1、专题 23 空间中的平行与垂直证明技巧一 【学习目标】（1）熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间 问题转化为平面问题（2）学会应用“化归思想” 进行“ 线线问题、线面问题、面面问题 ”的互相转化（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题（4）熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题不论何种“垂直”都能化归到“ 线线垂直”二.【知识点及方法归纳】1直线与平面平行的判定(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行，即ab，a ，b a .(2)如果两个平面平
2、行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，则 a .2直线与平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a，a ，b， 3直线与平面垂直的判定(1)(定义 )如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(2)(判定定理 1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为：若 m，n，m nB，l m ，l n，则 l.(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面用符号语言表示为：若ab，a，则 b.(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那
3、么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面4两平面平行的判断方法(1)依定义采用反证法.(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行.(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定.5.平行关系的转化程序线线平行 A线面平行 A面面平行从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点，灵活确
4、定转化思路和方向.三【解题方法总结】1证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明2直线与平面平行的判定方法：(1)a a (定义法)，(2)Error!a，这里 表示平面，a，b 表示直线3证明线面垂直的方法主要有：(以下 A 为点，m ，n，l，a，b 表示直线， 表示平面)(1)利用线面垂直的定义：a 与 内任何直线垂直a；(2)利用判定定理： Error!l；(3)利用第二判定定理：ab，a，则 b；(4)利用面面平行的性质定理：，a，则 a.(5)利用面面垂直的性质定理：，l， a，al，则 a.4.面面垂直的证明方法：(1)利用定义： 和 所
5、成的二面角为直二面角；(2)利用判定定理：若 a，a，则 .5.性 质定理的恰当应用：(1)若 ，l，a ， al，则 a，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的垂线段.(2)若 ，点 P，Pa，a，则 a.5.垂直关系的转化程序线线垂直 A线面垂直 A面面垂直.四 【典例分析及训练】（一）平面的性质例 1下列命题正确的是（ ）A在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B一条直线与一个平面可能有无数个公共点C经过空间任意三点可以确定一个平面D若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行【答案】B【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面
6、的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。练习 1正三棱柱 中,所有棱长均为 2,点 分别为棱 的中点,若过点 作一截面,则截面的周长为（ ）A B C D【答案】B【解析】在正三棱柱 中，延长 和 交于点 M，连接 ，交 于点 ，分别连接 ，则过点 的截面为四边形 ，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解.【详解】在正三棱柱 中，延长 和 交于点 M，连接 ，交 于点 ，分别连接 ，则过点的截面为四边形 ，如图所示，由 ，可得 ，由 ，则 ，解得 ，则 ，在直角 中， ，则 ，在直角 中， ，则 ，在直角 中， ，则 ，在 中
7、， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以截面的周长为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.练习 2在空间四边形 的各边 上的依次取点 ，若 所在直线相交于点 ，则（ ）A点 必在直线 上 B点 必在直线 上C点 必在平面 外 D点 必在平面 内【答案】B【解析】由题意连接 EH、FG、BD，则 PEH 且 PFG，再根据两直线分别在平面 ABD 和 BCD 内，根据公理 3 则点 P 一定在两个平面的交线 BD 上【详解】如图：连接 EH、F
