1、 数列综合题习题课毕业论文（设计）题目：数列综合题习题课数列综合题习题课数列综合题习题课摘要数列是高中数学的重要内容之一，它的基础性和发展性是不言而喻的，由于数列与函数、三角、不等式、解析几何、立体几何等有广泛的联系，有很强的综合性，是高中代数中培养学生综合能力的好素材。本文通过对历年高考题的分析与讲解，希望能培养学生的数学思维能力，自始至终贯穿观察、分析、归纳、类比、运算、概括、应用等能力。其次，数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数学方法，掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用数学思想方法解决问题的过程
2、，往往能诱发知识的迁移，使学生产生举一反三、融会贯通的解决数列问题。然而数列综合题的学习与理解对于大多数学生来说却是很困难的，本文将数列综合题进行了归类,想通过这几类的题型的讲解，让同学们了解和认识到数列，也希望通过所列举的例题与习题来引导学生进入数列综合题的研究与学习。关键词： 数列；函数；不等式；几何；数学思想 ；数学方法数列综合题习题课PROBLEM SETS WILL SEQUENCE SYNTHESIS PROBLEMABSTRACTThe sequence is one of the important contents of high school mathematics, wh
3、ose foundation and development is evident, because it has a wide connection with function, inequality, triangle, analytic geometry, and solid geometry, which is very comprehensive and is a good material to cultivate comprehensive ability of students in high school algebra. Based on the analysis and
4、explanation of the questions in the college entrance examination, this article aims to cultivate students mathematical thinking, observation, analysis, induction, analogy, computing, generalization and application ability, etc. Secondly, the chapter of sequence contains a variety of mathematical ide
5、as and methods, such as function, equation ideology, and the basic concept, formula teaching itself contains abundant mathematical methods. To master these methods not only can improve the understanding of the concept and the formula and the use of mathematical thought and method to solve the proble
6、m, but also contribute to the migration of knowledge, enable students to infer other things from one fact, and achieve mastery through a comprehensive study of the sequence questions. However sequence synthesis problem of learning and understanding is very difficult for most of the students, this pa
7、per compared the sequence synthesis problem, want to through this a few kinds of questions of interpretation, let students understand and recognize the series, also hope that through cited examples and exercises to lead the students into sequence synthesis problem in the research and study.Keywords:
