1、1第七章 存贮论存贮问题及其基本概念一、存贮问题存贮（inventory ）问题是一个社会生产和服务中广泛存在的一个问题例如生产厂家有自己的存贮仓库，目的主要是为了使生产平稳进行因为需求往往有季节性的变化，有时需求超过生产量，有时低于生产量如果雇佣工人的数量也随货物购买需求变化而变化，则会在雇佣、辞退工人，安排后勤等方面相当麻烦，也不可能保证在淡季辞退的职工在旺季还会回来应聘，使职工队伍的技术构成难以稳定，而且不能准确预测每季的需求量所以生产厂家都是采用稳定生产存贮成品的策略在卫生服务单位，每天消耗卫生资源，存贮一定量的卫生资源是为了满足日常所需，同时也为了节省购买和运输费用因为每天去购买药品
2、、器械、消耗品要花费很多人力和物力，每天的使用量是有限的，不如成批进货经济而且某些卫生资源不是每天都能买得到的，商家和厂家都可能缺货，那就会严重影响卫生服务的进行，有时会失去生命抢救的机会一次大量购进某种货物，厂家或商家还愿意给以价格折扣但一次购进货物过多，则使某些货物存贮时间过长，造成变质失效，同时增加了保存的费用，但如果进货太少，或者进货间隔太长，则可能出现缺货现象，导致某些服务中断所以如何进货，保持什么样的库存量，既可满足需要，又使总费用最少，就是存贮论所研究的问题二、存贮问题研究中的基本概念订货-到货间隔（lead time）：从发出定单到得到货物的时间这段时间的长短关系到库存决策者什
3、么时间发出订单订货费用(ordering cost)：包括从发出定单到接受货物时段内除支付货物价值外的一切费用，包括手续费、通信费、验货费、运输费、人工费等存贮费用(holding cost)：包括仓库运转费用、人员工资、货物损害及贬值2损失、以及这些投入费用丧失的利息缺货损失(shortage cost)：存贮不能满足需求而导致经济损失，如销售减少导致利润减少，因为缺乏某些物资在医疗中造成医疗质量下降还可能需向病人做出赔偿经常缺少某资源可能使机构的信誉下降，失去一些消费者，这些损失有时是难以计算的，但如能估计则应计算在内独立需求(independent demand)：某货物的需求量不随其他
4、货物的需求量变化而变化在卫生服务机构，绝大多数卫生服务物资之间没有需求数量上的直接的依存关系，因而属于独立需求依赖需求(dependent demand)：也可称非独立需求当某货物的需求量随另一货物需求量变化而变化，这种需求就是非独立需求，此货物就是非独立需求货物比如对某种大型医疗仪器的几种不同的零件的需求量往往是互相密切相关的又如某种手术需要两种或多种一次性物品，它们需求数量之间也是互相相关并依赖于这手术的数量三、存贮策略（一）货物 ABC 分类及重点货物存贮管理一个卫生单位需要备有多种材料和药品以满足日常和突发事件的需要在各种材料占用资金的分布上呈现如下规律，即把每品种占用资金从大到小排列
5、，20%以下的品种占用资金的 70%以上，30%的品种占用资金 20%左右，剩下 50%的品种占用资金的 10%以下如某单位通过盘点得表 7-1 资料表 7-1 某单位 98 年库存材料 ABC 分类类别 每种占用金额（元）累计品种数占总品种数百分比累计占用金额（元）占总金额的百分比A 10000 29 7.3 1291126 78.3B 1000-10000 87 22.1 278564 16.9C 1000 278 70.6 79432 4.8合计 394 100.0 1649122 100.0A 类材料品种虽少但占用资金多，是影响资金周转的主要因素，因此需要重点管理B 类材料也要重视，应
6、了解其每月用量、库存费用、变质失效期限等情况，保持合理库存C 类材料种类繁多而占用资金很少，则在管理控制程度上可松一些3以上的分析仅是从医院经济成本控制的角度考虑事实上，有些价格低，需求量小的货物却不能缺货从经济收入看好象损失不大，但缺货可严重影响医疗质量，给医院的声誉带来不利影响这些货物也应该有意地放入 A 类（二）人工存贮管理存贮管理者定期盘点各种库存货物，以便做出订货决策这种策略往往是用在规模较小的卫生服务单位，存贮货物的品种和数量都不多，容易进行盘点或者用于那些失效或变质较快，补充可以比较频繁，价格比较高的货品盘点间隔比较长的称定期性存贮管理；盘点间隔很短，甚至每天都盘点统计存货数量的
