1、烟台市 2019 年高考诊断性测试理科数学 2019.3注意事项：1本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟2答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上3使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题无效一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求1已知复数 z 满足 (i 为虚数单位)，则12izzA B C1+i D1 ii2若集合 ,04RMxNxZMN， 则A B C D001,22,343已知甲袋中有 1 个红球 1 个黄球，乙袋中有
2、 2 个红球 1 个黄球，现从两袋中各随机取一个球，则取出的两球中至少有 1 个红球的概率为A B C D23564 “ ”是“ ”的0babA充分不必要条件 B充要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件5在平面直角坐标系 中，角 的顶点在原点，始边与xOy x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3 ，1)，则 cos2A B C D3545 456执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A8 B16 C32 D647在 2=3CABA中 ， ， ， ， 若，则23DA B C D99169 898我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理： “缘幂势既同，则积不容异也” “幂”是截面积
3、， “势”是几何体 的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两 几何体体积相等已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何 体满足“幂势既同” ，其中俯视图中的圆弧为 圆周，则该不规则14 几何体的体积为A B C D121362239将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关sin0,fx6于 y 轴对称，且 ，则当 取最小值时，函数 的解析式为12f fxA Bsin6fxsin26fxC Di4fi4f10设 A，B，C，D 是同一个球面上四点， 是斜边长为 6 的等腰直角三角形，若三棱锥ABCDABC 体积的最大值为 27，则该球的表面积为A B C D36610
4、1411若函数 ，则满足 的取值范围为sin2xfex20fxfx的A B C D12， 1， ， ， 2， ，12已知 分别为双曲线 的左、右焦点， M 为双曲线右支上一点且满足12F、 246xy，若直线 与双曲线的另一个交点为 N，则 的面积为120M2MF1FA12 B C24 D1 24二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13已知 的展开式中 的系数为 40，则实数 a 的值为52ax3x14己知 满足约束条件 的最小值是,y024yzxyx， 则15在 分别为内角 A，B，C 的对边，若 ，则,ABCabc中 ， ,sin3cosaBbA周长的最大值为1
5、6已知 ，若方程 有 2 个不同的实根，则实ln,0244xxeffe0fxm数 m 的取值范围是(结果用区间表示 )三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60 分17 (12 分)已知数列 中， na11,2,nanN(1)记 是否为等差数列，并说明理由：2logb， 判 断(2)在(1)的条件下，设 ，求数列 的前 项和 1nbcancnT18 (12 分)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC 等边三角形， ，以 AC 为折痕将ABC 折起，ACD使得平面
6、平面 ACDABC(1)设 E 为 BC 的中点，求证： 平面 BCD：AE(2)若 BD 与平面 ABC 所成角的正切值为 ，求二面角 的余弦值32B19 (12 分)已知 F 为抛物线 的焦点，过 F 的动直线交抛物线 C 于 A，B 两点2:0Cypx当直线与 x 轴垂直时， 4AB(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 AB 与抛物线的准线 l 相交于点 M，在抛物线 C 上是否存在点 P，使得直线PA，PM，PB 的斜率成等差数列?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由20 (12 分)2019 年 2 月 13 日烟台市全民阅读促进条例 全文发布，旨在保障全民阅读权利，培
7、养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明 城市和文化强市建设某高校为了解条例发布 以来全校学生的阅读情况，随机调查了 200 名 学生每周阅读时间 X(单位：小时) 并绘制如图 所示的频率分布直方图(1)求这 200 名学生每周阅读时间的样本平 均数和样本方差 (同一组中的数据用该组x2s 区间的中间值代表)；(2)由直方图可以认为，目前该校学生每周 的阅读时间 X 服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 2N， x22s(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若2, 0,1aNYYPXY 令 ， 则 ， 且利用直方图得到的正态分布，求 。PX(i
