1、R天津一中、益中学校 2018-2019 高三年级四月考数学试卷（理）本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分， 考试用时 120 分 钟第 I 卷（选择题 共 40 分）一选择题：共 8 个小题，每 小题 5 分， 共 40 分，在 每小题的 4 个选项中，只有一项是 符合题目要求的，将 答 案 涂 在 答 题 卡 上 1设集合 A x x 2 2, x R ， B y | y x2 , 1 x 2 ，则 C A B 等于A R B x x R, x 0 C 0 D x y 32设变量 x, y 满足约束条件： x y 1 .则目标函数 z 2x 3y2x
2、 y 3的最小值为A6 B 7 C8 D2 33执行如图 所示的程序框图，如果输入的 t 0.01 ，则输出的 nA 5 B 6 C 7 D 832 2 2 2 225设等比数 列的 an 的前 n 项和是 Sn ，则“ a1 0 ”是 “ S3 S2 ”的A充要条件 B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件6已知函数 f (x) e x e x ，若 3a log b c ，则A f (a) f (b) f (c) B f (b) f (c) f (a)C. f (a) f (c) f (b) D f (c) f (b) f (a)x2 y27已知双曲 线 a2 b2 1
3、 （ a 0 ， b 0 ）左支上点 B 与右焦点 F 关于渐近线对称，且BF 4 ，则该双曲线的方程为A x 2 y 1 B x y 1 C. x y 1 D x 2 y 2 44 2 4 3 48己知函数 f ( x) x 3 a , a R 在 1,1上的最大值为 M (a) ，若函数g ( x) M ( x) x 2 t 有 4 个零点 ，则实数 t 的取值范围为 5 A. 1, 4 B. ,1C. ,1 1, 5 4 D. ,1 1,2第 II 卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，将 答 案 填 写 在 答 题 纸 上 9若 z (
4、a 2 1) (a 1)i 为纯虚数，其中 a R ，则 a i 等于1 ai4 210如图， 半球内有一内接正四棱锥 SABCD， 该四棱锥的体积为 3 ，则该半球的体积为x 2 211二项式 nx 2 2 的展开式中，仅有第六项的二项式系数取得最大值。则展开式中x 项的系数是12由 1、2 、3 、4 、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3 都不与 5 相 邻的六位偶数的个数是13设正实 数 m, n 满足 m 1 , n 1 ，则 4m n 的最小值为2 n 1 2m 114在 RtABC 中，已知 A 为直角， BC a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，则 BP C
5、Q 的最大值为三解答题：共 6 个小题，总计 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤15已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足sin(2 A B) 2 2 cos( A B) .sin Ab（）求a的值； （ ）若 a 1, c 7 ，求 ABC 的面积.16英语老 师要求学生从星期一到星期四每天学习 3 个英语单词；每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（）英语老师随机抽了 4 个单词进行检测，求至少有 3 个是后两天学习过的单词的概 率；4（）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对
6、的概率为53，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为 5若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数 的分布列和期望17已知在 四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方 形， PAD 是正三角 形，平面 PAD 平面 ABCD, E、 F、 G 分别是 PA、 PB、 BC 的中点（）求证： EF 平面 PAD ；（）求平面 EFG 与平面 ABCD 所成锐二面角的大小；（）线段 PD 上是否存在一个动点 M ，使得直线 GM 与平面 EFG 所成角为 ，若存6在，求线段 PM 的长度，若不存在，说明理由n18已知正 项等比数列 an ，等差
7、数列 bn 满足 a1 b1 1, a2 b2 7 ，且 a2 是 b1 与b3 2 的等比中项（）求数列 an ， bn 的通项公式；（）设 cn (1) bn an b2n ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn x 2 y 219如图已 知椭圆 a 2 b 2 1(a b 0), A(2,0) 是长轴的一个端点，弦 BC 过椭圆的中心 O ，且 AC BC 0, OC OB 2 BC BA .（）求椭圆的方程；（）设 P, Q 为椭圆上异于 A, B 且不重合的两点，且 PCQ 的平分线总是垂直于 x 轴， 是否存在实 数 ，使得 PQ AB ，若存在，请 求出 的最大 值，若不存 在，请
