1、B树,B树,动态查找结构,现在我们所讨论的m路查找树多为可以动态调整的多路查找树，它的一般定义为： 一棵m路查找树, 它或者是一棵空树, 或者是满足如下性质的树：根最多有 m 棵子树, 并具有如下的结构： n, A0, ( K1, A1 ), ( K2, A2 ), , ( Kn, An )其中，Ai 是指向子树的指针，0 i n m；Ki 是关键码，1 i n m。 Ki Ki+1, 1 i n。,动态的m路查找树,在子树 Ai 中所有的关键码都小于 Ki+1，且大于 Ki，0 i n。在子树 An 中所有的关键码都大于Kn；在子树 A0 中的所有关键码都小于 K1。子树 Ai 也是 m 路
2、查找树，0 i n。,一棵3路查找树的示例,AVL树是2路查找树。如果已知m路查找树的度 m和它的高度 h, 则树中的最大结点数为,(等比级数前 h 项求和),每个结点中最多有 m-1 个关键码，在一棵高度为 h 的 m 路查找树中关键码的最大个数为 mh+1-1。对于高度 h=2 的二叉树，关键码最大个数为7；对于高度 h=3 的3路查找树，关键码最大个数为 34-1 = 80。,提高查找树的路数 m，可以改善树的查找性能。对于给定的关键码数 n，如果查找树是平衡的，可以使 m 路查找树的性能接近最佳。下面我们将讨论一种称之为B-树的平衡的 m 路查找树。在B-树中我们引入“失败”结点。一个
3、失败结点是当查找值x不在树中时才能到达的结点。,B-树,一棵 m 阶B-树是一棵 m 路查找树，它或者是空树，或者是满足下列性质的树： 树中每个结点至多有m棵子树；根结点至少有 2 棵子树；除根结点以外的所有非终端结点至少有 m/2 棵子树；所有非终端结点中包含下列信息数据 ( n, A0 , K1 , A1 , K2 , A2 , , Kn , An )，其中： Ki (i=1,n)为关键字，且Ki Ki+1 , Ai (i=0,n)为指向子树根结点的指针, n为关键字的个数所有的叶子结点（失败结点）都位于同一层。 事实上，每个结点中还应包含指向每个关键字的记录的指针。,非B-树 B-树,B
4、-树的查找算法,B-树的查找过程是一个顺指针查找结点和在结点的关键字进行查找交叉进行的过程。因此，B-树的查找时间与B-树的阶数m和B-树的高度h直接有关，必须加以权衡。 在B-树上进行查找，查找成功所需的时间取决于关键码所在的层次，查找不成功所需的时间取决于树的高度。如果我们定义B-树的高度h 为失败结点所在的层次，需要了解树的高度h 与树中的关键码个数 N 之间的关系。,设在 m 阶B-树中，失败结点位于第 h +1层。在这棵B-树中关键码个数 N 最小能达到多少？ 从B-树的定义知, 1层 1 个结点2层 至少 2 个结点3层 至少 2 m / 2 个结点4层 至少 2 m / 2 2
5、个结点如此类推，h 层 至少有2 m / 2 h-2个结点。所有这些结点都不是失败结点。,高度h与关键码个数 N 之间的关系,若树中关键码有 N 个, 则失败结点数为 N +1。这是因为失败一般发生在 Ki x Ki+1, 0 i N，设K0 = -，KN+1 = +。因此，有N +1 = 失败结点数 = 位于第 h+1 层的结点数 2 m / 2 h-1N 2 m / 2 h-1-1 反之，如果在一棵 m 阶B-树中有 N 个关键码，则所有的非失败结点所在层次都小于 h，则h-1 log m / 2 ( (N +1) / 2 ) 示例：若B-树的阶数 m = 199，关键码总数 N = 19
6、99999，则B-树的高度 h 不超过 log100 1000000 +1= 4,若B-树的阶数 m = 3，高度 h = 4，则关键码总数至少为 N = 2 3 / 2 4-1-1 = 15。m值的选择如果提高B-树的阶数 m，可以减少树的高度，从而减少读入结点的次数，因而可减少读磁盘的次数。 事实上，m 受到内存可使用空间的限制。当 m很大超出内存工作区容量时，结点不能一次读入到内存，增加了读盘次数，也增加了结点内查找的难度。,m值的选择：应使得在B-树中找到关键码 x 的时间总量达到最小。 这个时间由两部分组成：从磁盘中读入结点所用时间在结点中查找 x 所用时间 根据定义，B-树的每个结