7、称连续性存贮管理连续人工存贮管理的典型例子是血库管理对每种血型用一张卡片记录库存量，当有新的血存进来或者有病人使用，管理者就会在卡片上做相应的记录，所以，每种血型的存量每时都有准确的记录（三）自动化存贮管理自动化存贮管理是连续地对每种库存管理货物的数量进行追踪记录，并通过计算机程序处理数据给管理者提供订货决策依据，常依赖于专门软件系统每种存贮管理的货物有文件记录其数量，根据预先编制的最小存贮量或者预期的需要量等参数，软件可以发出订货提示，或者直接打出某货物的订单多数情况是系统给出资料，由管理者做出订货决策，但如果货品需求有一定规律，直接用设计的决策程序可以节省管理人员许多精力记录各种货物存贮数
8、量的文件一般称为主文件，出库记录文件和入库记录文件等则称副文件副文件的更新一般是实时的，主文件的更新则有实时的和周期性的，依存贮成本控制的策略而定（四）有关存贮补充时间和补充量的策略1定时订货固定补充量策略对某种货物，每隔一个固定的时间补充库存一次，每次补充的量是相同的一般适用于对该货物需求比较平稳的情况2定时订货最大存贮量策略每隔一个固定时间把某货物补足到预先确定的最大存贮量如果这最大存贮量为 S，到要进货的时间实际存贮量为 I， 则订货量为 Q=S-I43安全存贮量策略给某货物确定一个最大存贮量的同时也确定一个最小存贮量，又称安全存贮量当实际存贮量小于最小存贮量时就进行补充，补充到最大存贮
9、量如果对该货物的盘点不是经常进行，如每天，则有可能出现实际库存显著低于最小存贮量的情况，所以，采用此策略时，盘点间隔不会太长，有的管理系统甚至每天进行一次盘点，以让安全存贮量起到不出现缺货的安全作用上述三种存贮策略可用简明的存贮状态图表示出来，把存贮量随时间的变化画在直角坐标上横轴代表时间，纵轴代表某货物存贮量每种存贮策略可用数学模型来确定订货量、订货时间，此模型称为存贮模型存贮模型分为确定性存贮模型和随机性存贮模型前者适用于单位时间内需求量是确定的或基本确定的，后者适用于单位时间内需求量是随机变量的情况四、存贮管理的目的和步骤任何存贮模型的目的是在满足存贮货物需求的情况下使总的存贮费用为最小
10、两个基本的决策变量是订货时间和订货量解决存贮问题需要五个基本步骤（一）确定存贮系统的特性存贮系统的特性由四个因素的特性确定，即货物需求特性、货物补充特性、存贮成本特性和约束条件特性正确的认识和考虑每一特性对于选用正确的存贮模型是非常重要的1.需求特性需求量：单位时间内的需求量可以是恒定的，也可能是变化的需求量在不同时期变化的又分为可以预测的和不可以预测的，后者即为随机性的在一些货物的需求特性上，如果观察时间足够长，比如观察一个月，甚至一年，可以看出需求的周期性变化需求速率类型：是指在一个需求周期内需求速率变化的形式需求速率是在很小的单位时间内某货物出库数量，如每天或每小时某货物的需求量货物可能
11、在需求周期的早期出库量比较大，也可能在需求周期的晚期需求量比较大；5也可能每隔几天需求若干单位，而平时没有需求；也可能每天的需求是恒定的或基本恒定的，见图 7-12货物补充特性分析货物补充特性首先确定决策周期即存贮周期或订货周期，即两次订货决策间的时间定货周期可以是恒定的也可以是变化的，如某些易变质物品可能每周就需要订货一次，有的则可每月甚至每年订货一次如果采用安全存贮量策略，则定货周期是可变的，当某货物存贮量低于安全存贮量时做出订货决策订货到货间隔可能是很短的也可能是比较长的，如果每次订货到货间隔是恒定的则存贮模型比较容易建立和处理；如果是变化的，而且这种变化是不能预测的，其方差又比较大，则