8、 sequence; function; inequality; geometric; mathematical thinking; mathematical methods数列综合题习题课目 录1 前言-12 教学过程-22.1 第一讲：等差数列与等比数列的综合问题-22.1.1 等差数列的综合问题-32.1.2 等比数列的综合问题-52.1.3 等差数列与等比数列的综合问题-72.2 第二讲： 数列的求和-92.2.1 公式法求和-92.2.2 错位相减法求和-122.2.3 数列求和的其他方法-142.3 第三讲：数列与函数、不等式、解析几何的综合问题-172.3.1 数列与函数、不等式
9、的综合问题-182.3.2 数列与解析几何的综合问题-212.4 第四讲：其他数列综合问题-242.4.1 递推公式与通项公式-242.4.2 数列与存在性问题-262.4.3 数列、极限、解析几何的综合题-292.4.4 数列构造法与最值问题的应用-312.4.5 数列与向量、概率的综合问题-323 结论-36参考文献-37致谢-38数列综合题习题课第 1 页 共 36 页1 前言数列是高中阶段重要的数学基础知识和基本技能，同时数列是刻画离散现象的数学模型，在我们的日常生活中，数列模型可以帮助我们解决如存款利息、购房贷款、资产折旧等实际问题，学习它，研究它，主要是想利用它来解决一些实际问题，
10、让其为我们的生活更好地服务。也就是说，我们所学知识都来源于实践，最后还要应用于生活。其次学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值也具有重要的意义。数列是高中数学的重要内容，也是很多数学思想方法的重要载体，它具有丰富的现实背景，在现实问题的解决中有着广泛的应用。数列作为离散函数的模型，具有函数的性质，又有自己独特的递推关系，使得他与高中数学的其他部分有着密切的联系，又具有自己鲜明的特征，因此是高考重点考察的内容之一。对于数列综合题的学习需要学生具有一定的综合能力，本文正是为了培养与锻炼学生这种综合能力而进行编写的。文中所选习题与例题均出自历年高考真题与各省的模拟题，范围基本覆盖数列
11、的所有知识点。对于学习者来说，或许有些难度，但是我相信读者们一定可以跨过这道门槛，走进数列丰富多彩的殿堂。数列综合题习题课第 2 页 共 36 页2 教学过程2.1 第一讲：等差数列与等比数列的综合问题授课题目 等差数列与等比数列的综合问题课型 习题课年级 高三知识与技能熟练运用等差、等比数列的概念、通项公式、前 项和公式以及递推公式的有关n性质，分析和解决等差、等比数列的综合问题.过程与方法通过对等差、等比数列综合题的分析、探究，提高学生的观察、探索、发现的能力；利用例题来培养学生分析、比较、概括、归纳的能力.教学目标情感、态度与价值观通过具体问题，发现等差等比数列之间的关系以及同其他知识的
12、关系，并利用相关知识予以解决，感受数列的应用价值；培养学生严谨求实、细心观察的科学态度.学情分析在本节课之前学生已经学习了等差、等比数列的所有基本知识，对于基本概念以及相关知识都比较熟悉，同时学生已有了函数与方程知识，因此在教学中可适当渗透函数与方程思想。然而将这些知识综合在一起来考查，学生们往往感觉比较困难，针对学生的认知规律，本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过分析、讨论、归纳、探索而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生见识到这类题型的考查方式与解题的基本思路，为学生后来更深一层的研究数列问题打下基础.教学重点与难点通过对等差、等比数列通项
13、公式的运用，渗透函数与方程思想，以及对数列前 项和 与数列 之间的关系理解.nnSna教学方法 讲授法教具 粉笔、直尺数列综合题习题课第 3 页 共 36 页2.1.1 等差数列的综合问题方法引导：解决等差数列的综合问题时，首先要熟练掌握等差数列的定义，能够用定义法或等差中项法判断或证明一个数列是等差数列；其次要熟练掌握等差数列的通项公式和前 项和公式，能够用等差数列的性质解决相关问题。n例 1 设数列 的前 项和为 ，已知 且nanS123,6,1,a，其中 A、B 为常数。5852,2,3nSSAB（1） 求 A 与 B 的值；（2） 证明数列 为等差数列；na（3） 证明不等式 对任何正
