1、遂宁市高中 2017 级第三学期教学水平监测数学（文科）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线 的倾斜角为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解【详解】由直线 x y+30，得其斜率为 k1，设直线的倾斜角为 （0） ，由 tan1，得 故选： A【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2.圆心在 轴上，半径为 1 且过点 的圆的方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设圆心为 C（ a，0） ，
2、由题意可得 1，求得 a 的值，可得要求的圆的方程【详解】圆心在 x 轴上，设圆心为 C（ a，0） ，再根据半径为 1，且过点（2，1） ，可得 1，求得 a2，故要求的圆的方程为 （ x2） 2+y21，故选： B【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标的值，是解题的关键，属于基础题3.根据下图给出的 2011 年至 2016 年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是（ ）A. 逐年比较，2014 年是销售额最多的一年B. 这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）C. 2011 年至 2012 年是销售额增长最快的一年D. 2014 年
3、以来的销售额与年份正相关【答案】D【解析】逐年比较，2014 年销售额为 400，最大，所以是销售额最多的一年；这几年的利润不是逐年提高，如 2015 年利润为负；2011 年至 2012 年销售额增长 140，是增长最快的一年；从柱形图上看， 年以来销售额与年份负相关，D 错误 选 D4.直线 和直线 平行，则实数 的值为A. 3 B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解【详解】直线 l1： ax+3y+30 和直线 l2： x+（ a2） y+10 平行，（1）当 a=2 时，直线 l1： 2x+3y+30，直线 l2： x +10，显然不适合题意；（
4、2）当 a2 时，由 ，解得 a1实数 a 的值为1故选： B【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查分类讨论思想与运算求解能力，是基础题5.已知 是 的重心，现将一粒黄豆随机撒在 内，则黄豆落在 内的概率是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的面积比即可【详解】如图所示，P 是 ABC 的重心，现将一粒黄豆随机撒在 ABC 内，则黄豆落在 PBC 内的概率是：P 故选： B【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需
5、要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.6.已知 是不重合直线， 是不重合平面，则下列命题若 ，则 若 ，则 若 、 ，则 若 ，则 若 ，则 为假命题的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由垂直于同一平面的两平面平行或相交，可判断；由面面平行的判定定理可判断；由平行平面的传递性可判断；由线面垂直和面面垂直的性质可判断；由垂直于同一平面的两直线平行可判断【详解
6、】 m、 n 是不重合直线，、 是不重合平面，对于，若 、，则 或 ， 相交，故错误；对于，若 m、 n、 m、 n，且 m， n 相交，则 ，故错误；对于，若 、，则 ，故正确；对于，若 、 m，则 m 或 m，故错误；对于，若 m、 n，则 m n，故正确故选： D【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题7.不等式组 ，目标函数 的最大值为A. 0 B. 2 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】不等式组 的可行域如图：目标函数 z x+y 经过可行
7、域的 A 时取得最大值，由 ，解得 A（4，1） ，目标函数 z x+y 的最大值为：5故选： C【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合思想是解决本题的关键8.曲线 与曲线 的交点个数为A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】【分析】画出两个函数的图象，即可判断两条曲线交点个数【详解】曲线 y 与曲线 y| x|的图形如图：曲线 y 与曲线 y| x|的交点个数为：2故选： B【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，解题的关键是在同一坐标系中，分别作出函数的图象，属于中档题9.如图，已知三棱柱 的各条棱长都相等，且 底面 ， 是侧棱 的中点，则异面直线
8、和 所成的角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2，构造直角三角形 A2BM，解直角三角形求出 BM，利用勾股定理求出 A2M，从而求解【详解】 设棱长为 a，补正三棱柱 ABC-A2B2C2（如图） 平移 AB1至 A2B，连接 A2M，MBA 2即为 AB1与 BM 所成的角，在A 2BM 中， 故选：A【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何
9、体为三棱锥 P ABC，底面三角形 ABC 为等腰直角三角形，AB BC2，侧面三角形 PAB 与 PBC 全等，侧面三角形 PAC 为等腰三角形， PA PC然后由三角形面积公式求解【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥 P ABC，底面三角形 ABC 为等腰直角三角形， AB BC2，侧面三角形 PAB 与 PBC 全等，侧面三角形 PAC 为等腰三角形， PA PC则该三棱锥的表面积为 S 10+2 故选： B【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题11.已知 的外接圆 经过点 ，且圆心 在直线 上.若 的边长 ,则等于A. B. C. D.
