1、江苏省苏州实验中学 2017-2018 学年第二学期高二年级（文科）期中考试数 学 试 题（满分 160 分，考试时间 120 分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的班级、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.试题答案均写在答题卷相应位置，答在其他地方无效.一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.1.已知集合 ， ，则 _【答案】 （0,1）. 【解析】分析：求不等式间的交集运算，可直接通过数轴分析得到解。详解：集合的交集运算， 所以交集为（0，1）点睛：本题考查了集合间的交集运算，属于简单题。2.复数 （ 是虚数单位）的实部为_【答案】2【解析】复数 ,所以实部
2、为 2.点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ， ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为 ，虚部为 ，模为 ，对应点为 ，共轭复数为 .3.已知集合 ， ，若 ,则 的取值范围为_【答案】 -1 , 4 .【解析】试题分析： ，所以考点：集合的运算4.抛物线 的焦点坐标为_【答案】( -3 , 0 ).【解析】分析：通过抛物线标准方程直接得到 P 的值，得到焦点坐标 。详解：抛物线标准方程 的焦点为 所以 的焦点坐标为( -3 , 0 ).点睛：本题考查了抛物线标准方程及其焦点表示方法，关键分清抛物线的不
3、同表达形式，属于简单题。5.如图，正四棱锥 的底面一边 的长为 ，侧面积为 ，则它的体积为_【答案】4.【解析】由题设 ,则四棱锥的高 ,所以该四棱锥的体积，应填答案 。6.过曲线 C： y= 上点（1， ）处的切线方程为_【答案】y=x-1.【解析】分析： 求出曲线 C 上点的坐标为 ，通过导函数可求得斜率 ，进而通过点斜式求出切线方程。详解：曲线 C 上的点坐标为 求导函数 ，所以过 的斜率 所以切线方程为 点睛：本题考查了导数及其切线方程的求法。此类题目关键是区分点是否在曲线上：若点在曲线上，则通过导函数求得斜率和点的坐标求得切线方程；若点不在曲线上，需设出切点，通过斜率和点在曲线上建立
4、方程组求得交点和切线方程。7.已知 2x( )x3 ，则函数 y( )x的值域为_【答案】 , + .【解析】分析：根据指数不等式，可求得 ，再由指数函数的单调性可求出值域。详解：将不等式 2x( )x3 化简得 得 因为 y( )x是单调递减函数，当 时， 所以值域为 点睛：本题主要考查了指数函数不等式及指数函数值域的求法，通过单调性判断取值范围，属于简单题。8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且在(，0上为单调增函数若 f(1)2，则满足 f(2x3)2 的 x 的取值范围是_【答案】(，2【解析】是定义在 上的奇函数，且在(，0上为单调增函数， 在 也是增函数，即 在 上递增
5、，又 ， ，即满足的 的取值范围是点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“ ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.9.已知 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同直线， l ， m 给出下列命题： l m； l m； m l ； l m 其中正确的命题是_ (填写所有正确命题的序号)【答案】 .【解析】试题分析：，l l lm，命题正确；，l l、m 可平行，可相交，可异面，命题错误；m，l lm l 与 可平行，l 可在 内，l 可与 相交，命题错误；l、l m命题正确.考点：线面关系判定10.设 是
6、等腰三角形， ，则以 A、 B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为_【答案】 .【解析】由题意 2c=|AB|，所以 由双曲线的定义，有.故答案为： .11.在平面直角坐标系 中，已知点 A（ ，0） ， B（1，0）均在圆 ： 外，且圆 上存在唯一一点 满足 ，则半径 的值为_【答案】4【解析】根据题意,点 A(1,0),B(1,0)，若点 满足 ，则点 P 在以 AB 为直径的圆上，设 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为 (0,0)， |AB|=2，则圆 M 的方程为 ，若圆 上存在唯一一点 满足 ，则圆 C 与圆 M 只有一个交点，即两圆外切，则有 r+1=|MC|= ，解可得 r=