8、G、BD ，EH、FG 所在直线相交于点 P，PEH 且 PFG，EH平面 ABD，FG平面 BCD，P平面 ABD，且 P平面 BCD，由平面 ABD平面 BCDBD ，PBD，故选：B【点睛】本题考查公理 3 的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明 【点睛】本小题主要考查空间异面直线的位置关系，考查线面平行等知识，属于基础题.练习 2已知两条不同的直线 和两个不同的平面 ，有如下命题：若 ， ， ， ，则 ；若 ， ， ，则 ；若 ， ，则 其中正确的命题个数为A B C D【答案】B【解析】利用线面平行的性质定理和判定
9、定理对三个命题分别分析解答【详解】对于，若 ， ， ， ，则 与 可能相交；故错误；对于，若 ， ， ，满足线面平行的性质定理，故 ；故正确；对于，若 ， ，如果 ，则 ；故错误；故选：B【点睛】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用，关键是正确运用定理进行分析解答（五）面面关系例 5已知 是不同的平面， 是不同的直线，则下 列命题不正确的是（ ）A若 ， ， ，则 B若 ， ，则 ，C若 ， ，则 D若 ， ，则【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，判断 A；由线面位置关系判断 B；由线面垂直定理判断 C；由面面平行判断 D；【点睛】本题主要考查空间中线面、面面位置关系，需要考生熟记
10、线面平行于垂直、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，难度不大.练习 1设 为三个不同的平面， 为两条不同的直线，则下列命题中假命题是（ ）A当 时，若 ，则 B当 ， 时，若 ，则C当 ， 时，若 ，则 是异面直线 D当 ， ，若 ，则【答案】C【解析】对于 A，根据平面与平面平行、垂直的性质，可得正确；对于 B，根据平面与平面平行、线面垂直的性质，可得正确；对于 C， 可能异面，也可能平行，故错误；对于 D，由 ， 可知 ，又 ，所以 ，可得正确.故选：C【点睛】本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行 的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定理是关键练习 2设 为两两不重合的平面， 为
11、两两不重合的直线，给出下列四个命题：若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ， ， ，则其中真命题的个数是（ ）A 1 B2 C3 D4【答案】B【解析】对于，可在正方体中举例说明它们错误即可。对利用面面平行的定义即可判断其正确，对于利用线面平行的性质来证明即可。【详解】对照下图，对于，令平面 ，平面 ,平面 ,满足 ， ，但是 与 不平行。所以错误。对于，令平面 ，平面 ， ，满足 ， ， ， ，但是 与 不平行，所以错误。对于，利用面面平行的定义即可判断正确，对于， ，同理可得： ，所以 ，所以正确。故选：B。【点睛】本题主要考查了面面平行的判断及线面平行的判断，还
12、考查了线面平行的性质，属于基础题。（六）线面平行的判定 例 6如图,正方体 的棱长为 1,线段 上有两个动点 、 ,且 ，则下列结论错误的是( )A B三棱锥 的体积为定值C 平面 D 的面积与 的面积相等【答案】D【解析】 ， 在平面 的投影所在直线为 ， ,由三垂线定理可以得到 ，故正确，由几何体的性质及图形可知，故可得三棱锥以 为底面，点 A 到面 的距离为 的高， 的面积为 ,点 A 到面 的距离为 ，则三棱锥 的体积为定值,故正确，由正方体可得平面 平面 ，又 平面 ，则 平面 ，故正确，由题可知， 为等腰三角形， 到线段 的距离为 的高， 点到线段 的距离为 ， 的高为 ，, ,故
13、 的面积与 的面积不相等，故错误。故选【点睛】本题考查了立体几何中线面的关系，运用线面平行、垂直来解答，在解答体积问题时注意高的取值，属于中档题练习 1如图是几何体的平面展开图,其中四边形 ABCD 为正方形,E,F 分别为 PA,PD 的中点,在此几何体中,给出下面 4 个结论:直线 BE 与直线 CF 共面； 直线 BE 与直线 AF 异面；直线 EF平面 PBC； 平面 BCE平面 PAD.其中正确的有( )A1 个 B3 个 C2 个 D4 个【答案】B【解析】连接 EF，由 E、F 分别为 PA、PD 的中点，可得 EFAD，从而可得 E，F，B，C 共面，故直线 BE 与直线 CF
14、 是共面直线；根据 E平面 PAD，AF平面 PAD，EAF ，B平面 PAD，可得直线 BE 与直线 AF 是异面直线；由知 EFBC，利用线面平行的判定可得直线 EF平面 PBC；由于不能推出线面垂直，故平面 BCE平面 PAD 不成立【详解】连接 EF，则E 、F 分别为 PA、PD 的中点，EFAD，ADBC，EFBC，E，F，B，C 共面，直线 BE 与直线 CF 是共面直线，故正确；E平面 PAD，AF平面 PAD，EAF ，B平面 PAD，直线 BE 与直线 AF 是异面直线，故正确；由知 EFBC，EF 平面 PBC，BC 平面 PBC，直线 EF平面 PBC，故正确；由于不能
15、推出线面垂直，故平面 BCE平面 PAD 不成立故选：B【点睛】本题考查空间线面位置关系，考查异面直线的判定，考查线面平行，属于中档题练习 2如图，在棱长为 2 的正方体 中， 分别是棱 的中点， 是底面内一动点，若直线 与平面 不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为A B 1 C D【答案】C【解析】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，可得 平面 ,再证明平面 平面 ,可知 在 上时，符合题意，从而得到 与 重合时三角形 的面积最小，进而可得结果.【详解】延展平面 ，可得截面 ,其中 分别是所在棱的中点，直线 与平面 不存在公共点，所以 平面 ,由中位线定理可得 ,在平面 内