8、i)从该高校的学生中随机抽取 20 名，记 Z 表示这 20 名学生中每周阅读时间超过 10 小时的人数，求 (结果精确到 0.0001)以及 Z 的数学期望2PZ参考数据： 1940178,.30.760,10.75.34YNPY若 ， 则21 (12 分)已知函数 为自然对数的底数232.718xxfeaeRe， 其 中(1)讨论 的单调性；(2)当 时， 恒成立，求 a 的取值范围0,x220xxeeafx(二)选考题：共 10 分请在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 44：坐标系与参数方程(10 分)在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 (t
9、 为参数)，以坐标原点为极点，xOyl 312xtyx 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .2cos(1)求直线 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程；l(2)设点 ，直线 与曲线 C 相交于两点 A，B，求 的值.1,3Pl 1PB23 选修 45：不等式选讲(10 分)已知函数 。22fxmx(1)当 m=1 时，求不等式 的解集；f(2)若实数 m 使得不等式 恒成立，求 m 的取值范围1,xx在理科数学参考答案及评分标准一、选择题A B D A D C C B C C B C二、填空题13 14 15 16三、解答题17. 解：（1） . 1 分当 时，. 3
10、 分所以数列 是以 为首项、公差为 的等差数列. 4 分（2）由（1）得 ， ，于是 . 5 分6 分两式相减得 9 分11 分所以 . 12 分18. 解：（1 ）证明：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 . 1 分又 平面 ，所以 . 2 分在等边 中，因为 为 的中点，所以 . 3 分因为 ， ， ，所以 平面 . 4 分（2 ）由（1 ）知 平面 ，所以 即为 与平面 所成角，于是在直角 中， . 5 分以 为坐标原点，分别以 所在的方向作为 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .设等边 的边长为 ，则 ， ， ， ， ， ， ，. 7 分设平面 的一
11、个法向量为 ，则 ，即 ，令 ，则 ， ，于是 . 9 分设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，解得 ，令 ，则 ，于是 . 11 分所以 .由题意知二面角 为锐角，所以其余弦值为 . 12 分19. 解：（1）因为 ，在抛物线方程 中，令 ，可得 ,2 分所以当直线与 轴垂直时 ，解得 , 3 分抛物线的方程为 . 4 分（2） 不妨设直线 的方程为 ，因为抛物线 的准线方程为 ，所以 .5 分联立 消去 ，得 , 6 分设 ， ，则 ， , 7 分若存在定点 满足条件，则 ，即 ， 8 分因为点 均在抛物线上，所以 .代入化简可得 ， 9 分将 ， 代入整理可得，即 , 10 分因为上式对
12、 恒成立，所以 ，解得 ,11 分将 代入抛物线方程，可得 ，于是点 即为满足题意的定点. 12 分20. 解：（1） 2 分4 分（2）(i)由题知 ， ， . 5 分. 7 分（）由(i)知 ， 8 分可得 ,10 分的数学期望 . 12 分21. 解：（1）由题意可知， 1 分当 时， ，此时 在 上单调递增； 2 分当 时，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 3 分当 时，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 4 分综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 时， 单调递减， 时单调递增；当 时， 时， 单调递减，时单调递增. 5 分
13、（2）由 可得，令只需在 使 即可， 6 分 当 时， ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上是减函数，在 上是增函数，只需 ， 解得 ，所以 ； 8 分 当 时， 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，则 ，解得 ， 9 分 当 时， ， 在 上是增函数，而 成立， 10 分 当 时， 在 在 上是增函数，在 上是减函数，在上是增函数，则 ，解得 .11 分综上， 的取值范围为 . 12 分22. 解：（1）因为 ，所以 ， 1 分将 ， ，代入上式，可得 . 3 分直线 的普通方程为 ； 5 分（2）将直线 的参数方程代入曲线 的普通方程，可得 ， 6 分设 两点所对应的参数分别为 ，则 ， .7 分于是 8 分. 10 分23. 解：（1） ，当 时，原不等式转化为 ，解得 ；1 分当 时，原不等式转化为 ， 解得 ；2 分当 时，原不等式转化为 ，解得 ； 3 分综上，不等式的解集为 . 4 分（2）由已知得： ，即 . ，由题意 . 5 分当 时， 为减函数，此时最小值为 ； 7 分当 时， 为增函数，此时最小值为 . 9 分又 ，所以所以 的取值范围为 . 10 分