12、很难选择适当的存贮数学模型在这种情况下，如果此货物缺货损失比较大，或者库存费用较高，可以使用人工存贮管理由于各种原因，到货量不一定等于订货量，有时候和订货量之间的差距是随机的，即不能预测如果出现这种情况的可能性比较大，货物的缺货损失也比较大，则存贮管理者应该给以足够的考虑和重视，尽早地获取有关信息，留有较大的余地在卫生服务机构一般订购的一批货物入库过程是很短的，但如果是自己生产的物品，如配制的某些合剂，其入库过程也许比较长，其入库速率变化类型也有类似需求速率变化的几种类型3费用特性在存贮模型中参与计算的有三种费用，订货费用、存贮费用、缺货损失费用但现实中这三种费用也难以准确确定，因此，对选用的
13、存贮模型应进行敏感性分析，看看此三种费用在合理的变化范围内决策变量是否有比较大的变化4存贮系统的约束条件图 7-1 各种需求类型6建立和解存贮模型必须考虑约束条件(constraints)比如仓库只能容纳某货物最多 100 件，而决策是每次进货 300 件；又如单位可用于订货的资金最多是十万元，而存贮模型解得最优决策是订货 30 万元，则此模型没有考虑这些约束条件，决策没有可行性其他常见的约束条件有需求类型的难确定性，某货物在一定时间内的存贮不连续，则基于导数和微分的数学模型难以应用（二）建立模型第二步是建立适当的数学模型来解决存贮问题通常有两种模型，确定型和随机型模型确定型存贮模型的参数值比
14、较确定，例如需求可以满意地预测随机存贮模型中则包含不可控制的变量，如随机需求，随机订货到货间隔等一般说来，随机模型比较难建模，难求解随着随机变量的增多，建模和求解的难度也越来越大如果随机变量的分布难以归类为已知的某概率密度函数，就很难从模型求得最优解当某种存贮策略很难建立数学模型时，数学模拟通常可以帮助寻求好的决策但模拟需要编制程序，运行成本较高，是否应用要根据成本效益分析（三）模型求解如果前两个步骤做的适当，这是比较容易的一个步骤一些简单的存贮模型由于是非迭代性计算，计算机在求解存贮模型时并不是必要的但随复杂模型的开发，特别是用线性求解，以及自动化存贮管理的发展，计算机在存贮管理和决策中的应
15、用也越来越重要了数学分析存贮模型与模拟存贮模型比较有两个优点，一是求解成本非常低，二是可以获得最优决策而模拟模型仅可以寻找较好的决策但并不是说所有存贮问题都用数学分析性模型，特别是当参数的假设并不适合实际存贮特性的情况（四）进行敏感性分析(sensitivity analysis)某些模型解得的订货量对总存贮费用很敏感，即订货量的较小变化就引起总费用的较大变化另外，让存贮决策者了解各变量的敏感性对他做出决策和与商家进行谈判是很有利的比如订货到货间隔如果对总存贮费用很敏感，则与商家谈判合同时应对订货到货时间提出严格要求存贮模型的敏感性不象线性规划那么好确定，他具有一定的扰动性7（五）把模型整合到
16、存贮控制系统现代存贮管理和控制多使用计算机系统如果一个存贮模型对某些货物证明能做出最优存贮决策，则应把此模型整合到计算机存贮控制系统，当需要订货时，系统会自动打印出定货单第二节 确定型存贮模型要建立易于分析计算的数学模型，需要做一些假设当然这些假设应该离实际情况不太远，否则模型就没有什么用处一、基本经济订货模型基本经济订货模型（Basic Economic Order Quantity Model, EOQ）的特点是不允许缺货，货物入库补充时间很短，可以认为瞬时完成尚有如下假设：1需求是连续均匀的，所以一定时间内的需求量是恒定的，可预测的；2订货到货间隔很短，接近于零；3每单位货物的存贮费（
17、）和每次订货费用（ ）都是恒定的，无缺1C3C货损失费用（ ） ；2C4每次订货量相同，为 个单位 是此模型的唯一决策变量q基本经济订货模型的状态图可用图 7-2 表示由于订货到货间隔极短，入库补充可立即完成，不允许缺货，所以当库存量接近于零时发出订单即可满足需求在简单的存贮模型中，货物单价不随存贮策略改变，即货物总价不改变，为了分析和计算的方便，在模型中将购货费用略去设存贮费用函数为 ， 订货费用函数为 ，由于不许缺货，没有)(qH)(qO缺货损失，则存贮总费用为 )()(C图 7-2 基本经济订货模型存 贮状态图8因为需求是均匀的，在库存从 个单位降低到零的时间内平均库存量为q由于每次订货