7、点的大小都是固定的，结点内有 m-1 个索引项 (Ki, Di, Ai), 1 i m。其中，Ki 所占字节数为，Di 和 Ai 所占字节数为，则结点大小近似为 m(+2) 个字节。读入一个结点所用时间为：tseek + tlatency + m( + 2) ttran = a + bm,B-树的插入,B-树是从空树起，逐个插入关键码而生成的。 在B-树，每个非失败结点的关键码个数都在 m/2 -1, m-1之间。 插入在某个叶结点开始。如果在关键码插入后结点中的关键码个数超出了上界 m-1，则结点需要“分裂”，否则可以直接插入。 实现结点“分裂”的原则是：设结点 A 中已经有 m-1 个关键
8、码，当再插入一个关键码后结点中的状态为,( m, A0, K1, A1, K2, A2, , Km, Am)其中 Ki Ki+1, 1 i m这时必须把结点 p 分裂成两个结点 p 和 q，它们包含的信息分别为：结点 p：( m/2 -1, A0, K1, A1, , Km/2 -1, Am/2 -1)结点 q：(m - m/2, Am/2, Km/2+1, Am/2+1, , Km, Am)位于中间的关键码 Km/2 与指向新结点 q 的指针形成一个二元组 ( Km/2, q )，插入到这两个结点的双亲结点中去。,结点“分裂”的示例,示例：从空树开始逐个加入关键码建立3阶B-树,在插入新关键
9、码时，需要自底向上分裂结点，最坏情况下从被插关键码所在叶结点到根的路径上的所有结点都要分裂。,若设B-树的 高度为h, 那么在自顶向下查找到叶结点的过程中需要进行h 次读盘。,B-树的插入算法,当分裂一个非根的结点时需要向磁盘写出 2 个结点, 当分裂根结点时需要写出 3 个结点。 如果我们所用的内存工作区足够大，使得在向下查找时读入的结点在插入后向上分裂时不必再从磁盘读入，那么，在完成一次插入操作时需要读写磁盘的次数 = 找插入结点向下读盘次数 + 分裂非根结点时写盘次数 + 分裂根结点时写盘次数 = h+2(h-1)+3 = 3h+1。,可以证明，在向一棵初始为空的B-树中插入 N 个关键
10、码, 并且非失败结点个数为 p 时, 分裂的结点总数最多为 p-2。由于根结点至少有一个关键码，其它各非失败结点至少有 m/2 -1 个关键码，则一棵拥有 p 个结点的 m 阶B-树至少有 1+(m/2 -1)(p-1) 个关键码。 其平均分裂结点数Savg 为： Savg = 分裂结点总次数/N (p-2)/(1+(m/2 -1)(p-1) ) 1/(m/2 -1),B-树的删除,在B-树上删除一个关键码时，首先需要找到这个关键码所在的结点，从中删去这个关键码。若该结点不是叶结点，且被删关键码为 Ki，1 i n，则在删去该关键码之后，应以该结点 Ai 所指示子树中的最小关键码 x 来代替被
11、删关键码 Ki 所在的位置，然后在 x 所在的叶结点中删除 x。 在叶结点上的删除有 4 种情况。被删关键码所在叶结点同时又是根结点且删除前该结点中关键码个数 n 2，则直接删去该关键码并将修改后的结点写回磁盘。,删除55,简单删除,被删关键码所在叶结点不是根结点且删除前该结点中关键码个数 n m/2，则直接删去该关键码并将修改后的结点写回磁盘，删除结束。被删关键码所在叶结点删除前关键码个数 n = m/2 -1，若这时与该结点相邻的右兄弟 (或左兄弟) 结点的关键码个数 n m/2，则可按以下步骤调整该结点、右兄弟 (或左兄弟) 结点以及其双亲结点，以达到新的平衡。 将双亲结点中刚刚大于 (
12、或小于) 该被删关键码的关键码 Ki (1 i n) 下移； 将右兄弟 (或左兄弟) 结点中的最小 (或最大)关键码上移到双亲结点的 Ki 位置；,将右兄弟 (或左兄弟) 结点中的最左 (或最右) 子树指针平移到被删关键码所在结点中最后 (或最前) 子树指针位置； 在右兄弟 (或左兄弟) 结点中，将被移走的关键码和指针位置用剩余的关键码和指针填补、调整。再将结点中的关键码个数减1。被删关键码所在叶结点删除前关键码个数 n = m/2 -1，若这时与该结点相邻的右兄弟 (或左兄弟) 结点的关键码个数 n = m/2 -1，则必须按以下步骤合并这两个结点。,删除65,结点联合调整,删除70,将双亲
