1、随堂巩固训练(48)1. 中心在原点，一个顶点为 A(3，0) ，离心率为 的双曲线的方程是 1 .43 x29 y27解析：因为双曲线的顶点为 A(3，0) ，所以双曲线的焦点在 x 轴上，所以设双曲线的方程为 1，则 a3.又因为 e ，所以 c4，所以 b ，所以双曲线x2a2 y2b2 43 c2 a2 7的方程为 1.x29 y272. 设点 P 在双曲线 1 上，若 F1， F2 为双曲线的两个焦点，且x29 y216PF1 PF213，则F 1PF2 的周长为 22 .解析：由题意得，a3，b4，c5，PF 2PF 12a，即 2PF16，所以 PF13，所以 PF29，则F 1
2、PF2 的周长PF 1PF 22c931022.3. 若双曲线 1(a0， b0)的离心率为 2，则 .x2a2 y2b2 ba 3解析：因为 e2，且 a2b 2c 2，设 ak，则 c2k，b k，所以 .3ba 34. 已知双曲线 y 21(a0)的一条渐近线为 xy0，则 a .x2a2 3 33解析：因为双曲线的一条渐近线方程为 y x，且 a0，则 ，解得 a .3ba 1a 3 335. 设双曲线 1(a0，b0)的右焦点为 F，右准线 l 与两条渐近线交于 P，Q 两x2a2 y2b2点，如果PQF 是直角三角形，那么双曲线的离心率 e .2解析：由 可得 P ，Q 与 P 关
3、于 x 轴对称，所以 Q .由题意知，y bax，x a2c，) (a2c，abc) (a2c， abc)kPFkQF 1，所以 ab，所以 e .ca 2aa 26. 过双曲线 1(a0，b0)的右焦点 F 作圆 x2y 2a 2 的切线 FM(切点为 M)，x2a2 y2b2交 y 轴于点 P.若 M 为线段 FP 的中点，则双曲线的离心率为 .2解析：因为 OMPF，且 M 为 FP 的中点，所以POF 为等腰直角三角形，即PFO 45，则可令切线 FM 的方程为 xyc，由圆心到切线的距离等于半径，得 a，所以 e .c2 ca 27. 双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为
4、“上、下、左、右”四个x2a2 y2b2区域( 不含边界)，若点(1 ，2) 在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 (1 ， ) .5解析：由题意得双曲线的一条渐近线方程为 y x，因为点(1，2) 在“上”区域内，所ba以 11，则双曲线离心率 e 的取值范围是(1，ba ba ca 1 (ba)2 5).58. 已知 M(x0，y 0)是双曲线 C： y 21 上的一点，F 1，F 2 是双曲线 C 的两个焦点，x22若 0，b0)，则点 F(c， 0)，B(0，b)，则直线 FB 的x2a2 y2b2方程为 bxcy bc 0.因为直线 FB 与渐近线 y x 垂直，所以 1，即
5、b2ac ，所ba bcba以 c2a 2ac，e 2e10，解得 e 或 e (舍去).5 12 1 5211. 已知双曲线 x2 1 的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上一点，求y23 的最小值.PA1 PF2 解析：由题意得 A1(1，0)，F 2(2，0).设 P(x，y)(x 1)，则 ( 1x，y)， (2x，y) ， ( 1x)(2x)PA1 PF2 PA1 PF2 y 2x 2x2y 2x 2x23(x 21) 4x 2x5.因为函数 f(x) 4x2x5 的图象的对称轴为直线 x ，且 x1，18所以当 x1 时， 取得最小值 2.PA1 PF2 12. 已知
6、双曲线 3x2y 23，直线 l 过右焦点 F2，且倾斜角为 45，与双曲线交于A，B 两点，则 A，B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长.解析：将双曲线 3x2y 23 化为 x2 1，y23则 a1，b ，c2.3因为直线 l 过点 F2 且倾斜角为 45，所以直线 l 的方程为 yx2 ，代入双曲线方程，得 2x24x70.设点 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1x2 0，b0)与圆 x2y 25 交于点 P(2，1) ，若过点 P 的圆的切x2a2 y2b2线平行于双曲线的左顶点与虚轴上顶点的连线，求双曲线的方程.解析：因为 1(a0， b0)过点 P(2，1) ，x2a2 y2b2所以 1.(*)4a2 1b2又因为过点 P 的圆的切线平行于双曲线的左顶点与虚轴上顶点的连线且直线 OP 与过点 P 的圆的切线垂直，所以直线 OP 与双曲线的左顶点与虚轴上顶点的连线垂直，所以 2，代入(*)式，解得 a2 ，b 215，ba 154所以双曲线方程为 1.4x215 y215