18、量都是 个单位，每个存贮周期的平均库存量都是 ，2/q 2/q则总的平均库存量仍是 ，所以2/ )2/()1qCH设在给定的一段时期如一年内的总需求为 ，则一年内订货次数为 ，DqD/订货费用为 ，则)/()3qDCO，要求此函数的极小值，两边求导2/(1q231)(qd2310DC（7-1）13/*q将 代入 得最小总费用13/2 )/()2/()3qDCq（7-2）C3*例 7-1 某社区服务中心每年需要一次性注射器 10000 支，每支价值 1元每次订货费用估计为 25 元，存贮费约为库存注射器价值的 12.5%其他条件均符合基本经济订货模型，问每次订货多少支注射器使存贮总费用最小？解
19、25 元/次， 10000 支， 112.5%=0.125 元/支，则3CD1C每次最优订货数量为：（支/次）205./025/2*13q如果此中心每次订货 2000 支，则每年需订货 10000/2000=5 次，每年总存贮费用 0.1252000/2 + 255=250 元，根据式（7-2）算得同样结果)(C经济订货模型的敏感性分析从经济订货模型存贮费用与每次订货量看（图 7-3） ，在最优订货量附近曲线是比较平坦的，说明并不敏感，也就是货物存贮费用、订货费用两参数估计9差别不大的情况下存贮总费用的变化也不大表 7-2 是依据不同订货量计算的总存贮费用，可以看出总存贮费用对每次订货量不太敏
20、感表 7-2 订货量的敏感性分析每次订货量（支） 订货费（元） 存贮费（元） 总存贮费用（元）500 500.00 31.25 531.251000 250.00 62.50 312.501500 166.67 93.75 260.422000 125.00 125.00 250.002500 100.00 156.25 256.253000 83.33 187.50 270.834000 62.50 250.00 312.50二、入库时间较长的经济订货模型除货物入库时间较长外，其他假设与经济订货模型相同，尚有如下假设：1需求是连续均匀的，需求速度 为常数；d2入库需要一定时间，设入库速度 为
21、常数，同时，设 pdp有时卫生服务机构直接从没有库存的临近的厂家订货，货物可以不断地运来；或者是自己的附属机构不断加工生产的卫生物资，这样订一批货就会每天有基本相同数量的货物入库因为订货到货间隔接近于零，一旦订货即可满足需求，同时对库存进行补充，只到达到最大库存 A此模型的存贮状态图见图 74此模型最优存贮策略各参数：最优存贮周期 (7-3)/1(2*3pdCt经济订货量 (7-4)*/12*3tqpd（结束入库时 (7-5)tPt3图 7-3 EOQ 模型 订货费用、存贮费用及总费用与订货量的关系10最大库存量 (7-6)*)/1(3tpd)td(A平均总费用 CC/2/231*（7-7）例
22、 7-2 某血库每月向有关卫生单位供应血液 400 瓶，当血库存量接近零瓶时则增加库存由于很多献血者与血库有长期供血关系，血库在决定补充库存时可以立即采到血液，但血库的采血能力每天只有 60 瓶每瓶血每天的存贮费用为 2 元，每次恢复采血准备费用为 900 元，问每次增加库存连续采血多少瓶使存贮总费用最小？最优采血周期多长？解 据题意知 40012=4800 瓶/年， 60360=21600 瓶/年，dp2360=720 元/年， 900 元/次1C3C最优采血周期 =)/1(2*3pdt )2160/481(4807292=0.0259（年）=9.3（天）每次补充最优采血量 400/309.
