1、宜昌市部分示范高中教学协作体 2018 年秋期末联考高二（文科）数学一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1.直线 的倾斜角为（ ）A. 30 B. 45 C. 120 D. 135【答案】D【解析】由直线 ，可得直线的斜率为 ，即 ，则 ，故选 D2. 为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A. 简单随机抽样 B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样【答案】C【解析】试题分析：符合分层抽样法的
2、定义，故选 C.考点：分层抽样3.将一颗骰子连续抛掷 2 次，则向上的点数之和为 6 的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出向上点数之和为 6 包含的基本事件个数，即可求出结果.【详解】将一颗骰子连续抛掷 2 次,基本事件总数为 ，向上的点数之和为 6 包含的基本事件有： ，共五个基本事件.所以向上的点数之和为 6 的概率 .【点睛】本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题型.4.已知直线 经过椭圆 C： 的焦点和顶点，则椭圆 C 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线与 x 轴、y 轴的交点，即可
3、得到椭圆的焦点和顶点，从而可求出结果.【详解】因为直线 经过椭圆 C： 的焦点和顶点，所以椭圆的一个焦点坐标为 ，一个顶点坐标为 ，所以 ，则 ，因此离心率为 .【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质，属于基础题型.5.命题“ ”的否定形式是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】特称命题的否定为全称，所以“ ”的否定形式是： .故选 D.6.“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由充分条件和必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】因为 不能推出 ，而 也不能推出 ，所以“ ”是“ ”的既不充
4、分也不必要条件.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题型.7.已知圆 与圆 相外切，那么 等于A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】由两圆外切，两圆心距等于两圆半径之和即可求出结果.【详解】因为 圆心坐标为 ，半径为 1；圆 圆心坐标 ，半径为 r，由两圆外切可得 ,所以 .【点睛】本题主要考查圆与圆位置关系，属于基础题型.8.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S=1.5（单位：升） ，则输入 k
5、的值为（ ）A. 4.5 B. 6 C. 7.5 D. 9【答案】B【解析】当 n=2, ,当 ，当 ，结束。则9.已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ）A. -6 B. -4 C. D. 0【答案】B【解析】作出不等式组所满足的平面区域如图阴影部分所示，其中 A（ ） ，B（6，0） ，C（0，4） ，作出直线 y=x,平移直线 l，当其经过点 C 时，z 有最小值，为-4.故答案为：B.10.若椭圆 的离心率为 ，则 k 的值为( )A. 21 B. 21 C. 或 21 D. 或 21【答案】C【解析】试题分析：当焦点在 轴时 ，当焦点在 轴时，故选 C考点：椭圆方程及性质11.若圆
6、 C： x2 y24 x4 y100 上至少有三个不同的点到直线 l： x y c0 的距离为 2，则 c 的取值范围是（ ）A. -2,2 B. (2 ，2 ) C. D. (-2,2)【答案】C【解析】【分析】根据题意可得圆心到直线距离不大于 ，再根据点到直线距离公式列不等式解得结果.【详解】因为圆 ，所以 ，因为圆 上至少有三个不同点到直线 的距离为 ，所以圆心到直线距离不大于，即 ，选 C.【点睛】判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用 d 与 r 的关系(2)代数法：联立方程之后利用 判断12.椭圆 上一点 A.关于原点的对称点为 B，F 为其右焦点，若 ，设且 ，则该椭
7、圆离心率的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】已知椭圆 焦点在 x 轴上，椭圆上一点 A 关于原点的对称点为点 B，F 为其右焦点，设左焦点为 F1，则：连接 AF，AF 1，AF，BF所以：四边形 AFF1B 为长方形根据椭圆的定义：|AF|+|AF 1|=2a，ABF=，则：AF 1F=2a=2ccos+2csin，即 a=（cos+sin）c，由椭圆的离心率 e= = = ，由 ，, ，sin（+ ） ，1， ， ， ，故选：B点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到
