1、随机信号分析,讲授：杨成忠,杭州电子科技大学自动化学院,1 随机信号及其特征描述 2 平稳随机信号,1.1 随机变量随机变量分布函数及概率密度；多维随机变量及其分布；随机变量的数字特征。,1.1.1 随机变量分布函数与概率密度,分布函数 (CDF)设X为随机变量，x为实数，定义 F(x)=P(Xx) 为X的概率分布函数，简称分布函数。分布函数性质,对于连续型随机变量，其分布函数是连续的，即 因此：对离散型随机变量，分布函数是阶梯型的。分布函数表示为：,(0,1)分布的分布函数,概率密度 (PDF)随机变量X的分布函数的导数定义为它的概率分布密度，简称为概率密度或分布密度，记为 。 概率密度性质
2、,常见概率分布 正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布,N(0,1)正态分布概率密度,标准正态分布函数,瑞利分布（Rayleigh）,瑞利分布概率密度2,指数分布（Exponential）,指数分布概率密度,对数正态分布（LogNormal）,高分辨率雷达杂波分布,对数正态分布概率密度,为尺度参数 为形状参数,1.1.2 多维随机变量及其分布,二维分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，x，y为实数，定义 为二维随机变量的的分布函数。,二维分布函数图解,二维随机变量落在某一区域的概率,二维分布函数性质,二维概率密度性质,由二维概率密度可以求出边缘概率密度,条件分布,条件分布函数,条
3、件概率密度,称随机变量X，Y独立,设S为随机试验E的样本空间， 为S的一个划分，即,全概率公式,贝叶斯公式,1.1.3 随机变量的数字特征,1、均值(Mean)或数学期望(mathematical expectation),性质： 均值为线性算子 若随机变量X与Y相互独立，则有 若 ，则称X与Y正交。,通常记为,2、方差(Variance)通常记为 ， 称为根方差或标准差。,性质： D(c)=0 D(cX)=c2D(X) c is constant 对于n个独立的随机变量,均值和方差应用举例-导弹制导精度,均值反映了制导系统误差方差反映了制导随机误差,3、协方差(Covariance)通常记为
4、 。,性质：当X与Y相互独立时， ，反之则不一定成立（正态分布除外）。 许瓦兹(Schwartz)不等式：,对于多维随机变量，随机变量之间的相关性可以用协方差矩阵来描述。对于n维随机变量 ，协方差矩阵为： 其中：由于 ,协方差矩阵为对称矩阵。对于n个相互独立的随机变量，协方差矩阵为对角阵。,4、矩(Moment)K阶原点矩：K阶中心矩：KL阶混合矩：KL阶中心混合矩：,例1、设随机变量X服从泊松分布，分布律为：求均值与方差。,例2、设随机变量在区间上服从均匀分布，其概率密度为求均值与方差。,1.2 随机信号及其特征随机过程的基本概念及定义； 随机过程的统计描述；,随机相位信号,1.2.1 随机
5、过程的基本概念及定义,接收机噪声,t1,1、随机过程(Stochastic Process)定义 定义1:设随机试验E的样本空间为S=e，对其每一个元素ei(i=1,2,)都以某种法则确定一个样本函数x(t,ei),由全部元素e所确定的一族样本函数X(t,e)称为随机过程，简记为X(t)。,定义2：设有一个过程X(t) ，若对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,) ，X(tj)是一个随机变量，则X(t)称为随机过程。,随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：,当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值；,当t固定，e可变时， X(t) 是一个随机变量；,当t可变，e固定时， X(t) 是一
6、个确定的时间函数；,当t可变，e可变时， X(t) 是一个随机过程；,2、随机过程分类 按状态及时间参数分类,按概率分布分类 高斯随机过程 瑞利随机过程 对数正态随机过程,按统计特性分类 平稳随机过程 非平稳随机过程,按样本函数形式分类 确定随机过程 不确定随机过程,在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列，伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。,伪随机序列,伪随机序列应用举例,GPS系统中的码分多址（CDMA）,GPS接收机,GPS卫星,伪随机码自相关函数,0,1.2.2 随机过程
