1、河南省郑州市 2018-2019 学年上期期末考试高二数学（理）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知命题 那么 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可写出答案.【详解】命题则 为故选：B【点睛】本题考全称命题的否定形式，属于简单题.2.已知数列 是等比数列，若 则 的值为（ ）A. 4 B. 4 或-4 C. 2 D. 2 或-2【答案】A【解析】【分析】设数列 an的公比为 q，由等比数列通项公式可得 q416，由 a3
2、 a1q2，计算可得【详解】因故选：A【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，属于简单题3.已知 是实数，下列命题结论正确的是（ ）A. “ ”是“ ”的充分条件 B. ”是“ ”的必要条件C. “ac2 bc2”是“ ”的充分条件 D. ” 是“ ”的充要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【详解】对于 ，当 时，满足 ，但是 ，所以充分性不成立；对于 ，当 时，满足 ，但是 ，所以必要性不成立；对于 ，当 时， 成立，但是 ，所以充分性不成立，当 时，满足 ，但是 ，所以必要性也不成立，故“ ” 是“ ”的既不充分也不必要条件，故
3、选：C【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件，必要条件的判断，属于基础题4.已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为 ，由渐近线与直线 垂直，得 的值，从而得到离心率.【详解】由于双曲线的一条渐近线与直线 垂直，所以双曲线一条渐近线的斜率为 ，又双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，双曲线的离心率 .故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率，以及垂直直线斜率的关系.5.若等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由 得 ，再由等差数列的性
4、质即可得到结果.【详解】因为 为等差数列，所以 ，解得 ，故 .故选:C【点睛】本题主要考查等差数列的前 项和公式，以及等差数列性质 （其中m+n=p+q）的应用.6. 的内角 的对边分别为 ， ， , 则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由二倍角公式得到 cosB,然后由余弦定理可得 b 值.【详解】因为 ，所以由余弦定理 ，所以故选：D【点睛】本题考查余弦二倍角公式和余弦定理的应用，属于简单题.7.椭圆 与曲线 的（ ）A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 准线相同【答案】A【解析】【分析】分析两个曲线的方程，分别求出对应的 a,b,c 即可得
5、答案.【详解】因为椭圆方程为 ，所以 ,焦点在 x 轴上,曲线 ,因为 ，所以 ,曲线方程可写为, ,所以曲线为焦点在 y 轴上的椭圆，,所以焦距相等.故选：A【点睛】本题考查椭圆标准方程及椭圆简单的几何性质的应用，属于基础题.8.在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A 1B1C1D1中,AB=AD=AA 1=1,，则 的长为（ ）A. B. 6 C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间向量可得 ，两边平方即可得出答案【详解】 AB AD AA11， BAD BAA1 DAA160， ， ， 6， |= 故选：C【点睛】本题考查平行四面形法则、向量数量积运算性质、模的计算公
6、式，考查了推理能力与计算能力.9.已知 不等式 的解集是 ，若对于任意 ，不等式恒成立，则 t 的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由不等式的解集是 ，可得 b、 c 的值,代入不等式 f（ x）+ t4 后变量分离得t2 x24 x2， x1，0，设 g（ x）2 x24 x2，求 g(x)在区间1，0上的最小值可得答案【详解】由不等式 的解集是 可知-1 和 3 是方程 的根，,解得 b=4，c=6, ,不等式 化为 ，令 g（ x）2 x24 x2， ，由二次函数图像的性质可知 g(x)在 上单调递减，则 g（ x）的最小值为 g(0)=-2，故选：B【点睛
7、】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式的恒成立问题，常用方法是变量分离，转为求函数最值问题.10.在 中，角 所对的边分别为 ， 表示 的面积，若，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 sinA1，即 A90 0，由余弦定理、三角形面积公式可求角 C，从而得到 B 的值【详解】由正弦定理及 得,因为 ，所以 ；由余弦定理、三角形面积公式及 ，得 ,整理得 ，又 ,所以 ,故 .故选：D【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题11.已知 均为
8、正实数，若 与 的等差中项为 2，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由等差中项和基本不等式得到 ，又 ，画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可【详解】由题 当且仅当 时“ ”成立，此时 ；又 ，作出可行域如图，目标函数 z x+2y 可化为 y- + ，即斜率为- ，截距为 的动直线，数形结合可知，当动直线过点 O 时，纵截距 z 最小，即 z 最小，过点 A（0,2）时，纵截距最大，即 z 最大，故 的取值范围为 .故选：B【点睛】本题结合等差中项考查基本不等式及线性规划问题,线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步