23、3=124 瓶*tq即每 9-10 天补充库存一次，每次连续采血 124 瓶，可使全年的总存贮费用最低最大库存量 =400/30（1-400/30/60）9.396（瓶）tpdA)/1(*平均总费用 =2900/9.3200 （元/天）tC23三、允许缺货的经济订货模型除允许缺货外，其他性质与经济订货模型相同，存贮状态图见图 7-5最优存贮策略各参数：最优存贮周期 (7-8)dCt213)(*经济订货量 (7-9)*)(2*213 tq图 7-4 入库时间较长的 EOQ 模型存贮状态图11缺货时间 (7-10)ttCb21*最大存贮量 = (7-11)*21tAd)(2213Cd最大缺货量 =
24、 (7-12)21tBC)(2213d平均总费用 *3*/t例 7-3 某卫生服务单位每月消耗某卫生材料 2400 单位，成批从批发商进货或从临近零售商购进都可以立即到货，成批购买需要入库保存，但比以零售购进每单位便宜 3 元，保存每单位此卫生材料每月的费用为 1 元，成批购买的每次订购费为 200 元试问采用什么策略使存贮费用最低？解 据题意知 2400 单位/月， 1 元/（月单位） ，从零售商购进每单dC位贵 3 元可近似看作缺货损失，所以 3 元/（月 单位） ， 200 元2 3C最优存贮周期 = =0.4714(月) 14(天)dCt213)(*24031)(经济订货量 =2400
25、/3014=1120（单位）tq缺货时间 = =3.5 （天）ttCb21* 31最大存贮量 = 849(单位)*21Ad471.0最大缺货量 = 283(单位)*21tBC平均总费用 2200/0.4714849(元/月)*3/四、允许缺货， 补充时间长的经济订货模型除允许缺货，货物入库时间较长外，其他假设与经济订货模型相同，即：1需求是连续均匀的，需求速度 为常数d2入库需要一定时间设入库速度为 ，同时，设 pdp图 7-5 允许缺货的经济订货 模型存贮状态图123设单位存贮费为 ，单位缺货损失为 ，订购费为 不考虑货物价1C2C3值存贮状态图见图 7-6此模型的决策变量仍为订货量 *q经
26、济订货量为 (7-13)132*Cdq21Cdp最优存贮周期为 (7-14)dt132*21dp缺货补足时间 (7-15)*212tCt订货并开始入库时间 (7-16)2tpdt结束入库时间 (7-17)23)1(*ttdt最大缺货量为 (7-18)1tB最大存贮量 (7-19)(3dS平均总费用 (7-20)*2tC例 7-4 某医院制剂室配制一种病人外用消毒液体，比购买同类消毒液便宜 3 元而效果相同已知每天可配制 200 瓶，医院每天需要 160 瓶左右，所以配制一定天数后仓库存贮增多，需要停止配制，待使用完库存时再恢复配制存贮每瓶的费用为每天 1 元，每次配制准备费用为 1000 元问
27、采取什么配制存贮策略使存贮费用最低？解 根据题意 200 瓶/天， 160 瓶/天， 1 元/天， 3 元pdC2/（瓶天） ， 1000 元/每次3C经济订货量为 图 7-6 允许缺货，货物入库时间较长的经济订货模型13=132*Cdq21dp 1602316012=1460.591461（瓶）最优存贮周期为=dCt132*21Cdp 1602316012=9.13（天）缺货补足时间 = 2.28（天）*212tt.931订货并开始入库时间 = =0.456 （天）2tpdt28.016结束入库时间 = =7.76 （天）23)1(*tpdtt28.)01(3.90最大缺货量为 1600.4
28、56 = 72.9673（瓶）1dtB最大存贮量 =160(9.13-7.76)=219.2219（瓶）)*(3S平均总费用 = =219.06 （元/天）2tC1.90五、定时订货最优订货量模型现实中机构往往定时订货，如每年末，每月末或每月初如果其他假设同经济订货模型，则数学模型就比较容易建立此模型每次订货量也是相同的，即每次都是 S 单位，缺货是允许的，缺货只是有经济损失，不影响需求其固定时间内的需求可知并恒定，如每月的需求是 单位设每单位货物每月存贮D费用为 元，每单位缺货损失为每月 元，模型解出最优订货量 ，使存贮总1C2CS费用为最小由于是固定时间订货，每年的订货次数是一定的，既订货