13、结点 p 中相应关键码下移到选定保留的结点中。若要合并 p 中的子树指针 Ai 与 Ai+1 所指的结点，且保留 Ai 所指结点，则把 p 中的关键码 Ki+1下移到 Ai 所指的结点中。把 p 中子树指针 Ai+1 所指结点中的全部指针和关键码都照搬到 Ai 所指结点的后面。删去 Ai+1 所指的结点。在结点 p 中用后面剩余的关键码和指针填补关键码 Ki+1 和指针 Ai+1。修改结点 p 和选定保留结点的关键码个数。 在合并结点的过程中，双亲结点中的关键码个数减少了。,若双亲结点是根结点且结点关键码个数减到 0，则该双亲结点应从树上删去，合并后保留的结点成为新的根结点；否则将双亲结点与合
14、并后保留的结点都写回磁盘，删除处理结束。 若双亲结点不是根结点，且关键码个数减到m/2 -2，又要与它自己的兄弟结点合并，重复上面的合并步骤。最坏情况下这种结点合并处理要自下向上直到根结点。,删除55,结点合并,删除80,结点合并,非叶结点删除,删除50,删除55,结点合并与调整,删除70,删除75,B-树的关键码删除算法,B+树,B+树可以看作是B-树的一种变形，在实现文件索引结构方面比B-树使用得更普遍。 一棵m阶B+树可以定义如下：树中每个非叶结点最多有 m 棵子树；根结点 (非叶结点) 至少有 2 棵子树。除根结点外，其它的非叶结点至少有 m/2 棵子树；有 n 棵子树的非叶结点有 n
15、-1 个关键码。所有的叶结点都处于同一层次上，包含了全部关键码及指向相应数据对象存放地址的指针，且叶结点本身按关键码从小到大顺序链接；,每个叶结点中的子树棵数 n 可以多于 m，可以少于 m，视关键码字节数及对象地址指针字节数而定。若设结点可容纳最大关键码数为 m1，则指向对象的地址指针也有 m1 个。结点中的子树棵数 n 应满足 n m1/2, m1。若根结点同时又是叶结点，则结点格式同叶结点。所有的非叶结点可以看成是索引部分，结点中关键码 Ki 与指向子树的指针 Ai 构成对子树 (即下一层索引块) 的索引项 ( Ki, Ai )，Ki 是子树中最小的关键码。特别地，子树指针 A0 所指子
16、树上所有关键码均小于 K1。结点格式同B-树。,叶结点中存放的是对实际数据对象的索引。 在B+树中有两个头指针：一个指向B+树的根结点，一个指向关键码最小的叶结点。可对B+树进行两种查找运算：一种是循叶结点链顺序查找，另一种是从根结点开始，进行自顶向下，直至叶结点的随机查找。,在B+树上进行随机查找、插入和删除的过程基本上与B-树类似。只是在查找过程中，如果非叶结点上的关键码等于给定值，查找并不停止，而是继续沿右指针向下，一直查到叶结点上的这个关键码。B+树的查找分析类似于B-树。 B+树的插入仅在叶结点上进行。每插入一个关键码-指针索引项后都要判断结点中的子树棵数是否超出范围。当插入后结点中
17、的子树棵数 n m1 时，需要将叶结点分裂为两个结点，它们的关键码分别为 (m1+1)/2 和 (m1+1)/2。并且它们的双亲结点中应同时包含这两个结点的最小关键码和结点地址。此后，问题归于在非叶结点中的插入了。,在非叶结点中关键码的插入与叶结点的插入类似，但非叶结点中的子树棵数的上限为 m，超出这个范围就需要进行结点分裂。,在做根结点分裂时，因为没有双亲结点，就必须创建新的双亲结点，作为树的新根。这样树的高度就增加一层了。,B+树的删除仅在叶结点上进行。当在叶结点上删除一个关键码-指针索引项后，结点中的子树棵数仍然不少于 m1/2，这属于简单删除，其上层索引可以不改变。 如果删除的关键码是
18、该结点的最小关键码，但因在其上层的副本只是起了一个引导查找的“分界关键码”的作用，所以上层的副本仍然可以保留。 如果在叶结点中删除一个关键码-指针索引项后，该结点中的子树棵数 n 小于结点子树棵数的下限 m1/2，必须做结点的调整或合并工作。,删除18,删除12,如果右兄弟结点的子树棵数已达到下限m1/2，没有多余的关键码可以移入被删关键码所在的结点，这时必须进行两个结点的合并。将右兄弟结点中的所有关键码-指针索引项移入被删关键码所在结点，再将右兄弟结点删去。,删除33进行 结点合并,结点的合并将导致双亲结点中“分界关键码”的减少，有可能减到非叶结点中子树棵数的下限 m/2 以下。这样将引起非叶结点的调整或合并。 如果根结点的最后两个子女结点合并，树的层数就会减少一层。,