16、， 在平面 外，所以 平面 ,因为 与 在平面 内相交，所以平面 平面 ,所以 在 上时，直线 与平面 不存在公共点，因为 与 垂直，所以 与 重合时 最小，此时，三角形 的面积最小，最小值为 ，故选 C.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.（七）面面平行的判定例 7如图，已知四边形
17、ABCD 是边长为 1 的正方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且MD=NB=1，E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是（ ）A平面 平面 ABN B C平面 平面 AMN D平面 平面 AMN【答案】C【解析】分别过 A，C 作平面 ABCD 的垂线 AP，CQ ，使得 AP=CQ=1，连接 PM，PN，QM，QN ，将几何体补成棱长为 1 的正方体 练习 1a，b，c 为三条不重合的直线， 为三个不重合的平面，给出的下列命题中，正确的个数为( ) ab； a b； ； .A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】由平行公理 4 知 ab 正确. ab 或 a 与 b 相交或异面
18、均可，故不正确； 或 ， 相交，不正确； ，由面面平行的性质知正确故选：B【点睛】本题主要考查了直线与平面 平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理的理解，属于综合题练习 2几何体 ABCDA 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M、N 分别是下底面棱 A1B1、B 1C1 的中点，P是上底面棱 AD 上的一点， ，过 P、M、N 三点的平面交上底面于 PQ， Q 在 CD 上，则 PQ 等于（ ）A B C D【答案】B【解析】平面 ABCD平面 A1B1C1D1，MN平面 A1B1C1D1MN平面 ABCD，又 PQ=面 PMN平面 ABCD，MNPQM、N 分别是 A1
19、B1、B 1C1 的中点 MN A 1C1AC ，PQAC ，又 ，ABCD-A 1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体， ，从而 ， 故选 B.【点睛】本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明（十）例 10如图，已知六棱锥 PABCDEF 的底面是正六边形，PA 平面 ABC，则下列结论正确的是（ ）APBAD B平面 PAB平面 PBC C直线 BC平面 PAE D直线 CD平面 PAC【答案】D【解析】因为 AD 与 PB 在平面 ABC 内的射影 AB 不垂直，所以 A 答案不正确过点 A 作 PB 的垂线，垂足为 H，若平面 PAB平
20、面 PBC，则 AH平面 PBC，所以 AHBC.又 PABC，所以 BC平面 PAB，则 BCAB，这与底面是正六边形不符，所以 B 答案不正确若直线 BC平面 PAE，则 BCAE，但 BC 与 AE 相交，所以 C 答案不正确故选 D.【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直； (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直练习 1如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的
21、中点，G 是 EF 的中点，现在沿 AE，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B，C ，D 三点重合，重合后的点记为 H，那么，在这个空间图形中必有AAG平面 EFH BAH平面 EFH CHF平面 AEF DHG 平面 AEF【答案】B 【解析】分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得 HA、HE、HF 三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，进而可判断【详解】分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得 HA、HE、HF 三者相互垂直，AH 平面 EFH，B 正确； 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，A 不正确；AGEF，EFAH，EF平面 HAG，平面
22、HAGAEF，过 H 作直线垂直于平面 AEF，一定在平面 HAG 内，C 不正确；HG 不垂直于 AG，HG平面 AEF 不正确，D 不正确故选：B【点睛】本题了考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线线面 面面，垂直关系的相互转化判断，属于中档题练习 2如图，四棱柱 中， 分别是 、 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A B 平面 C 平面 D 平面 【答案】D【解析】连接 交 于 ，由于四边形 是平行四边形，对角线平分，故 是 的中点.因为 是的中点，所以 是三角形 的中位线，故 ，所以 平面 .故选 D.【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，
