1、2018年相阳教育“黉门云”高考等值试卷模拟卷文科数学(全国 I卷)一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 满足 ,则复平面内表示 的点位于( ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：利用复数的除法求出 后得到它对应的点进而可判断其所处象限.详解：由题设 ，该复数表示的点为 ，它在第四象限，故选 D.点睛：本题考查复数的计算及复数的几何意义，属于基础题.2.设集合 ， ,则 =( ）A. （-2，-1） B. (-1,0) C. （0，1） D. 【答案】C【解析
2、】【详解】 , ,故 ,故选 C.3.下列命题中，假命题是( )A. B. C. 的充要条件是 D. 是 的充分不必要条件【答案】C【解析】分析：根据指数函数的性质可知 A正确，再通过举例说明 B正确.而根据不等式的性质又可以知道 D 正确的，最后再根据 是否为零判断出 C是错误的. 详解：对于 A，根据指数函数 的性质可知， 总成立的，故 A正确；对于 B，取 ，则 ，故 B正确；对于 C，若 ，则 无意义，故 C错误，为假命题；对于 D，根据不等式的性质可以当 时，必有 ，故 D正确；综上，选 C. 点睛：本题有 4个命题，涉及到全称命题和存在性命题的真假判断，又涉及到充分必要条件判断，属
3、基础题.4.设函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）A. 0 B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】将 代入直线方程得 ,故切点为 ,直线斜率为 , ,.故选 A.5.设 是等比数列， 为其前 项和，若 ，则 =（ ）A. B. 4 C. D. 8【答案】A【解析】分析： 与公比有关，我们可利用等比数列的通项公式把 表示为基本量的关系式，再把 变化为 ，从而可求出公比.详解：设公比为 ，则，.两式相比有 ，故 或 （舎） ，所以 ，故选 A. 点睛：解决数列的问题一般有两个角度，一是可把数列问题归结基本量的关系式，二是合理利用等比数列的性质.6.某四面体的三视图由如图所示的三个
4、直角三角形构成，则该四面体六条棱长最长的为( ).A. 7 B. C. 6 D. 【答案】B【解析】分析：根据三视图还原四面体（如图） ，该四面体的四个面都是直角三角形，最长的棱长为，利用勾股定理可以计算其长度.详解：四面体如图所示，其中 平面 且 中， .由 平面 ， 平面 得到 ，同理 ，所以棱长最大为 且点睛：通过三视图还原几何体是高考中的常见内容，注意根据三视图还原点线面的位置关系，这类问题属于基础题.7.已知 , 满足约束条件 ，若 的最小值为 1，则 =（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点 处取得最小值,即 .故选C.
5、8.己知 为双曲线 右支上一点， 为双曲线右焦点，若 ( 为坐标原点)为等边三角形，则双曲线的离心率为( ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据 为等边三角形得到 的坐标（可用 来表示） ，代入双曲线方程可以得到的方程，从中可解出离心率.详解：因为 为等边三角形，所以 ，故 ，化简得 ，解得 ，故 .故选 D.点睛：圆锥曲线中求离心率的值或取值范围，关键在于合理构建关于 的方程或不等式.其中不等式可以通过坐标的范围、几何量的范围或点在圆锥曲线的内部等来构建.9.如果执行下边的程序框图，输入正整数 ,实数 分别为 2,7,4,5，1,3，6，8,则输出 分别为( )A. 8和 1
6、 B. 5和 4 C. 4和 5 D. 1和 8【答案】A【解析】分析：题设中的流程图有两处判断，第一个判断是如果 比 大，那么 就是 ，否则再与比较，如果比 小， 就是 ，所以 、 分别是 中的最大值和最小值.详解：流程图的功能是找出 中的最大值 和最小值 ，故 ，选 A. 点睛：对于流程图，我们可以通过计算变量的若干起始值和若干临界值来判断它的功能.比如，第一次执行两个判断后， ；第二次判断两个判断后， ；.依次计算就可以发现该流程的功能是求最大值和最小值.10.若 ,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是 ，因此三者可化为 的形式，该函数为
