是一种很重要的数学思想方法。解：当只有 2 个人时，设 2 人宣传岗位分别为 A1 和 A2（如上图），显然集合地点选在 A1 点或 A2 点或者 A1A2 之间的任何一个地点都可以因为由 A1、A2 出发的人走过的路程总和都等于 A1A2当有 3 个人时，则集合地点应该选在 A2 点（如右图）因为若集合地点选在 A1A2 之间的 B 点，那时 3 个人所走的路程总
24、和是A1B+A2B+A3B=（A1B+A3B）+A2B=A1A3+A2B；若集合地点选在 A2A3 之间的 C 点，那时 3 个人所走的路程总和是：A1C+A2C+A3C=（A1C+A3C）+A2C=A1A3+A2C；而集合地点选在 A2 点时，3 个人所走路程总和仅是 A1A3当然 A1A3 比 A1A3+A2B 及 A1A3+A2C 都小当有 4 个人时，由于集合地点无论选在 A1A4 之间的任何位置，对 A1、A4 岗位上的人来说，这 2 人走的路程和都是 A1A4（如下图）因此，集合地点的选取只影响 A2、A3 岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2 个人站在 A2 和 A3
25、岗位的情形”根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在 A2 或 A3 或者 A2A3 之间任何地点当有 5 个人时，类似地可把问题转化为“ 3 个人站在 A2、A3、A4 岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在 A3 点依此递推下去，我们就得到一个规律：当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段 AnAn+1 之间的任何地点（包括 An 和 An+1 点）；当有奇数（2n+1）个人时，集合地点应选在正中间岗位 An+1 点本题有 1993=2996+1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第 997 个岗位处说明：本题的解题思路值得掌握，那就是先从简单的较少的人数
26、入手，通过逐步递推，探索一般规律，从而解决某些数字较大的问题练习*1妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了 17 分钟（如下图），请你设计一个顺序，使花费的时间最少*2用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼如果煎一个饼需要 4 分钟（假定正、反面各需 2 分钟），问煎 m 个饼至少需要几分钟？*3小明、小华、小强同时去卫生室找张大夫治病小明打针要 5 分钟小华换纱布要 3 分钟，小强点眼药水要 1 分钟问张大夫如何安排治病次序，才能使他们耽误上课的时间总和最少？并求出这个时间*4赵师傅要加工某项工程急需的 5 个零件，如果加工零件 A、B、C、D、E 所需
27、时间分别是 5 分钟、3分钟、4 分钟、7 分钟、6 分钟问应该按照什么次序加工，使工程各部件组装所耽误的时间总和最少？这个时间是多少？*5某水池可以用甲、乙两个水管注水，单放甲管需 12 小时注满，单放乙管需 24 小时注满若要求10 小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，则甲、乙两管合放最少需要多少小时？*6.某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示.现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？*7.产地 A1、A2、A3 和销售地 B1、B2、B3、B4 都在铁路线上，位置如下图所示.已知 A1、A2、A3 的产量分别为 5 吨、3 吨、2 吨；B1、B2、B3、B4
28、的销售量分别是 1 吨、2 吨、3 吨、4 吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。*8.把长 239 米的钢筋截成 17 米和 24 米长的钢筋，如何截法最省材料？*9.钢筋原材料每件长 7.3 米，每套钢筋架子用长 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的钢筋各 1 段.现在需要绑好钢筋架子 100 套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？*10. 某车间有铣床 3 台，车床 3 台，自动机床 1 台，生产一种由甲、乙两个零件组成的产品.每台铣床每天生产甲零件 10 个，或者生产乙零件 20 个；每台车床每天生 产甲零件 20 个，或者生产乙零件 30个；每台自动机床每天生产甲零件 3
29、0 个，或者生产乙零件 80 个.如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产 品？每天最多可生产多少套产品？答案*112 分钟*2若 m1 时，至少需要 4 分；若 m2 时，至少需要 2m 分钟*3按小强、小华、小明的顺序安排，耽误上课的时间总和为：13+32+5=14（分钟）*4按 B、C、A、E、D 的顺序加工，耽误时间总和最少为：35+44+53+62+7=65（分钟）*6.答：糖厂建于 C 处总运费最省。如下图（a），根据“小往大处靠”的原则，把 A 靠到 B；E 靠到G，F 靠到 G，这样就成图（b）同理：B 靠到 C，D 靠到 C，这时，C 为 16 吨；G 为 11 吨
30、.最后，G 靠到 C。*7.答：A 运往 B 处 1 吨；运往 B 处 2 吨；运往 B 处 2 吨。A 运往 B 处 1 吨；运往 B 处 2 吨。A 运往 B 处 2 吨。*8.解：设截成 17 米长的钢筋 x 根，截成 24 米长的钢筋 y 根。则有 17x+24y=239，可得非负整数解为x7，y=5。*9.解：截法 1：2.92.91.5=7.3截法 2：2.12.11.51.57.2截法 3：2.9+2.1+2.17.1答：共用钢筋 90 根，其中 40 根用截法 1；30 根用截法 2；20 根用截法 3.10、解：所以：自动机床最善于生产乙零件；车床最善于生产甲零件.因此确定：自动机床只生产乙零件，车床只生产甲零件；铣床生产部分甲零件和部分乙零件，使其配套。答：自动机床一天生产 80 个乙零件；车床一天生产 32060 个甲零件；铣床一天生产 个乙零件、 个甲零件，三种机器一天共生产 套产品（即三天共生产套产品）.