23、还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明.两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项.属于基础题.（十一）面面垂直例 11如图，在三棱锥 中，平面 平面 为等边三角形， 其中分别为 的中点，则三棱锥 的体积为（） A B C D【答案】D【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质定理的应用，考查体积的计算，正确运用平面与平面垂直的性质定理是关键，是中档题练习 1如图所示，四棱锥 的底面方正方形，侧面 为等边三角形，且侧面 底面 ，点 在底面正方形 内运动，且满足 ，则点 在正方形 的轨迹一定是（ ）A B C D【答案】B【解析】先确定轨迹
24、是 2 个平面的交线，PC 的中垂面 和正方形 ABCD 的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的 2 个固定点【详解】 ，点 在 的中垂面 上，点 在正方形 内的轨迹一定是平面 和正方形的交线 为正方形，侧面 为等边三角形， 取 的中点 ，有 取 的中点 ，易知 ， 又 ， 平面 ，即平面 与平面 重合点 在正方形 内的轨迹一定是线段 故选 B.【点睛】本题考查面面垂直的性质，轨迹的确定方法练习 2如下图，梯形 中， , , , ,将 沿对角线 折起设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面 .给出下面四个命题： ；三棱锥 的体积为 ； 平面 ；平面 平面 .其中正确命题的序号是（ ）A B
25、 C D【答案】B【解析】利用折叠前四边形 中的性质与数量关系，可证出 ，然后结合平面 平面 ，可得 平面 ，从而可判断；三棱锥 的体积为 ，可判断；因为平面 ，从而证明 ，再证明 平面 ，然后利用线面垂直证明面面垂直.【详解】 ， ， ， 平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，平面 ， ，故 不成立，故错误；棱锥 的体积为，故错误；由知 平面 ，故正确；由知 平面 ，又 平面 ，又 ，且 、 平面 ， ,平面 ，又 平面 , 平面 平面 ，故正确.故选：B.【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，
26、也要注意利用折叠前后四边形 中的性质与数量关系.（十二）平行垂直综合例 12如图，四边形 ABCD 是圆柱 OO的轴截面，点 P 在圆柱 OO的底面圆周上，圆柱 OO的底面圆的半径 OA=1，侧面积为 2，AOP=60（1）求证：PB平面 APD；（2）是否存在点 G 在 PD 上，使得 AGBD；并说明理由（3）求三棱锥 D-AGB 的体积【解析】 （1）由 为圆 的直径，可得 ，再由 平面 ，得 ，然后利用 线面垂直的判定可得 平面 ；（2）存在，当点 是 中点时， 由侧面积公式求得 ，进一步得到 ，由 是 的中点，可得 ，再由（1）得 ，由线面垂直的判定可得 平面 ，则 ；（3）直接利用
27、等积法求三棱锥 的体积【详解】 （1）证明：AB 为圆 O 的直径，PB PA ， AD平面 PAB，PBAD ，又 PAAD=A，PB 平面 APD；（2）解：存在当点 G 是 PD 中点时，AGBD事实上，由题意可知， 21AD=2，解得 AD=1由AOP=60，可得AOP 为等边三角形，得到 AP=OA=1在 RtPAD 中，AD=AP ，G 是 PD 的中点，则 AGPD由（1）得 PBAG，PDPB=P，AG平面 PBD，则 AGBD；（3） ，在 RtAPB 中，AB=2 ，AP=1，PB= ， 【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面间位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能
28、力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题练习 1如图，几何体 EF-ABCD 中，四边形 CDEF 是正方形，四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD ，ADDC，ACB 是腰长为 2 的等腰直角三角形，平面 CDEF平面 ABCD（1）求证：BCAF ；（2）求几何体 EF-ABCD 的 体积【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】 （1）推导出 FCCD，FC BC，ACBC ，由此 BC平面 ACF，从而 BCAF（2）推导出 ACBC2 ， AB 4，从而 ADBCsinABC 2 2，由 V 几何体EFABCDV 几何体 ACDEF+V 几何体 FACB，能求出几何体 EFAB
29、CD 的体积【详解】 （1）因为平面 CDEF平面 ABCD，平面 CDEF平面 ABCD=CD，又四边形 CDEF 是正方形，所以 FCCD ，FC 平面 CDEF，所以 FC平面 ABCD，所以 FCBC因为ACB 是腰长为 2 的等腰直角三角形，所以 ACBC又 ACCF=C，所以 BC平面 ACF所以 BCAF（2）因为ABC 是腰长为 2 的等腰直角三角形，所以 AC=BC=2 ，AB = =4，所以 AD=BCsinABC=2 =2，CD=AB=BCcosABC=4-2 cos45=2，DE=EF=CF=2，由勾股定理得 AE= =2 ，因为 DE平面 ABCD，所以 DEAD又