9、骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.12.已知抛物线 ,其准线与 轴的交点为 ,过焦点 的弦交抛物线于 两点,且,则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过点 A 分别作 x 轴和准线的垂线,利用抛物线的定义可将 转为 ，即可得到，同理可得 ，然后利用 计算即可得到答案.【详解】如图所示,过点 A 分别作 x 轴和准线的垂线,垂足分别为 H,A1.根据题意,知 ,故 .同理可得故 .故选:C
10、【点睛】本题考查抛物线方程,定义等知识点,考查数形结合思想,转化化归思想的应用.本题亦可采用代数法,求出 坐标再用向量法解决.第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。13.某船在行驶过程中开始看见灯塔在南偏东 方向，后来船沿南偏东 的方向航行 15 海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是_海里。【答案】【解析】【分析】以 O 点为原点建立直角坐标系，利用方向坐标和直角三角形的边角关系，即可求解船与灯塔的距离，得到答案.【详解】以 O 点为原点建立直角坐标系，如图所示，设南偏东 方向为射线 OM，船沿南偏东 方向航行 15 海里
11、后到达 A 点，过点 A 作 轴平行线，角 于点 D，角 OM 于 B 点，则 ,所以 ，又 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 海里.【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，解三角形实际问题或多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：求结果.14.已知数列 的首项为 ， 为等差数列，且 ，若 ， ，则 _。【答案】【解析】【分析】先根据 为等差数列， 和
12、的值，求解出 ，再利用累加法求解 .【详解】因为 为等差数列， ， ，设公差为 ，所以 ，解得 ，所以 ，故 ，又 故答案为：-3【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，考查利用累加法求通项，属于基础题.15.函数 的最小值是_.【答案】【解析】【分析】将代数式 sin2x+cos2x 与函数 f（ x）的解析式相乘，展开后利用基本不等式可求出 f（ x）的最小值【详解】注意到 ，且，当且仅当 时“ ”成立，此时 ， 满足题意，故 的最小值为 .故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，属于基础题16.已知点 的坐标分别是 ,直线 相交于点 ,且它
13、们的斜率分别为 ,下列命题是真命题的有_.(只填写序号)若 ,则 的轨迹是椭圆(除去两个点)若 ,则 的轨迹是抛物线(除去两个点)若 ,则 的轨迹是双曲线(除去两个点)若 ,则 的轨迹是一条直线(除去一点)【答案】【解析】【分析】设点 ，根据条件写出直线 AM 和直线 BM 的方程并联立消参，得到点 M 的轨迹方程，逐个判断检验即可.【详解】交轨法不妨设点不妨设 则有 ,消去参数 ,得所以错不妨设 则有 ,消去参数 ,得所以错 ,整理得 所以对 ,整理得 所以对【点睛】本题考查利用交轨法求动点的轨迹方程，属于基础题.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答题应写文字说明、证明过程或
14、演算步骤。17.已知 , .（1）若 ，命题“ ”为真，求实数 的取值范围；（2）若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1） 为真的对立事件为两个都为假，计算 p 和 q 都为假命题时 x 的范围，然后取补集即可；（2）根据必要不充分条件与集合包含关系进行转化求解即可【详解】 （1） 时， ,为真时， ， 两个命题一真一假或两个都为真，其对立事件为两个都为假，当 假且 假时 ,即 ，所以 为真时 ,即 x 的取值范围为（2）若 是 的必要不充分条件，则 的解集 的解集 时，即 时，满足题意 时，当 时 , ,因为 ,所以 。当 时 , ,因为
15、,所以 。所以综上，实数 的取值范围为【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键18.已知数列 的前 项和为（I）求数列 的通项公式；（II）若 ，求数列 的前 项和 。【答案】 （I） （II）【解析】【分析】（1）由 ， 时 即可得数列 的通项公式；（2）写出数列 的通项公式，利用裂项相消求和法求和即可.【详解】 （1）当 时， ；又当 时， ，不满足上式. .（2）当 时， ；当 时， ，满足上式； .【点睛】本题考查 与 的关系 ，一定要验证 的情况；考查裂项相消求和方法的应用.19.在 中， 分别为内角 所对的边，且满足
16、 ,（I）求 C 的大小；（II）现给出三个条件： ; ; .试从中选择两个可以确定 的条件，写出你的选择并以此为依据求 的面积 S.（只写出一种情况即可）【答案】 （） （）详见解析【解析】【分析】（）由两角和的正弦函数公式化简已知等式可得 ，结合角 C 范围可得 C值 （）方案一：选条件和，由余弦定理可求 b， a 的值，根据三角形面积公式即可计算得解；方案二：选条件和，由正弦定理得 ，根据两角和的正弦公式可求 sinA 值，根据三角形面积公式即可计算得解若选条件和，可得 sinA1，这样的三角形不存在【详解】解：（）依题意得： ，即 ， ， ， ， ；（）方案一：选条件和，由余弦定理 ，