8、说明 理由 .yCO A xB1 320己知函 数 f (x) ln x mx, m R .（ ）求 f (x) 的极值；（）证明： m 0 时， e x f (x 2)（）若函数 g(x) (x e) f (x) 有且只有三个不同的零点，分别记为 x1 , x2 , x3 ，设x3x1 x2 x3 且 x1的最大值是 e 2 ，证明： x x e2( e2 1)e2 1参考答案：一、选择题：B B C D A C A C二、填空题：4 2 159 i 10 113 2 121 08 138 140三解答题：15 解析： （ ） sin(2 A B) 2 2 cos( A B) ，sin A
9、sin(2 A B) 2 sin A 2 sin A cos( A B) ， sin A ( A B) 2 sin A 2 sin A cos( A B) ， -2 分 sin( A B) cos A sin A cos( A B) 2 sin A ， sin B 2 sin A ， -4 分 b 2a ， b 2 -6 分a（） a 1， c 7 ， b 2 ， b 2 ， -8 分aa2 b2 c2 1 4 7 1 2 cos C ， C .-11 分2ab 4 2 3 S 1 ab sin C 1 1 2 3 3 ，即 ABC 的面积的 3 .-13 分 ABC 2 2 2 2 2 0
10、1 2 3P 2125 19125 56125 4812516（）由题意可得 可取 0，1，2， 3，则有 P(=0) ( 1 )2 2 2 7 分5 5 125P(=1) C1 4 1 2 ( 1 )2 3 19 ，2 5 5 5 5 5 125P(=2) ( 4 )2 2 + C1 4 1 3 56 ，5 5 2 5 5 5 125P(=3) ( 4 )2 3 48 10 分5 5 125所以 的分布列为：11 分故 E=0 2125 19+1 125 56+2125 48+3 125 11= 13 分51718又 ，则： ，解得 或因为 中各项均为正数，所以 ，进而 -3 分故 -5 分
11、（ 2）设 -6 分设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，- -8 分 而 ，则 ，由-得：，因此 ， -11 分综上： -13分19yCO A xBy p yQ k ( xp xQ ) 2k k 2k1 3k 2 1 3k 2 1xp xQ xp xQ 12k 12k 31 3k 2 1 3k 2max222解（I ） AC BC 0, AC BC, ACB 90又 OC OB 2 BC BA , 即 BC 2 AC ， AOC 是等腰直角三角形 2 分 A(2, 0), C (1,1) 而点 C 在椭圆上， 1 1a2 b2 1, a 2, b2
12、 43所求椭圆方程为 x 3 y 2 1 4 分4 4（I I）对于 椭 圆上两点 P 、 Q， PCQ 的 平分线总是垂直于 x 轴PC 与 CQ 所在直线关于 x 1 对称，设 kPC k(k 0 且 k 1) ，则 kCQ k ，5 分则 PC 的直线 方程 y 1 k ( x 1) y k ( x 1) 1 QC 的直线方 y 1 k ( x 1) y k ( x 1) 1 将代入 x 3 y 2 1 得 (1 3k 2 )x2 6k (k 1) x 3k 2 6k 1 0 4 4 C (1,1) 在椭圆上， x 1 是方程的一个根， xp 3k 2 6k 11 x1 3k 2 p7
13、分以 k 替换 k ，得到 x 3k 6k 1 .-8 分Q 3k 2 1kPQ 6k 2 2 4k-10 分而 k 1 , k k , PQ AB， 存在实数 ，使得 PQ AB 11 分AB 3 PQ AB| PQ | 2( x x ) ( y y )2 ( 12k )2 ( 4k )2 16 0k 2 160 2 30p q p q 2 2 2 2 1当 9k 2 1 时即 k 2 1 , k 1 3k3 时取等号，1 3k (1 3k ) 9k 2 6 3k 2k 2 3 3又 | AB | 10 ， 2 30310 2 33 14 分20（1）函数的定义域为( 0，+ ).由已知可得
14、 -1 分当 m0 时， 0，故 在区间( 0，+)上单调递增； f (x) 无极值-2 分当 m0 时， 由 0，解得 ；由 0，解 得 所以函数 在( 0， )上单调递增，在( ，+) 上单调 递减 .f (x) 的极大值为 f ( 1 ) ln m 1 ，无极小值 -4 分m（）证明：令 F (x) e x ln(x 2) 故只需证明 .函数 在（2，+）上为增函数，且 故 在（2， +）上有唯一实数根 ，且 （1，0 ）- 5 分当 时， ，当 时， ,从而当 时， 取得最小值 -6 分由 ，得 ，即 ， -7 分故 - -8 分综上，当 m2 时， 即 m（） 函数 g(x)=(x-
15、e)(lnx-mx)有且只有三个不同的零点，显然 x=e 是 其零点， 函数 存在两个零点，即 有两个不等的实数根可转化为方程 在区间( 0，+) 上有 两个不等的实数根， 即函数 y=m 的图象与函数 的图象有两个交点. ， 由 0，解 得 ，故 在上单调递增； 由e，故 在( e，+ )上单 调递减；故函数 y=m 的图象与 的图象的交点分别在( 0，e) ，( e，+)上，即 lnx-mx=0 的两个根 分 别在区间 (0， e)， (e， +)上， -9 分 g(x)的三个不同的零点分别是 x1，e ，x 3，且 0e令 ，则 t 由 ，解得 故 ，t -1 1 分令 ，则 令 ，则 -12 分 所以 在区间上单调递增，即 所以 ，即 在区间 上单调递增，即 = ，所以 ，即 x1x3 ， -14 分