30、ADDC，DEDC=D，所以 AD平面 CDEF所以 V 几何体 EF-ABCD=V 几何体 A-CDEF+V 几何体 F-ACB= = += = 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题练习 2如图，在四棱锥 中， ，底面 为直角梯形， ， 分别为 中点，且 ， .（1） 平面 ；（2）若 为线段 上一点，且 平面 ，求 的值；（3）求四棱锥 的体积.【答案】 （1）详见解析；（2） ；（3） .【解析】 （1）连结 ，利用勾股定理逆定理可证明 ，又易证 ，可证明 平面（2）连接 ，根据 ， 平面 可
31、得 ，进而 ，利用 为 中点可得结论（3）OA 是棱锥的高，求底面直角梯形 的面积即可代入体积公式计算.【详解】 （1）证明：连结 ， 为 的中点，且 ， 又 ， 是 中点， ，由已知 ，且 是平面 内两条相交直线 平面 .（2）连接 ，由已知底面 为直角梯形， ，则四边形 为平行四边形所以因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 所以因为 为 中点，所以 为 中点，所以 ，又因为点 为 的中点.所以 .（3）由（1） 平面 得 为四棱锥 的高，且又因为 是直角梯形， ， ，所以直角梯形 的面积为则四棱锥 的体积【点睛】本题主要考查了线面垂直、平行的判定和性质，棱锥的体积，属于中档题.练习
32、3如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形点 E 是棱 PC 的中点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F（1）求证：ABEF ；（2）若 PA=AD，且平面 PAD平面 ABCD，求证：AF平面 PCD【解析】 （1）证明： 底面 ABCD 是正方形， ABCD ,又 AB平面 PCD，CD 平面 PCD， AB平面 PCD ,又 A，B，E ，F 四点共面，且平面 ABEF平面 PCD=EF， ABEF ;（2）证明：在正方形 ABCD 中，CDAD ,又 平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD=AD，CD 平面 ABCD,CD平面 PADCD平面 PA
33、D ,又 AF平面 PAD , CDAF ,由（1）可知， ABEF，又 ABCD ， C,D,E,F 在同一平面内， CDEF , 点 E 是棱 PC 中点， 点 F 是棱 PD 中点 ,在PAD 中， PA=AD， AFPD ,又 PDCD=D，PD、CD平面 PCD, AF平面 PCD【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面垂直的证明，属于基础题.练习 4如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 AA1C1C 侧面 ABB1A1，AC=AA 1= AB，AA 1C1=60，ABAA 1，H 为棱 CC1 的中点， D 为 BB1 的中点（1）求证：A 1D平面 AB1H；（2）若
34、 AB= ，求三棱柱 ABCA1B1C1 的体积【解析】 （1）根据面面垂直的性质得到 AHA 1D，再由条件得到 A1DAB 1，于是根据线面垂直的判定得到结论成立；（2）方法一：取 A1C1 的中点 G，连接 AG，证明 AG 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高，然后根据体积公式求出结果方法二：先求出 ，然后根据三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=3 求解【详解】 （1）如图，连接 AC1，因为 为正三角形，H 为棱 CC1 的中点，所以 AHCC 1，从而AHAA 1，又平面 AA1C1C平面 ABB1A1，平面 AA1C1C平面 ABB1A1=AA1，AH平面 AA1C1C，所以
35、AH平面ABB1A1，又 A1D平面 ABB1A1，所以 AHA 1D设 AB= a，因为 AC=AA1= AB，所以 AC=AA1=2a，DB 1=a， 因为 ABAA 1，所以平行四边形 ABB1A1 为矩形，所以DB 1A1=B 1A1A=90，所以 ，所以B 1AA1=DA 1B1，又 DA1B1+AA 1D=90，所以B 1AA1+AA 1D=90，故 A1DAB 1由及 AB1AH=A，可得 A1D平面 AB1H（2）方法一：如图，取 A1C1 的中点 G，连接 AG，因为 为正三角形，所以 AGA 1C1，因为平面 AA1C1C平面 ABB1A1，平面 AA1C1C平面 ABB1
36、A1=AA1，A 1B1平面 ABB1A1，A 1B1AA 1， 所以 A1B1平面 AA1C1C，又 AG平面 AA1C1C，所以 A1B1AG，又 A1C1A1B1=A1，所以 AG平面 A1B1C1，所以 AG 为三棱柱 ABCA1B1C1 的高，经计算 AG= ， A1B1A1C1= 2= ，所以三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V= AG= 方法二：如图，取 AA1 的中点 M，连接 C1M，则 C1MAH，所以 C1M平面 ABB1A1因为 AB= ，所以 AC=AA1=2，C 1M=A1C1sin60=2 ，所以 C1M= 2 ，所以三棱柱 ABCA1B1C1 的体积 V=3 【点睛】 （1）解决空间垂直问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的利用，这是证明空间垂直关系的基础另外要熟练运用“线线垂直”、 “线面垂直”、 “面面垂直”之间的相互转化 （2）求空间几何体的体积的方法有两个：一是根据几何体的特征直接根据体积公式求解；二是将几何体分割成几个便于求体积的几何体后再进行求解