7、4.12.已知函数 f(x) 若对任意的 xR，不等式 f(x) m2 m 恒成立，则实数m 的取值范围为_【答案】m - 或 m1.【解析】试题分析：当 时， ，当 时，有最大值 ；当 时，故函数 的最大值 ，对任意的 ，不等式 恒成立，只需，解得 或 ，故答案为 或 .考点：1、分段函数的值域；2、恒成立的问题.13.函数 的定义域为 D,若满足 在 D 内是单调函数,存在 ,使 在 上的值域为 ,那么 叫做对称函数,现有 是对称函数, 那么实数 k 的取值范围是 【答案】 2 , ).【解析】由于 在（-，2上是减函数，故满足，又 f（x）在a，b上的值域为-b，-a，所以 ,即 a 和
8、 b 是关于 x 的方程 在（-，2上有两个不同实根令 t= ，则 x=2-t2，t0，k=-t 2+t+2=-（t- ） 2+ ，在0，+上有两个不同实根，又 g(t) =-t2+t+2 在 递增，在 递减且 g(0)=2，g( )=k 的取值范围是 .14.设函数 f(x) ，g(x)f(x)b若存在实数 b，使得函数 g(x)恰有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为 【答案】(1 ，2)【解析】试题分析：令 ，则 ，所以当 时， ，当 时，因此要使函数 g(x)恰有 3 个零点，须 且 ，即实数 a 的取值范围为(1 ，2)考点：利用导数研究函数零点二、解答题：(本大题共 6 小题，9
9、0 分.)15.已知集合 ，集合 .(1) 当 =2 时，求 ； (2) 当 时，若 ,求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）a .【解析】【详解】分析：（1）根据给出的 ，可求出集合 与集合 ，根据交集的运算即可求出 。（2）因为 ，所以 B 是 A 的子集。分类讨论集合 B 的情况，再求 的取值范围。详解：（1）当 时，代入集合 A 与集合 B，可解得 ，所以 即 （2）当 时， ，所以集合 因为当 时， ，所以对于集合 B，讨论 的取值情况。当 时， ，集合 因为 ，所以 ，解得 又因为 ，所以无解。当 时，集合 ，此时满足 ，所以 。当 时， ，集合因为 ，所以 ，解得 综上所述，
10、 ，即 点睛：本题考查了集合间的基本运算和分类讨论思想。在研究集合间关系时，勿要漏掉集合为空集的情况，属于简单题。16.如图，在三棱锥 中，已知平面 平面 （1）若 ， ，求证： ；（2）若过点 作直线 平面 ，求证： 平面 【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：(1)根据平面与平面垂直的性质和 条件，可以得到 平面 再根据直线与平面垂直的性质，得到 ；利用线面垂直的判定和性质，即可得到 。(2) 在平面 内过点 作 ，利用平面的交线，则可以得到 平面 ，根据线面垂直的性质，从而得到 /平面 。详解：（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ， ，所以 平面 因为 平面 ，所以
11、又因为 ，且 ， 平面 ,所以 平面 ， 又因为 平面 ，所以 （2）在平面 内过点 作 ，垂足为 因为平面 平面 ，又平面 平面 BC，平面 ，所以 平面 又 平面 ，所以 / 又 平面 ， 平面 ， /平面 点睛：本题考查了立体几何的简单判定。线面平行与垂直的性质与判定是解决立体几何的核心，灵活运用各个性质与判定，准确找出线面关系即可证明出结论，属于简单题。17.已知椭圆过点 M(3，2)，且与椭圆 有相同的焦点，求满足条件的椭圆的标准方程；【答案】 .【解析】分析：根据相同的焦点，求出椭圆中 的值；设出标准方程，代入 M 的坐标；再利用椭圆中的等量关系，建立方程组，求出 的值即可。详解：
12、因为所求的椭圆与椭圆 的焦点相同，所以其焦点在 x 轴上，且 c25.设所求椭圆的标准方程为 (ab0)，因为所求椭圆过点 P(3，2)，所以有 .又 a2 b2 c25，所以联立上述两式，解得 ,所以所求椭圆的标准方程为 . 点睛：本题考查了椭圆标准方程和椭圆的简单性质，通过建立方程组的思想求得参数值，属于简单题。18.已知函数 ， （）求 的最大值与最小值；（）若 对任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） 的最大值为 ，最小值为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）直接求出函数的导数，通过导数为 0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出 f（x）的最大值与最
13、小值；（2）利用（1）的结论，f（x）4-At 于任意的 x1，3，t0，2恒成立，转化为 4-At 对任意 t0，2恒成立，通过 求实数 A 的取值范围试题解析：（1）因为函数 f（x）= lnx，所以 f（x）= ，令 f（x）=0 得 x=2，因为 x1，3，当 1x2 时 f（x）0；当 2x3 时，f（x）0；f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，f（x）在 x=2 处取得极小值 f（2）= ln2；又 f（1）= ，f（3）= ，ln31f（1）f（3） ，x=1 时 f（x）的最大值为 ，x=2 时函数取得最小值为 ln2（2）由（1）知当 x1，3时，f（