17、有 ，则 ， ，所以 方案二：选条件和，由正弦定理 ，得 ， ， ， 点评：考察解三角形知识，正弦定理余弦定理的应用，属于常规题型，难度中等。【点睛】本题主要考察解三角形知识，正弦定理余弦定理的应用，属于常规题型，难度中等20.2018 年是中国改革开放 40 周年，改革开放 40 年来,从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进人新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌,40 年来我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设，郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护，若市财政下拨一项专款100 百万元，分别用于植绿护绿和处
18、理污染两个生态维护项目,植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x（单位：百万元）的函数 M(x（单位：百万元）： ，处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金 x（单位：百万元）的函数 N(x） （单位：百万元）： .（）设分配给植绿护绿项目的资金为 x（百万元） ，则两个生态项目五年内带来的收益总和为 y，写出 y 关于 x 的函数解析式和定义域。（）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出 y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？【答案】 （） ； （） 的最大值为 52（百万元） ，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金
19、为 40（百万元） ，60（百万元）.【解析】【分析】（）由题意可得处理污染项目投放资金为 百万元，得到 ，进而可得函数的解析式； （）由（）可化简的函数的解析式为 ，利用基本不等式，即可求解最大值.【详解】 （）由题意可得处理污染项目投放资金为 百万元，所以 ， （）由（）可得， ， ，当且仅当此时 的最大值为 52（百万元） ，分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为 40（百万元），60（百万元）.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值的应用，其中解答中认真审题，正确求解函数的解析式，合理构造利用基本不等式求解函数的最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解
20、答问题的能力.21.如图，四棱锥 中，底面 是梯形，且 ， , , , .（1）求证：平面 平面 ;（2）若 ,求二面角 的余弦值.【答案】 （1）详见解析（2）【解析】【分析】(1) 取 中点 ，连接 、 、 ，证明 和 可得 平面（2）以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，求平面 ASD 和平面 SDC 的法向量，利用向量的夹角公式计算即可.【详解】解：（1）取 中点 ，连接 、 、 ，在直角梯形 中， ， ， ， ， ； ，又 为等边三角形 ， ， ， 平面 平面 ，平面 平面 （2） ， 由（1）知，平面 平面 ， 平面 ，直线 两两垂直以 为原点建立空间直角坐标系 ，如图，则 设平面
21、 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 ，设平面 的法向量为 ，由 ，得 ，取 ，得 ， ，由图可知二面角 为钝二面角，二面角 的余弦值为 【点睛】本题考查面面垂直判定定理的应用，考查利用空间向量求二面角问题，考查空间想象能力和计算能力.22.设椭圆 为左右焦点, 为短轴端点,长轴长为 4,焦距为 ,且 ,的面积为 .()求椭圆 的方程()设动直线 椭圆 有且仅有一个公共点 ,且与直线 相交于点 .试探究:在坐标平面内是否存在定点 ,使得以 为直径的圆恒过点 ?若存在求出点 的坐标,若不存在.请说明理由.【答案】 （1） （2）存在定点 P(1,0)【解析】【分析】（）由椭圆长轴长为 4，焦距为
22、 2c，且 b c， BF1F2的面积为 ，列方程组，求出a， b， c，得椭圆方程 （）将直线 l 方程与椭圆方程联立，由直线与椭圆有且只有一个公共点，求出 M，由 ，得 N（4，4 k+m） 假设存在定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上设 P（ x1，0） ，由 ，得（4 x14） +x124 x1+30，由此可求出满足条件的定点 .【详解】(1)由题意知 ，解得： ，故椭圆 C 的方程是 (2)由 得(4 k23) x28 kmx4 m2120因为动直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M(x0， y0)，所以 m0 且 0，即 64k2m24(4 k23)(4
23、 m212)0，化简得 4k2 m230.(*)此时 x0 ， y0 kx0 m ，所以 M(由 得 N(4,4k m)假设平面内存在定点 P 满足条件，由图形对称性知，点 P 必在 x 轴上设 P(x1,0)，则 对满足(*)式的 m、 k 恒成立因为 ( ， (4 x1,4k m)，由 ，得- 4 x1 x 30，整理，得(4 x14) x 4 x130.(*) 由于(*)式对满足(*)式的 m， k 恒成立，所以 解得 x11.故存在定点 P(1,0)，使得以 MN 为直径的圆恒过点 M.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查是否存在以线段为直线的圆恒过定点的判断与求法，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题
