1、随堂巩固训练(37)1. 若 x，y 均为正实数，且 x4y1，则 xy 的最大值是_ _116解析：xy x4y ，当且仅当 x4y 时取等号，所以 xy 的最14 14 (x 4y2 )2116 12大值为 .1162. 如果 log3mlog 3n4，那么 mn 的最小值是_18_解析：因为 log3mlog 3n4，所以 log3(mn)4，即 mn3 4.因为 m0，n0，所以mn2 2 18，当且仅当 mn9 时取等号，所以 mn 的最小值为 18.mn 343. 下列各式：a 212a；|x |2； 2；x 2 1.其中正确的个1x a bab 1x2 1数是_2_解析：因为 a
2、22a 1(a 1)20，所以 a212a，错误；当 x0 时， x|x 1x|2(当且仅当 x1 时取“ ”)；当 x0，b0 时， 2，错误；x 2 x 21 11，当且仅当a bab 1x2 1 1x2 1x0 时取“” ，正确4. 在括号里填上和为 1 的两个正数，使得 的值最小，则这两个正数的积1（ ） 9（ ）等于_ _316解析：设所填的两个数分别为 x，y，则 x0，y0，xy1，则 (xy)1x 9y (1x 9y)10 102 16，当且仅当 ，即 x ，y 时取“” ，所以 xy yx 9xy yx9xy yx 9xy 14 34 14 .34 3165. 设 x1，则函
3、数 y 的最小值为_9_（x 5）（x 2）x 1解析：y x1 52 59，当且仅（x 1） 4（x 1） 1x 1 4x 1 （x 1） 4x 1当 x1 ，即 x1 时取“” ，所以 ymin9.4x 16. 已知正数 x，y 满足 x2y2，则 的最小值为_9_x 8yxy解析： (x2y) 9，当且仅当x 8yxy 12 (1y 8x) 12(10 xy 16yx) 12(10 2xy16yx)x4y 时取等号，所以 的最小值为 9.43 x 8yxy7. 若直线 2axby20(a0，b0)被圆 x2y 22x4y10 截得的弦长为 4，则 的最小值是_4_1a 1b解析：圆 x2
4、y 22x4y10，即(x1) 2(y2) 24，圆心( 1，2)，半径为 2.设圆心到直线 2axby20 的距离为 d，则 2 4，解得 d0，即直线经过圆心，所4 d2以2a2b2 0，即 ab 1，所以 2 22 4，当且仅1a 1b a ba a bb ba ab baab当 ab 时等号成立，所以 的最小值为 4.1a 1b8. 已知 f(x)3 2x(k1)3 x2，若对任意 xR，f(x)的值恒为正数，则实数 k 的取值范围是_(，12 )_2解析：设 3xt，则 t2(k1)t20 在 t0 时恒成立 当 0，所以 t20，即 t1t 20，得 2k .因为 4x29y 22
5、 kxy 对一切正4x2 9y2xy数 x，y 恒成立，所以 2k .因为 12，当且仅当(4x2 9y2xy ) min4x2 9y2xy 22x3yxy2x3y 时等号成立，所以 2k12，所以 klog 2122log 23.因为 k 为整数，所以整数 k的最大值为 3.10. 已知正数 x，y 满足 2xy1，且 的最小值是 9，则正数 a 的值为_2_ax 1y解析： (2xy) 2a1 2a12 ( 1) 2，当且仅当ax 1y (ax 1y) 2xy ayx 2a 2a 时取等号，所以( 1) 29，解得 a2.2xy ayx 2a11. 若 a，b 是正常数，a b，x，y(0
6、 ，)，则 ，当且仅当 a2x b2y （a b）2x y ax时取等号利用以上结论，求函数 f(x) 取得最小值时 x 的值by 2x 91 2x(x (0，12)解析：因为 x ，所以 12x(0 ，1)(0，12)因为 ，a2x b2y （a b）2x y所以 f(x) 25，当且仅当 时取等号，222x 321 2x （2 3）22x （1 2x） 22x 31 2x即当 x 时，f(x)取得最小值 25.1512. (1) 已知不等式(xy) 9 对任意正实数 x，y 恒成立，求正实数 a 的最小值；(1x ay)(2) 已知 x0，y0 ，且 x2yxy30，求 xy 的最大值解析：(1) (x y) 1a 1a2 1a2 .(1x ay) yx axy yxaxy a因为不等式(xy) 9 对任意正实数 x，y 恒成立，(1x ay)所以 1a2 9，即( 1) 29，解得 a4，所以正实数 a 的最小值为 4.a a(2) 方法一：由 x2yxy30，可得 y (00，y0 ，所以 x2y2 2 .2xy 2 xy代入 x2yxy30，得 2 xy30，解得 00，则 x2 或 xg(3)， 82 83 173所以 g(x)min ，173所以 x3 ，所以 a ，8x 83 83即实数 a 的取值范围是 ，) 83