7、上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解： ， ， ，令 ，则 在 上是单调增函数.又 ，所以即 .故选 D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.11.设抛物线 的焦点为 , 为 上纵坐标不相等的两点，满足 ，则线段的垂直平分线被 轴截得的截距为( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】分析：设 ，则由焦点弦公式可以得到 ，从而中点 的纵坐标是定值，而直线 的斜率也可以用点的坐标表示，它的中垂线也可以用点的坐标表示，求出该直线与轴交点的纵坐标即可得定值.详解
8、：设 ，则 即 ， 又 的中点坐标为 即为 ，又 ，故 的中垂线方程为： 令 ，则有 ，故 的垂直平分线被 轴截得的截距为 ，故选 B.点睛：圆锥曲线中的对称问题应抓住中点和垂直，点差法后就可以用交点的坐标来表示直线的斜率、直线的方程以及中垂线的方程，从而解决与对称有关的问题.12.己知函数 若同时满足以下两个条件的实数 恰好有 4个： 则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】表示函数的对称轴为 . .条件 即化为,即 ,根据正弦函数图象的对称性可知, 时,有 个解,即,解得.【点睛】本小题主要考查函数的对称性,考查 所表示出函数的性质,考查三角函数的对称轴和最值,考查
9、新定义概念的理解.首先根据 可知函数的图象具有对称性,且对称轴为 ,得到 是函数的对称轴,也即是最大值和最小值的地方,然后根据解的个数列不等式组求得 的取值范围.二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.若向量 满足: ,则_【答案】【解析】,所以 .14.甲、乙两名同学各自等可能地从政治、历史、地理 3门课程中选择 2门作为考试科目，则他们选择的课程完全相同的概率为_【答案】【解析】甲和乙各有三种选择方法,故基本事件的总数有 种,其中选课完全相同的有 种,故概率为 .【点睛】本小题主要考查古典概型的计算. 计算古典概型事件的概率可分三步 (1)判断本次试验的结果是否是等
10、可能的，设出所求的事件为 ；(2)分别计算基本事件的总个数 和所求的事件 所包含的基本事件个数 ；(3)利用古典概型的概率公式 求出事件 的概率15.九章算术是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，是当时世界上最简练有效的应用数学， 九章算术在数学上有其独到的成就，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。下面问题源自其中:“今有金籌(chui),长五尺，斩本一尺，重四斤，斩来一尺，重二斤，问金籌重几何?”意思是:“有长 5尺的一根金籌，一头粗一头细，在粗的一端截下 1尺，重 4斤; 在细的一端截下一尺，重 2 斤: 问金籌重多少斤?” ，将以上问题一般化，可表述为: 有长 尺的一根金籌
11、 ，一头粗一头细，(质量均匀变化)，在两端各截下 1尺，截下的部分分别重 斤和 斤: 问金籌原来的重量为多少斤? 答案为_(用的代数式表示)【答案】【解析】分析：因为金籌的质量是均匀变化的，所以每尺的质量应该是一个等差数列，题设中给出了等差数列的首末两项，则可求各尺质量之和详解：由题设，金籌的每一尺的重量依次成等差数列，该数列的首末两项分别为 ，该数列共有 项，故其总重量为 填 点睛：数学文化题是高考的热点，解这类问题时要将实际问题抽象成数学模型，注意在建模时对关键信息的理解（如质量均匀等） 16.设四棱锥的底面是一个正方形，5 个顶点都在一个半径为 1的球面上，则四棱锥的体积的最大值为_【答
12、案】【解析】分析：因为球的内接四棱锥的底面是正方形，故球心在过底面中心且垂直于底面的直线上对于同一底面，当顶点在这条直线上且在球面上时，四棱锥的高是最大的又要使得内接四棱锥体积最大，球心还必须在四棱锥的内部，否则可以通过平移底面得到更大体积的四棱锥最后通过以角为参数构建体积的函数表达式，利用导数求最值即可详解：如图，要使得体积最大，则 在四棱锥的内部（否则我们可以把底面平移球心的另一侧的位置，球心到这两个的面的距离相等，但高增加了，从而体积增大）且球心及其顶点在过底面中心且垂直于底面的直线上.设 ，则 （ 为底面的中心） ，所以 ，又，故 .令 ，则 ，.当 时， ；当 时， ，所以 在 为增