8、 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13.从某班抽取 5 名学生测量身高（单位：cm） ，得到的数据为 160，162，159，160，159，则该组数据的方差 【答案】【解析】试题分析：5 名学生平均数为 160，因此方差为考点：方差14.在区间 内任取两个实数，则这两个实数的和大于 的概率为_【答案】【解析】如图，由几何概型的定义知15.已知 是椭圆 上的一点， 是椭圆的两个焦点，当 时，则 的面积为_【答案】【解析】【分析】由题意结合焦点三角形面积公式求解其面积即可.【
9、详解】由椭圆方程可得： ，结合焦点三角形面积公式可得 的面积为 .【点睛】本题主要考查椭圆中焦点三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在平面直角坐标系 中，圆 的方程为 ，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 有公共点，则 的最大值为_【答案】【解析】试题分析：由于圆 C 的方程为（x-4） 2+y2=1，由题意可知，只需（x-4） 2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点即可。解：圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4） 2+y2=1，即圆 C 是以（4，0）为圆心，1 为半径的圆；又直线 y=kx-2
10、上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需圆 C ：（x-4） 2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点即可设圆心 C（4，0）到直线 y=kx-2 的距离为 d，即 3k24k，0k ，故可知参数 k 的最大值为考点：直线与圆的位置关系点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x-4） 2+y2=4 与直线 y=kx-2 有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17.已知命题 p：函数 的定义域为 R，命题 q：函数 在上是增函数（1）若 p 为真，求 m 的范围；（2）若“ ”为真命题，
11、 “ ”为假命题，求 m 的取值范围【答案】 （1） （2） 【解析】【分析】(1)根据对数函数以及二次函数的性质得到关于 m 的不等式，解出即可；(2)求出 q 为真时的 m 的范围，根据 p,q 中一真一假，得到关于 m 的不等式组，解出即可.【详解】 （1）若 p 为真， 恒成立，所以 ，所以 （2）因为函数 的图象是开口向上，对称轴为 的抛物线，所以，若 q 为真，则 若 为真， 为假，则 中一真一假； 或 ， 所以 的取值范围为 【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数的范围，属于基础题型.18.已知直线 的方程为 （1）求过点 ，且与直线 垂直的直线 的方程；（2）求与直线 平
12、行，且到点 的距离为 的直线 的方程.【答案】 （1）（2） 或【解析】试题分析： 直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；设所求直线方程为 ，由于点 到该直线的距离为 ，可得 ，解出 或 ，即可得出答案；解析：（1）直线 的斜率为 ，所求直线斜率为 ，又过点 ，所求直线方程为 ，即 （2）依题意设所求直线方程为 ，点 到该直线的距离为 ， ，解得 或 ，所以，所求直线方程为 或 19.宜昌车天地关于某品牌汽车的使用年限 x（年）和所支出的维修费用 y（千元）由如表的统计资料：x 2 3 4 5 6y 2.1 3.4 5.9 6.6 7.0（1）画出散点图并判断使用年限与所支出的维修费用是否
13、线性相关；如果线性相关，求回归直线方程；（2）若使用超过 8 年，维修费用超过 1.5 万元时，车主将处理掉该车，估计第 10 年年底时，车主是否会处理掉该车？（ ）【答案】 （1） （2）不会处理该车【解析】试题分析：（1）画出散点图可得使用年限与所支出的维修费是线性相关的，根据所给数据可得 ,故回归方程为 。 （2）当 时， ，即估计使用 10 年维修费用是 12.8 千元，低于 1.5 万元，故车主不会处理该车试题解析：（1）作出散点图如图：由散点图可知使用年限与所支出的维修费是线性相关的 列表如下：由以上数据可得 ，所以 ，故回归直线方程为 .（2）当 时， ，因此可估计使用 10 年
14、维修费用是 12.8 千元，即维修费用是 1.28 万元，因为维修费用低于 1.5 万元，所以车主不会处理该车点睛：（1）利用散点图分析两变量间的相关关系，体现了数形结合思想的应用，本题的易错点为散点图画的不准确，导致判断错误。（2）求线性回归方程的关键在于正确求出系数 a，b，由于 a，b 的计算量大，计算时应仔细谨慎，避免因计算而产生错误(注意线性回归方程中一次项系数为 b，常数项为 a，这与一次函数的习惯表示不同)20.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取 M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表如下，频率分布直方图如图：分