14、整数 、 都成立。51mnamn选题意图：此题以方程为背景，综合考查了数列 与其前 项和 之间的关系、等anS差数列的定义、以及不等式的相关知识，对于学生的方程与函数思想、归纳与分析能力的训练都有一定的好处，此题属于常规题型，具有代表性，且问题也不是很难，学生可以接受，解法也很普遍，具有示范性。解析：首先看看三个问题，第一问是要求 A 与 B 的值，第二问要证明数列 为等差数na列，第三问是要证明不等式 对任何正整数 、 都成立，针对第一问，51mnnam这里同学们很容易盯着 不放，而忽视182,12,3SSn，导致此题无从下手，这就是没有理解题意的表现，我们往往只盯123,6,1,a着题目中
15、比较大，比较长的式子，而忽视一些细节，所以在作题时，要把题设中所有对象“是什么，有什么性质，如何表示”尽可能理清楚的写下来。仔细分析后，我们很容易想到把 的值代入已知等式，建立 A 与 B 的方程组，求得 A 与 B 的值。123,a这里我们对于题意的表层理解就是找出了 与 的关系，其实只要我们更深一层的理nSa解，就会发现这里其实所要表达的是等差数列的函数性质与方程思想的运用。于是有得 把 分别代入123,6,1,a12,7,18.S,2数列综合题习题课第 4 页 共 36 页得 15852nnSSAB28,4解得 到此第一问解决，绝大多数同学，我想都能做出来。0,8.AB而第二问要我们证明
16、数列 为等差数列，而条件给我们的只是有关前 项和na n之间的关系，所以第二问解题的关键就是要找出 与 之间的关系，这里仍然考察nS nSa与 的关系。于是由（ 1）知， a1158208,nS即 158208,nnS这里出现了 与 之间的关系，结合 ，递推思想的运用在此油然而生，nna1很自然想到将 向前加一位或向后减一位。故得 21518208.nnaS则 得， 21()520,naa即 21(3).nn还是这种想法，将 向前加一位得 32570.nna则 得， 32150,nnaa这里我们已经将开始条件里的 之间的关系，彻底转化为了 之间的关系，充分Sn体现了解题基本路径中的“变更问题”
17、思想，这种转化使得问题的初始状态与目标状态愈来愈接近。观察式 520,n 31,naa 又 等差数列最鲜明的特征在此处展2325,n a215,a现出来了。数列 是首项为 1，公差为 5 的等差数列。na对于第三问是证明不等式 ，我们可以从这个式子入手分析，1mnna要想证明 5mnn数列综合题习题课第 5 页 共 36 页只要证明 15nmna即只要证 2又由（2）知， 考虑*4.nN54250.mnamn 21119.mnmnnaa 255290,n即 ,mn 1.na因此 5m这种“执果索因”的分析方法，在今后的学习中将被经常用到，同学们要好好体会。能力考察：在数列 中na*111,30
18、2,.nnanN（1） 判断数列 是否为等差数列；n（2） 若 对任意 的正整数恒成立，求实数 的取值范围。1na22.1.2 等比数列的综合问题方法引导：解决等比数列的综合问题时，首先要深刻理解等比数列的定义，能够用定义法或等比中项法判断或证明一个数列是等比数列；其次要熟练掌握等比数列的通项公式和前 项和公式，能够用等比数列的性质解决有关问题。闲话不多说我们来n看看这道题。例 2 已知等比数列 的前 项和为na*23,.nnSkRN（1） 求 的通项公式；na（2） 设数列 满足 为数列 的前 项和，求证：b45,nabnkTnb30.16nT选题意图：此题依然是想考查学生对于数列 与 之间
19、关系的理解，第二问的S直观的感觉很复杂，可是只要我们算下去，就会“由难变易” 。对于不45,nabnk数列综合题习题课第 6 页 共 36 页等式 考查同学们函数思想的应用。这里也再次强调，对于数列问题而言，30.16nT函数思想是必须具备的。解析：还是一样，先看看问题。第一问是求 的通项公式，第二问证明不等式。针对na第一问，条件告诉我们 是一个等比数列，如果我们知道首项与公比，那么第一问na就没有问题，关键题目给的条件还是和 有关，结合 ，我们依然采取例nSnnS11 的思想，于是，当 时，116,k当 时， 由于 是等比数列，所以 因此2n143,nnnaSna3211,na有 解得 这
20、时 到此第一问就解决了。这里体现了数学解题的13,6k2,k1.n元认知中的“控制” ，即当我们遇到一道新题目时，对如何入手、如何策划、如何构思、如何选择、如何组织、如何猜想、如何修正等都应该作出基本策划和安排。对于第二问，由于 ，这个关系式很复杂，我们可以不关注其“长相”45nabnk，依然从深层去理解，紧抓问题之间的关系，联系第一问我们可得 ，故143nabn，从而 到这里我们就把刚刚题目中的“隐性信息”转化成了“显1nab1.43nb性信息” ，接下来的求解就可水到渠成。所以1234231,4n n nT 观察 的构造，很自然想到用错位相减法求出 ，T即 221,4343n n则 得211,43n nnT 所以， 2 1,886n 要证 30.16n即要证 ，很显然要考虑 的取值情况，即考查它的单调性。1n 132n不妨令 ，显然 随着 的增大而减小，故 ，故23ff 3016fnf