13、函数，在 为减函数，故 .填 .点睛：内接几何体的体积的最值，往往涉及到取最值时几何体中不同几何量的关系，这种关系的获得须通过动态变化来考虑（如本题中球心的位置和顶点的位置）.不同几何量的关系确定后，我们还需要选择合理的自变量来构建体积的函数关系式，需要注意的是如果函数关系式有根号，那么我们需要调整自变量（如本题的角等）使得目标函数更简洁.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在 中，已知(l) 求 ;(2) 设 是 边中点，求 .【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）题设中给出了两角一边，故可以用正弦定理求 ；（2）因为 且 都
14、已知，故 可由数量积求得.解析：（1） 且 ， . ， . 在 中，由正弦定理得： ， .（2） 为 边中点， ， 即 .（或利用 求解）点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径） ，一般地，知道其中的三个量（除三个角外） ，可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）.18.如图，在四棱锥 中， ,侧面 为等边三角形.(l) 证明: 平面 ;(2) 求四棱锥 体积.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（）取 的中点 ，连结 ,根据边的关系证明 和 满足勾股定理，证明 和
15、 ，即证明了线面垂直的判断定理的条件；（）点 到平面的距离就是点 到平面 的距离，根据（）的结果，利用等体积转化求点 到平面的距离，即 求解.试题解析：（）如下图，取 的中点 ，连结 ， ，则四边形 为矩形，,侧面 为等边三角形， ,且 ,又 , ,平面 .（）设四棱锥 的高为 ，则 也是三棱锥 的高，由（）知， 平面 ,由 ,得 ,又 , , ,故四棱锥 的高为 .另解：连结 ，过 作 于 ，则 为所求的高.19.某超市每天按每包 4元的价格从厂家购进 包面包（ 为常数， ） ，然后以每包 6元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的面包以每包 2元的价格全部降价处理完.（1）求超市当天的利润 (
16、单位：元）关于当天日需求量 （单位：包， ）的函数解析式；（2）超市记录了 100天面包的日需求量 （单位：包） ，整理得下：日需求量 140 150 160 170 180 190 200频数 10 20 16 16 15 13 10（以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率）若 ，求当天的利润不少于 320元的概率根据每天的平均利润判断： 和 两种进货方案哪种更好.【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【试题分析】(1)当需求量 小于购买量 时,用总销售额减去降价处理亏损额可得当天的利润.当需求量大于购买量时,每包赚 元,故利润为 .利用分段函数列出函数的解析式.(2)
17、 由,解得 ,由此可知概率为 .分别利用(1)求出的解析式,求得当求得每种情况下对应的平均利润,比较两个平均利润可得 时方案较好.【试题解析】(1)y= (2)由 4x320 320，解得 x 160，P（x 160）=0.7 当 n=160时，由函数关系可计算的下表：日需求量 x 140 150 160利润 y 240 280 320平均利润 y1= =304 当当 n=170时，由函数关系可计算的下表：日需求量 x 140 150 160 170利润 y 220 260 300 340平均利润 y2= =305.6 由于 y2y1，故应采用 n=170的进货方案20.设 为椭圆 的左右焦点