15、组 频数 频率10，15） 10 0.2515，20） 24 n20，25） m p25，30） 2 0.05合计 M 1（1）求出表中 M，p 及图中 a 的值；（2）若该校高三学生有 240 人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间10，15）内的人数；（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人，求至多一人参加社区服务次数在区间25，30）内的概率【答案】 （1） ； （2）60； （3）【解析】【分析】（1）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值；（2）根据该校高三学生有 240 人，分组10，
16、15）内的频率是 0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为 60 人；（3）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+26 人，设出在区间20，25）内的人为a1， a2， a3， a4，在区间25，30）内的人为 b1， b2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率【详解】 （1）由分组10，15）内的频数是 10，频率是 0.25 知， ， M40频数之和为 40，10+24+ m+240， m4. a 是对应分组15，20）的频率与组距的商，（2）因为该校高三学生有 240 人，分组10，15）内的频率是 0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次
17、数在此区间内的人数为 60 人（3）这个样本参加社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+26 人，设在区间20，25）内的人为 a1， a2， a3， a4，在区间25，30）内的人为 b1， b2则任选 2 人共有（ a1， a2） ， （ a1， a3） ， （ a1， a4） ， （ a1， b1） ， （ a1， b2） ， （ a2， a3） ， （ a2， a4） ，（ a2， b1） ， （ a2， b2） ， （ a3， a4） ， （ a3， b1） ， （ a3， b2） ， （ a4， b1） ， （ a4， b2） ， （ b1， b2）15 种情况，而两人都在2
18、5，30）内只能是（ b1， b2）一种，所求概率为 【点睛】本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，考查了古典概型，本题是一个基础题对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.21. 已知以点 C 为圆心的圆经过点 A（1，0）和 B（3，4） ，且圆心在直线 x+3y15=0上（1）求圆 C 的方程；（2）设点 P 在圆 C 上，求PAB 的面积的最大值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）根据题意，得出圆心 为 的垂直平分线和直线 的交点，进而求解圆心坐
19、标和半径，即可得出圆 的方程；（2）由（1）中得出 ，圆心到 的距离为 ，得出 到 距离的最大值，得到 的面积的最大值.试题解析：（1）依题意所求圆的圆心 为 的垂直平分线和直线 的交点，中点为 斜率为 ， 垂直平分线方程为 ，即 联立 解得 即圆心 ，半径 ，所求圆方程为 （2） ，圆心到 的距离为 ，到 距离的最大值为 ，所以 面积的最大值为考点：圆的标准方程；圆的最值问题【方法点晴】本题主要考查了圆的标准方程的求解、与圆有关的最值问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积公式和点与圆的最值问题等知识点的考查，其中把三角形面积的最值转化为圆的最值是解答的关键，
20、着重考查了学生的转化与化归思想和方程思想，属于中档试题22.已知 和 是椭圆 的两个焦点，且点 在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）直线 （m0）与椭圆 C 有且仅有一个公共点，且与 x 轴和 y 轴分别交于点M，N，当OMN 面积取最小值时，求此时直线 的方程【答案】 （1） （2） 或 【解析】【分析】(1)由 和 是椭圆的两个焦点，且点 在椭圆 C 上，求出 a,b，即可得出椭圆方程；(2)联立直线 和椭圆方程可得 ,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件即可求出结果.【详解】 （1） 和 是椭圆 的两个焦点，且点 在椭圆 C上，依题意， ，又 ，故 由 得 b2=3故所求椭圆 C 的方程为 （2）由 ，消 y 得 ，由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知，整理得 由条件可得 ， ， 所以 将 代入，得 因为 ，所以 ，当且仅当 ，则 ，即 时等号成立， 有最小值 因为 ，所以 ，又 ，解得 故所求直线方程为 或 【点睛】本题主要考查椭圆方程以及椭圆的简单性质，属于中档试题.