29、费用不随决策变量 变化而变化，所以在数学模型中不引入3S此模型存贮状态图如 7-714总存贮费用函数如下：(7-21)DSCSDSCDSC 2)(2)(2)( 2121 求此函数极小值，对 S 取导数，并使右边等于零，则得最优订货量公式：(7-22)21*例 7-5 某医院每月订购人工晶体 1 次，已知保存每个晶体每月的费用为20 元，如果缺货，估计每个每月引起经济损失 80 元每月的需求约 60 个，每月订货多少使总存贮费用最少？解 据题意知道 元/（月个） ， 80 元 /（月个） ， 60 个/ 月201C2CD最优订货量 （个）48621*DS相应的存贮费用 (元)48062)0(62
30、0)( 2S六、货物单价与订货量有关的经济订货模型货商或生产厂家为刺激客户多买货品，往往根据购买数量给以价格优惠当优惠折扣比较大时，客户每次多购买的货物虽然增加了存贮费用，但减少了购买次数，降低了订货费用和总购买费用所以，确定每次订货量多少就要对各个价格段进行对比分析例 7-6 如某卫生服务单位需要某货品每年 20000 件，厂家给出每次不同购货件数的不同单价，如表 7-3已经知道每次订货费用约 50 元因为货品损坏、变质失效的经济损失在存贮费用中占较大比例，存贮费用与货品价格有关，此卫生服务单位存贮此货品的费用是货品价值的 20%问一次订货多少使期望损失为最小？表 7-3 订货数量与单价图
31、7-7 定时订货-最优订货量模型存贮状态图15购买数量范围（件） 单价 （元）ip1- 15.002000- 13.505000- 12.508000- 12.0020000- 11.50解 首先求出在不同单价下，即不同存贮成本下的最优订货量从最小单价开始，直到计算的订货量落在该单价对应的订货量范围内=1EOQ935.12.0=2 1.0=3EOQ8945.12.0=4 61.3.=5EOQ87152.0从计算结果看，前 4 个单价下计算的最优订货量并不在应享受的单价内，只有第五个计算结果落在单价覆盖的购买数量范围内此订货量也是此单价下保证存贮总费用最低的最大订货量，一般用 表示0q下一步是计
32、算订货量为 的总存贮费用，并与大于 的其他单价下最小订0q0q购量总存贮费用 对比，他们中的最小值即此模型的最优订货量 )(iEOQC *q根据公式 iiii DpEOQC3125,4321C(817)=0.215817/2 + 5020000/817 +2000015 =302449（元）C(2000)=0.213.52000/2 + 5020000/2000 +2000013.5 =273200（元）16C(5000)=0.212.55000/2 + 5020000/5000 +2000012.5 =256450（元）C(8000)=0.2128000/2 + 5020000/8000 +
33、2000012 =249725（元）C(20000)=0.211.520000/2 + 5020000/20000 +2000011.5=253050（元）最小值是 249725，因此 =8000（件） *q七、某些存贮模型的线形模型解法经济订货模型中，如果货物的需要量在时间上不是均匀的，而是有剧烈的季节变动，则根据以往统计数据可用线形规划求解根据过去的统计数据预测今年每个月需要量为 ，要求每月初订货，不能缺货，某个月如果库存尚多也iD可以不订货订货后可立即到货，库存费用为每单位每月 元，决策变量为每1C月订货量 iX设每个月要购买的量为 单位， 0, i=1,2,3,12设每月底库存量iXi
34、为 ，则 库存量取月中平均值，即：iSiiii DS1iiiiii DXS21)(211 则全年库存费用为 1,2,3,12112CSiiiii每月初进货加上月底库存要满足本月的需求，必有： iiiXS1年初库存量为 ，每次进货费用为 元，我们可以建立以下模型：0S31,2,3,12112312 )2(minCDXCZiiiii i171,00.1iiiiiiiiiZUXDSts如某月没有进货，则没有进货费用（ ），引入一个变量 ，当03CiZ时使 ，当 时使 为此，加入两个约束条件：0iX1iZiXi， 1，0其中 U 是我们根据实际情况赋予的一个很大的数Uii i值当 时， 1 才能使 成
