1、第 11 章,相关性与Copula函数,协方差和相关系数,变量V1 和 V2 的相关系数被定义为变量V1 和 V2 的协方差被定义为,独立性,两个变量中，其中任意一个变量的信息（观测值）不会影响另一个变量的分布，那么两个变量在统计上被定义为独立 精确地讲，变量V1 和 V2 在统计上被定义为相互独立，如果对于所有的x，下列等式成立f ()代表变量的概率密度函数,独立性并不等同于零相关,假定变量 V1 的值有三种均等的可能：1，0，或 +1 如果 V1 = -1 或 V1 = +1 ，那么 V2 = 1 如果 V1 = 0 ，那么 V2 = 0 可以清楚地看到 V1 和 V2 有某种关联性，但它
2、们的相关系数为0,几种不同的关联形式,监测相关系数,定义 xi=(XiXi-1)/Xi-1 和 yi=(YiYi-1)/Yi-1 varx,n ：以第n-1天估计的X的日方差 vary,n ：以第n-1天估计的Y的日方差 covn ： 以第n-1天估计的协方差 相关系数为,协方差,第n天的协方差为经常被简化为,监测相关系数（续）,EWMA：GARCH（1，1）：,协方差的一致性条件,方差-协方差矩阵满足内部一致性条件的不等式为：对于所有的向量w，满足,二元正态分布,假定两个变量V1 和 V2 服从二元正态分布，假定变量变量V1 的某个观察值为v1，V2 在V1 = v1条件下为正态分布，期望值
3、为标准差为m1 和 m2 分别为 V1 和 V2 的（无条件）期望值，s1和s2分别为 V1 和 V2 的（无条件）标准差，r 为 V1 和 V2 的相关系数,多元正态分布,很容易处理 方差-协方差矩阵定义了方差和变量间的相关系数 要满足内部一致性条件，方差-协方差矩阵就必须是半正定的,生成随机样本：模特卡洛模拟,在Excel中，采用指令=NORMSINV（RAND（）来生成服从正态分布随机数 对于产生多元联合正态分布的随机抽样要采用Cholesky分解的方法,因子模型,对N个变量之间的相关性进行估计，我们需要估计N(N-1)/2个参数 采用因子模型进行估计，我们就可以减少估计参数的数量,单因
4、子模型,假设 Ui 服从标准正态分布，可设其中，共同因子 F 和特异因子 Zi 均服从标准正态分布 Ui 和 Uj 的相关系数为 ai aj,高斯Copula函数,假设我们希望在不服从正态分布的两个变量V1 和 V2 之间定义一种相关结构 我们将变量V1 和 V2 映射到U1 和 U2 上，这里的U1 和 U2 均服从标准正态分布 这种映射为分位数与分位数之间的一一映射 假定U1 和 U2 的联合分布为二元正态分布,V之间的相关结构是通过U之间的相关结构定义的,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,V,1,V,2,-
5、6,-4,-2,0,2,4,6,-6,-4,-2,0,2,4,6,U,1,U,2,相关性假设,V,1,V,2,-6,-4,-2,0,2,4,6,-6,-4,-2,0,2,4,6,U,1,U,2,一对一映射,例,V1,V2,V1 到 U1 的映射,V2 到 U2 的映射,例：计算联合概率分布,V1 and V2 都小于0.2的概率，等于 U1 0.84 和 U2 1.41 的概率 当Copula相关系数等于0.5时 M（0.84, 1.41, 0.5）= 0.043 M是二元正态分布的累积分布函数,其他Copula函数,还有许多其它Copula函数可以用于描述相关结构 一种可能是二元学生t-分布
6、,二元正态分布的5000个随机样本,二元学生t-分布的5000个随机样本,多元Copula函数,类似地，决定我们已知N个变量V1，V2，Vn 的边际分布 我们将 Vi 映射到 Ui ，其中 Ui 服从标准正态分布（这里的映射是分位数之间的一一对应） 假定 Ui 服从多元正态分布,因子Copula模型,在因子Copula模型中，变量 Ui 之间的相关结构通常被假定由一个或多个因子来决定,贷款组合模型,定义Ti 为公司i的违约时间，将变量Ti 的分位数与Ui 的分位数之间进行一一对应的映射，假定Ui 满足式F 及Zi 为相互独立的正态分布 定义Qi 为Ti 的累积概率分布 当N(U)=Qi(T)时，Prob(UiU)=Prob(TiT),贷款组合模型（续）,假设所有公司之间的Copula相关系数均等同，此量被记为对应一个期限为T，置信水平为X的投资组合，违约率的最坏情况为假定，某交易组合的规模为L，违约回收率为R，在时间T，在X置信区间的条件下，贷款组合的风险价值度为,