18、， 为椭圆上一点，满足 ,已知三角形的面积为 1.(1) 求 的方程:(2) 设 的上顶点为 ,过点(2，-1)的直线与椭圆交于 两点(异于 ),求证: 直线 和的斜率之和为定值，并求出这个定值.【答案】 （1） ；（2）【解析】【试题分析】(1)利用椭圆的定义和直角三角形勾股定理,直角三角形面积公式,列方程组,解方程组可求得 的值为 ,故所求椭圆方程为 .(2)设出直线 的方程,代入椭圆方程,写出韦达定理,代入计算 ,故所求定值为 .【试题解析】（1）由椭圆定义：| MF1|+|MF2| =4由垂直：| MF1|2+|MF2|2 =|F1F2|2=4(4b 2) 由面积：S= |MF1|MF
19、2| =1三式消去| MF1|、 |MF2|，可得 b2=1， (2) 依题意：H(0，1)，显然当直线 RS与 y轴平行时不符题意设直线 RS方程为 y=kx+m，其中 m=2k1 1带入椭圆方程化简得： (4 k2+1)x2+8kmx+4m24=0故 x1+x2= x1x2= kHR+kHS= = = 故 kHR+kHS为定值121.已知函数 ，(l) 讨论 的单调区间;(2) 证明:【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【试题分析】(1)先求函数导数 ,构造函数 ,求得 的导数后得到 的单调区间,判断出 ,故原函数 ,由此求得函数在定义域的两个区间内分别递减.(2)化简函数 ,构造
20、函数 ,利用导数即(1)的结论可知 为增函数,由此证得 .【试题解析】(1) f(x)= ，令 g(x)=(1 x)ex1则 g(x)=xe x，所以 g(x)在(,0)为增，(0,+)为减所以 g(x) g(0)=0，即 f(x) 0所以 f(x)在(,0)和(0,+)为减函数(2) f(x) =设 h(x)= (x2)e x+x+2,则 h(x)= (x1)e x+1=g(x)由(1)知 g(x) 0，所以 h(x) 0h(x)为增函数当 x0同理当 x0时也有 0，所以： f(x) 【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查利用导数证明不等式.在利用导数求函数的单调区间的时候,
21、首先求得函数的定义域,然后对函数求导,如果是分式必须通分,然后结合图象得到函数的单调区间,如果导函数的图象无法画出,则考虑再次求导来求的导函数的单调区间,由此来判断原函数的单调区间.22.在直角坐标系 中，设直线 ( 为参数)，曲线 ( 为参数)，在以为极点、 正半轴为极轴的极坐标系中:(1) 求 和 的极坐标方程:(2) 设曲线 .曲线 ,分别与 交于 两点，若 的中点在直线 上，求 .【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：（1）先把 的参数方程化为直角方程，再把直角方程化为极坐标方程；（2）因为 共线，从而 ，因此 中点的极坐标为，代入直线的极坐标方程后可求出 的三角函数值，从而求得
22、 的长. 详解：(1) 消去 可得 ，即 ，化为极坐标： ，消去 可得 ，化为极坐标： . (2) 中点的极径为 ，将 代入 中，化简得： ，故 ，故 ， ，.点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 ，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式 ，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生 以便转化.另外在求线段长度时，注意利用 共线来考虑.23.设 均为正数并满足(1) 证明: ;(2) 求 的最大值【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）先由 ， ， 得到 ，从而可证： ，代入 就得到要证明的不等式；（2）利用柯西不等式可得 ，代入就得到要证明的不等式；详解：(1)由 ， ， ，相加可得： .又 ，所以 .(2) 由柯西不等式得，即 ，所以 ，当 时等号成立，解得： ，所以 的最大值为 .点睛：不证明等式时，需关注要证明的不等式的和、积特征和次数特征，比如要证是，它有和、有积且是二次的，而题设给出的 ，它是一次的，故对题设平方处理.再比如要证 ，它是根式且多了系数 2、3，结合题设 就能发现可用柯西不等式证明.