35、立；当 时，由于是求目标ii 0Zii 0iX函数的极小值，必有 =0iZ第三节 随机型存贮模型一、需求是离散型随机变量（一）单周期的随机存贮模型从一个例题说明单周期的需求为随机变量的存贮模型解法例 7-7 某卫生服务单位每天平均消耗某种一次性用具 1000 件，根据以往统计，需求服从正态分布，标准差为 100 件购进每件费用 10 元，使用每件收费 20 元，得 10 元利润如订购过少则损失潜在的 10 元利润，但如剩余则要变质，第二天不能用，只能作为废品买给废品站，每件 3 元所以剩余每件损失7 元现问题是此单位一天订购多少件使总经济损失为最少此问题中每件货品剩余作为废品处理可得 3 元，
36、损失的 7 元可看作是存贮费用，即 =7 元而短缺一件则损失潜在利润 10 元，可看作缺货损失，即1C=10 元数学可以证明，最优订货量 由下式确定：2 *q是最小的一个整数，满足：P （需求 ） （7-23）*q *21CP（需求 ）表示“需求等于和小于 ”这一事件发生的概率* *q18如果从最大获利方面进行数学推导，最优订货量仍由式 7-23 确定解 P（需求 ） =10/（10+7）=0.588*q21C对此一次性用具的需求是正态分布，我们可以查到正态分布曲线下的面积（累计概率）与均数距离的关系累计面积为 0.588 的地方相当于均数加 0.22个标准差需求的平均数为 1000，标准差为
37、 100，1000+0.22100=1022，即P（需求 1022）=0.558 满足公式 7-23所以 =1022（件） *q（二）多周期随机存贮模型在定时订货模型中，如果需求是随机的，订货-到货间隔比较长，则在订货-到货间隔出现缺货是一个随机现象为了减少或避免缺货损失，可以在库存没有用完的情况下就订货，但这样就增加了存贮费用，因此，最优存贮策略是综合对比缺货费用和存贮费用，以决定在库存水平多高时进行订货需求的随机分布需要对历史资料进行统计分析确定，以得出在确定时间内各种需求数量出现的概率，以此作为计算缺货损失和存贮费用的基础例 7-8 某卫生机构每年需要某器械 1000 件，该单位规定每年
38、订购主要货品 10 次，因此该器械每次订购 100 件发出订单到收到此器械一般需要 5 天，缺货每件器械的损失为 100 元，存贮此器械每件每年 50 元去年的统计显示 5天内各种需求数量如表 7-4，问如何订货使全年存贮总费用最小？表 7-4 5 天内对某器械需求量分布5 天内需求量 出现次数 出现概率10- 5 0.1015- 15 0.3020- 20 0.4025- 5 0.1030- 4 0.0835- 1 0.02合计 50 1.00解 从表 7-4 可以看出，如果到器械用完再订货，肯定缺货量在 10 件以上，将有很大的缺货损失，如果在库存降到 10 件时订货，出现缺货的可能性是0
39、.9全年缺货的损失可由下式计算19= (7-24)21)(CxPqDini )(1inixPq其中 是全年需求量， 是每次订货量， 是 5 天内缺货件数，P（ ）是i ix出现的概率， 是每件缺货的损失， 是不同需求水平数ix2 n如果从库存 10 件进行订货，则全年缺货损失约为：1000/100100（00.1 +50.3 + 100.4 + 150.1 + 200.08 +250.02）=9100（元）同样可以算出在其他库存水平进行订货的全年缺货损失，列在表 7-5表 7-5 在不同库存水平订货的缺货损失订货时的库存水平 （件） 全年缺货损失 （元）10 910015 460020 160
40、025 60030 10035 0从表 7-5 可见，随订货时库存水平的提高，缺货损失逐渐降低到零，但存贮费用肯定增加，两种费用必须统筹考虑缺货的减少引起存贮费用增加，因此只需要计算在各库存水平订货引起存贮费用的变化 由下式确定：1C= (7-25)11)(CyPini )(iniyP其中 是订货 5 天后到货时库存件数，P（ ）是 出现的概率， 是每iy ii 1C件的库存费用， 是订货时不同需求水平数n在库存 10 件时订货=50（ 00.10 + 00.3 + 00.4 + 00.1 + 00.08 + 00.02）=0（元）1C在库存 25 件时订货=50（ 150.10 + 100.