14、x） ，故对任意 x1，3，f（x）4At 恒成立，只要 4At 对任意 t0，2恒成立，即 At 恒成立记 g（t）=At，t0，2 ，解得 A ，实数 A 的取值范围是（， ） 考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性19.某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸如下：其中，点 为 轴上关于原点对称的两点，曲线段 是桥的主体， 为桥顶，且曲线段在图纸上的图形对应函数的解析式为 ，曲线段 均为开口向上的抛物线段，且 分别为两抛物线的顶点，设计时要求：保持两曲线在各衔接处（ ）的切线的斜率相等.（1）求曲线段 在图纸上对应函数的解析式,
15、并写出定义域；（2）车辆从 经 倒 爬坡，定义车辆上桥过程中某点 所需要的爬坡能力为： （该点与桥顶间的水平距离） （设计图纸上该点处的切线的斜率） ，其中 的单位：米.若该景区可提供三种类型的观光车:游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力.它们的爬坡能力分别为 米, 米, 米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度 米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?【答案】 “游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.【解析】试题分析：（1）据题意，抛物线段 与 轴相切，且 为抛物线的顶点，设 ，则抛物线段 在图纸上对应函数的解析式可设为 ，因为 点为衔接点
16、,则 解得 所以曲线段 在图纸上对应函数的解析式为（2）设 是曲线段 上任意一点,分别求 P 在两段上时，函数的最大值若 在曲线段 上,则通过该点所需要的爬坡能力，利用二次函数求其最值 （米） ，若 在曲线段 上,则通过该点所需要的爬坡能力，令 ，换元法求其最大阻值，（米） ，所以可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为 米,又因为 ,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥试题解析：据题意，抛物线段 与 轴相切，且 为抛物线的顶点，设 ，则抛物线段 在图纸上对应函数的解析式可设为 ，其导函数为由曲线段 在图纸上的图像对应函数的解析式为 ,又
17、,且 ,所以曲线在 点处的切线斜率为 ,因为 点为衔接点,则 解得所以曲线段 在图纸上对应函数的解析式为设 是曲线段 上任意一点,若 在曲线段 上,则通过该点所需要的爬坡能力令 ,所以函数 在区间 上为增函数,在区间 上是减函数,所以 （米） 若 在曲线段 上,则通过该点所需要的爬坡能力令 则记 当 时, 而当 时,所以当 时, 有最小值 从而 取最大值此时 （米）所以由,可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为 米,又因为 ,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥20.已知函数 （1）当 时，函数 恰有两个不同的零点，求实数 的值；（2）当
18、 时， 若对于任意 ，恒有 ，求 的取值范围； 若 ，求函数 在区间 上的最大值 【答案】(1) ；(2). ；.【解析】试题分析：（1）当 时，考虑 的解，化简后得到 或者 ，它们共有两个不同的零点，所以 必有解 ，从而 （2） 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，因此考虑在 上的最小值和 在 上的最大值即可得到 的取值范围（3） 可化为 ，则当 或 时， 在 上递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，两类情形都可以求得函数的最大值当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，因此 ，比较 的大小即可得到 的表达式解析：（1）当 时， ，由 解得 或 ，由解得 或 因为 恰
19、有两个不同的零点且 ，所以 ，或 ，所以 （2）当 时， ，因为对于任意 ，恒有 ， 即 ，即 ，因为 时， ，所以 ， 即恒有 令 ， 当 时， ， ，所以， 所以 ，所以 当 时， ，这时 在 上单调递增，此时 ； 当 时， ，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， ，而 ，当 时， ; 当 时， ； 当 时， ，这时 在 上单调递增，在 上单调递减，此时 ； 当 时， ， 在 上单调递增，此时 ； 综上所述， 时，点睛：（1）若 对任意的 恒成立，则有 对任意的 恒成立（2）对于含有绝对值符号的函数，我们可以考虑先去掉绝对值符号，把它转化分段函数且不同范围上的解析式是熟悉的形式（如二次函数等） ，然后依据对称轴和分段点的大小关系分类讨论即可，最后再根据单调性的变化进一步细分，从而完成问题的讨论