7、的统计描述,1、随机过程的概率分布 (1)一维概率分布,连续随机过程：,随机序列：,例1、 设随机振幅信号其中 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机变量，求 时的概率密度。,(2)二维概率分布,注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。,例2、设随机相位信号其中 ，且取值概率各为1/2, 求 ， 时的一维和二维概率分布。,2、随机过程的数字特征,均值,方差,相关函数(correlation function),相似均值和方差的随机过程,协方差函数,离散随机过程数字特征,和,例3、设随机振幅信号为其中 为常数，V是标准正态随机变量。 求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函
8、数。,例4、设 为相互独立的随机变量序列， 其分布为 求随机过程 的一维分布。,2 平稳随机信号,主要内容：平稳随机过程；平稳随机过程的相关函数平稳随机过程的功率谱,2.1 平稳随机过程,1、平稳随机过程定义(1)严格平稳随机过程(Strictly stationary Process),一维概率密度：,二维概率密度：,(2)广义平稳随机过程(Weakly stationary Process),例1、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？,例2、 设随机过程Z(t)=Xcost+Ysint，-t 。其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、1
9、/3取值-1和2。试讨论随机过程Z(t)的平稳性。,2.2 平稳随机过程的相关函数,要求： 根据图形或表达式判断是否平稳随机过程； 根据自相关函数分析随机过程其它数字特征。,1、平稳随机过程自相关函数性质,若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量,傅立叶变换非负,相关函数示意图,例3、已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值和方差。,例4、 已知平稳随机过程X(t)的自相关函数为求X(t)的均值、均方值和方差。,相关系数及相关时间,相关系数：,也称为归一化协方差函数或标准协方差函数。,相关时间：,相关时间示意图,两个不同相关时间随机过程的样本函数,2、随机过程的联合分布
10、和互相关函数,n+m维联合分布函数：,n+m维联合概率密度：,平稳相依：如果X(t)与Y(t)的联合统计特性不随时间起点的平移而变化，则称X(t)与Y(t)是严格联合平稳的。即,互相关函数及其性质,互相关函数：,互协方差函数：,若则称X(t)与Y(t)广义联合平稳,若 ，则X(t)与Y(t)正交；若 ，则X(t)与Y(t)不相关；,性质：,互相关系数：,又称归一化互协方差函数或标准互协方差函数,例1、 已知随机过程X(t)与Y(t)的协方差函数比较两个过程的起伏速度； 比较 时两个过程的相关程度； 比较过程Y(t)在 和 时的相关程度。,2.3 随机过程的功率谱密度,1）能量型信号：能量有限的
11、信号,频谱：,能谱：,2）功率型信号：平均功率有限、能量无限的信号,随机过程的样本函数及其截尾函数,定义随机过程的功率谱密度为：,3）功率谱密度与相关函数关系,维纳辛钦定理,物理谱定义：,频谱,功率谱,性质：,相关性与功率谱的关系为：,若随机过程均值非零，则功率谱在原点有一函数；若含有周期分量，则在相应的频率处有函数；,对于实的平稳随机过程，功率谱为实的、非负偶函数；,相关性越弱，功率谱越宽平； 相关性越强，功率谱越陡窄。,例2、已知功率谱密度为求相关函数。,例3、若平稳过程X(t)的功率谱密度为求相关函数。,4） 随机序列的功率谱密度,对于平稳随机序列X(n)，其功率谱密度,Z变换形式：,由,例4、设平稳时间序列X(n)的自相关函数为求X(n)的功率谱密度 和 。,5）互功率谱密度及其性质,其中：,若X(t)及Y(t)联合平稳，有,性质：,例5、已知随机过程X(t)、Y(t)联合平稳，其互相关 函数为求互谱密度 及 。,
