1、专题 33 线性规划求解技巧一 【学习目标】1会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决2掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合二 【知识要点】1二元一次不等式表示的平面区域(1)二元一次不等式 Ax By C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不包括边界直线不等式 Ax By C0 所表示的平面区域(半平面)包括边界直线(2)在平面直角坐标系中，设直线 Ax By C0( B 不
2、为 0)及点 P(x0， y0)，则若 B0， Ax0 By0 C0，则点 P(x0， y0)在直线的上方，此时不等式 Ax By C0 表示直线Ax By C0 的上方的区域若 B0， Ax0 By0 C0，则点 P 在直线的下方，此时不等式 Ax By C0 表示直线 Ax By C0的下方的区域若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分2线性规划相关概念名称 意义约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由 x， y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数 关于 x， y 的函数解析式可行解 满足线性约束条件的解可行域 所有可行解组成的集合线性目标函数
3、 目标函数是关于变量的一次函数最优解 使目标函数取得最大或最小值的可行解线性规划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值3.常见简单的二元线性规划实际问题一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务解线性规划问题的一般步骤：审题、设元列出约束条件 (通常为不等式组)建立目标函数作出可行域求最优解三解题方法总结1.二元一次不等式(组)表示的平面区域确定的方法第一种：若用 ykxb 表示的直线将平面分成上下两部分不等式 区 域ykxb 表示直线上方的半平面区域ykxb 表示直
4、线下方的半平面区域第二种：用 AxByC0(B0)表示的直线将平面分成上下两部分(B0 读者完成)不等式 B0 B0AxByC0 表示直线上方的半平面区域 表示直线下方的半平面区域AxByC0 表示直线下方的半平面区域 表示直线上方的半平面区域联系：将 AxByC0 表示的直线转化成 ykxb 的形式即是第一种.第三种：选特殊点判定(如原点)，取一点坐标代入二元一次不等式(组)，若成立，则平面区域包括该点，反之，则不包括.2.线性规划问题求解策略(1)解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；移：由 zaxby 变形为 y x ，
5、所求 z 的最值可以看成是求直线 y x 在 y 轴上的截ab zb ab zb距的最值(其中 a，b 是常数，z 随 x，y 的变化而变化)，将直线 axby0 平移，在可行域中观察使 最大zb(或最小)时所经过的点；求：求出取得最大值或最小值的点的坐标 ，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；答：写出最后结论.(2)可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最优解一般在多边形的某个顶点处取得.(3)若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻
6、求最优解.四典例分析例 1设 满足约束条件 ，则 的最大值是 A 0 B4 C5 D6【答案】D【解析】作出不等式组 对应的平面区域如图：由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 ，经过点 时，直线的截距最大，此时 最大由 ，解得 ，即 ，此时 ，故选 D【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.练习 1已知实数 x,y 满
7、足 ，若不等式 axy0 恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A （， ） B （4，） C （ ，4） D （ ，4）【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：若 axy0 恒成立即 yax 恒成立，即平面区域在直线 yax 的下方即可即 A（1，4）在 yax 的下方或在直线上即可，即 a4，故选：B练习 2若 满足 则 的最小值等于A B C D【答案】B（二）含绝对值的不等式例 2. 设 ,xy满足约束条件 ，则 zxy的最大值是_【答案】2【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示由图形得，当 0,xy时， ，且当直线经过点 0,2A时 z有最大值 2，
8、故可得z的最大值为 2 【答案】公司投放两种型号的单车分别为 80 辆 20 辆才能使每天获得的总收入最多，最多为 120 元答：公司投放两种型号的单车分别为 80 辆 20 辆才能使每天获得的总收入最多，最多为 120 元。【点睛】用线性规划的方法来解 决实际问题：先根据问题的需要选取起关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型，再画出表示的区域。练习 1电视台应某企业之约播放两套连续剧，其中，连续剧甲每次播放时间 80 分钟，其中广告时间 1 分钟，收视观众 60 万；连续剧乙每次播放时间 40 分钟，其中广告时间 1 分钟，收视观众 20
9、万.现在企业要求每周至少播放广告 6 分钟，而电视台每周至多提供 320 分钟节目时间.（1）设每周安排连续剧甲 次，连续剧乙 次，列出 ， 所应该满足的条件； （2）应该每周安排两套电视剧各多少次，收视观众最多？【答案】 （1） （2）每周应安排甲、乙连续剧 2 套、4 套【解析】 （1）由题意可得： ；（2）收视观众数为 万，则 ，所以 ，因此直线 在 y 轴截距最大时， 取最大值；画出可行域易知当 ， 时， 有最大值，最大值是 200，收视观众 200 万.每周应安排甲、乙连续剧 2 套、4 套练习 2两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供 12mg 阿司匹林，70mg 小苏打，28
10、mg 可待因，问两类 药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？成分种类阿司匹林 小苏打 可待因 每片价格(元)A(mg/片) 2 5 1 0.1B(mg/片) 1 7 6 0.2【答案】当 A 类药品 3 片、B 类药品 8 片时，药品价格最低【解析】设 两种药品分别为 片和 片，则有 ，两类药片的总数为 ，两类药片的价格和为 。如图所示，作直线 ， 将直线 向右上方平移至 位置时，直线经过可行域上一点 ，且与原点 最近解方程组 ，得交点 坐标为 .由于 不是整点，因此不是 的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是 ，经过的整点是 ，因此 的最小值为 .药片最小总数为 片同理可得，当 时， 取最小值 ，因此当 类药品 片、 类药品 片时，药品价格最低。练习 3 九章算术中记载了 “今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足。问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出 100，则会剩下 100；若每人出 90，则不多也不少。问人数、猪价各多少？”.设 分别为人数、猪价，则 _， _.【答案】10 900 【解析】由题意可得 ，解得 .故答案为 10 900