41、3 + 50.4 + 00.1 + 00.08 + 00.02）1=325（元）20在各库存水平上订货所计算的缺货费用、存贮费用都列在表 7-6表 7-6 在不同库存水平订货时期望缺货损失和存贮费用变化订货时的库存水平（件）全年期望缺货损失（元）全年期望增加的存贮费用（元）缺货和存贮费用合计（元）10 9100 0 910015 4600 25 462520 1600 125 172525 600 325 92530 100 550 65035 0 795 795从表 7-6 可见，在库存降到 30 件时订货可使存贮总费用最小二、需求是连续型随机变量设某货物进价为 元/千克，卖出为 元/千克，
42、但如果剩余，存贮费为 元kp1C/千克该货物的需求量是一随机变量，但期望值是 千克其密度函数为D，分布函数为 ，经数学证明可以用下式确定最优订货量)(D0)()(dDF*q(7-26)*0)()(qdF1Ckp例 7-9 某医院订购某医疗材料每千克 80 元，使用收费则每千克 100 元，如果剩余则交冷库保存，每千克保存费 15 元此材料以往平均每天需求 50 千克，需求分布符合正态分布，标准差 10 千克，问一次订购多少获利最大？解 据题意已知 =80， =100， =15， =50kp1CDF（ ）= = =0.5714*q0)(d580查标准正态分布下的面积，0.5714 相当于 u 值
43、为 0.18 的地方，因此=50+0.1810=51.8 千克52 千克*q因此，此医院一次订购 52 千克可期望获利最大第四节 计算机模拟存贮模型21虽然用于货物存贮的数学模型很多，但由于客观情况的复杂性，很多实际的存贮问题很难用分析型数学模型求解现实中很多参数往往是不确定的，是随机的如一段时间内对某货物的需求是随机变量，订货到货间隔也可能是随机变量，单位货物存贮费用也常不恒定，缺货费用也随季节变化等在有一个以上参数为随机变量的情况下，很难用一个数学模型表示一个存贮类型，并很难求的最优存贮策略用计算机模拟则可以帮助我们理解和回答许多现实的存贮问题，虽然最后求得的不一定是最优策略，但往往是比较
44、好的策略我们用一个例子说明计算机模拟求得较好存贮策略的过程例 7-10 某防疫站使用某疫苗收费 120 元，缺货则每份疫苗损失 25 元，存贮每份疫苗的年费用是其价值的 20%，订货一次的费用是 25 元每次订货少于 25 份单价每份 100 元，订货 25 至 49 份每份 95 元，50 至 99 份每份 90 元，订货 100 元以上每份 80 元每天对此疫苗的需求量是不确定的，过去 200 天的统计见表 7-7每次订货后到货时间也长短不等，过去 50 次的订货到货间隔如表 7-8，现在的问题仍是在什么时间订货，每次订货多少才使总的存贮费用最小表 7-7 某防疫站每天对某疫苗使用量分布每
45、天使用量（份） 出现频次 构成比0 19 0.0951 27 0.1352 42 0.2103 49 0.2454 34 0.1705 17 0.0856 9 0.0457 2 0.0108 1 0.005200 1.000表 7-8 某疫苗订货到货间隔分布订货-到货间隔 出现次数 构成比4 11 0.225 7 0.146 3 0.067 21 0.428 5 0.109 2 0.042210 1 0.02合计 50 1.00解 为模拟现实情况，首先建立两个随机数系列代表随机的需求量和订货到货间隔，根据表 7-7 和表 7-8 两变量在各值上的出现频率构成，可以列出相应的随机数字范围见表 7
46、-9表 7-9 疫苗不同需求量和不同订货-到货间 隔对应的随机数范围随机数范围 每天需求量 随机数范围 订货-到货间隔0.000-0.094 0 0.00-0.21 40.095-0.229 1 0.22-0.35 50.230-0.439 2 0.36-0.41 60.440-0.684 3 0.42-0.83 70.685-0.854 4 0.84-0.93 80.855-0.939 5 0.94-0.97 90.940-0.984 6 0.98-0.99 100.985-0.994 70.995-0.999 8有了表 7-9 即可进行模拟首先选取两个存贮策略，如选在库存量为 10 份时和
47、 15 份时订货进行比较，订货量都是 25 份查随机数字表或者用计算机自动产生随机数，根据随机数在表 7-9 中对应的需求量而确定需求量，如产生的第一个随机数是 0.134，对应的需求是 1 份假设第一天库存为 15 份，则用去1 份，还剩 14 份需要送回冷库存贮模拟结果见表 7-10 和表 7-11表 7-10 模拟：库存量为 10 份时订货， 订货量 25 份日期 随机数 需求 订货量随机数订-到货间隔到货量库存量存贮费用（元）缺货损失（元）疫苗价值（元）订货费（元）总费用1 .134 1 14 1.06 1.062 .909 5 25 .344 5 9 .68 2375 25 2400.683 .204 1 8 .61 .614 .906 5 3 .23 .235 .387 2 1 .08 .086 .045 0 1 .08 .087 .894 5 0 .00 100 100.008 .172 1