10、 【答案】A【解析】【分析】根据题意，设 M 的坐标为（ x， y） ，半径为 R，结合题意求出圆心的坐标，即可得 R 的值，结合正弦定理可得 2R2 ，变形可得 R 的值，即可得答案【详解】根据题意，设 M 的坐标为（ x， y） ，半径为 R，若圆 M 经过点（0，1） ， （0，3） ，则圆心在直线 y2 上，又由圆心在直线 y x 上，则 x2，则圆心的坐标为（2，2） ，R ，若 ABC 的边长 BC2，则有 2R2 ，变形可得：sin BAC ；故选： A【点睛】本题考查圆的标准方程以及正弦定理的应用，关键是求出圆的方程，属于基础题12.设点 P 是函数 图象上任意一点，点 Q 坐
11、标为 ，当 取得最小值时圆 上至多有 2 个点到直线 的距离为 1，则实数 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析函数 的解析式可得其表示（ x1） 2+y24 的下半部分，由 Q的坐标分析可得点 Q（2 a， a3）在直线 x2 y60 上，据此分析可得当| PQ|取得最小值时， CQ 与直线 x2 y60 垂直， P 为直线 CQ 与圆的交点，此时有 2，解可得 a 的值，即可得圆 C1的方程，求出圆心 C1到直线的距离 d2，结合直线与圆的位置关系即可判断出结论【详解】根据题意，函数 ，变形可得（ x1） 2+y24， （ y0） ，为圆（ x1）
12、2+y24 的下半部分，设 C（1，0） ，点 Q（2 a， a3）在直线 x2 y60 上，当| PQ|取得最小值时， CQ 与直线 x2 y60 垂直， P 为直线 CQ 与圆的交点，此时有 2，解可得 a1，则圆 C1的方程为（ x1） 2+y2 r2，圆心 C1到直线直线 的距离 d 2，若圆 上至多有 2 个点到直线 的距离为 1，必有 0 r3；故选： C【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，关键是求出 a 的值，属于基础题二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取 200 名学生进
13、行调查，则抽取的高中生人数为_【答案】40【解析】【分析】利用分层抽样的性质直接求解【详解】某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取 200 名学生进行调查，则抽取的高中生人数为：200 40故答案为： 40【点睛】本题考查抽取的高中生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题14.连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为 6 的概率为_【答案】【解析】【分析】基本事件总数 n6636，再用列举法求出向上的点数之和为 6 包含的基本事件有 5 个，由此能求出向上的点数之和为 6 的概率【详解】连续抛掷两枚骰子，基本事件总数 n6636，向上的点数之和为 6 包含的基
14、本事件有 5 个，分别为：（1，5） ， （5，1） ， （2，4） ， （4，2） ， （3，3） ，向上的点数之和为 6 的概率为 p 故答案为： 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15.棱长为 1 的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球面的表面积为_【答案】【解析】【分析】棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果【详解】棱长为 1 的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，球的半径是 r ，球的表面积是 4 3故答案为：3【点睛】本题考查球内接多面体，注意在立体几何中，球与正方体的
15、关系有三种，这是其中一种，还有球和正方体的面相切，球和正方体的棱相切，注意把三个题目进行比较16.在平面直角坐标系 中，点 ，若在曲线 上存在点使得 ，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据题意，设 P（ x， y） ，分析可得若| PB|2| PA|，则有（ x4） 2+y24（ x1） 2+4y2，变形可得 x2+y24，进而可得 P 的轨迹为以 O 为圆心，半径为 2 的圆；将曲线 C 的方程变形为（ x a） 2+（ y2 a） 29，可得以（ a，2 a）为圆心，半径为 3 的圆；据此分析可得若曲线C 上存在点 P 使得| PB|2| PA|，则圆 C 与圆 x2+y24
16、 有公共点，由圆与圆的位置关系可得32 2+3，解可得 a 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，设 P（ x， y） ，若| PB|2| PA|，即| PB|24| PA|2，则有（ x4） 2+y24（ x1） 2+4y2，变形可得： x2+y24，即 P 的轨迹为以 O 为圆心，半径为 2 的圆，曲线 Cx22 ax+y24 ay+5a290，即（ x a） 2+（ y2 a） 29，则曲线 C 是以（ a，2 a）为圆心，半径为 3 的圆；若曲线 C 上存在点 P 使得| PB|2| PA|，则圆 C 与圆 x2+y24 有公共点，则有 32 2+3，即 1 |a|5，解可得： a
17、或 a ，即 a 的取值范围为： ， ， ；故答案为： ， ， 【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系(2)切线法：根据公切线条数确定三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点.已知 ，.求证：（1）直线 PA 平面 DEF；（2）平面 BDE平面 ABC.【答案】 （1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：(1) 由线面平行的判定定理可知,只须证 PA 与平面 DEF 内的某一条直线平行即可,由已知及图形可知应选择 DE,由三角形的中位线的性质易知: DEPA ,从而问题得证；注意
18、线PA 在平面 DEG 外,而 DE 在平面 DEF 内必须写清楚；(2) 由面面垂直的判定定理可知,只须证两平中的某一直线与另一个平面垂直即可，注意题中已知了线段的长度，那就要注意利用勾股定理的逆定理来证明直线与直线的垂直；通过观察可知：应选择证 DE 垂直平面 ABC 较好,由(1)可知:DEAC,再就只须证 DEEF 即可；这样就能得到 DE平面 ABC，又 DE 平面BDE，从面而有平面 BDE平面 ABC试题解析：(1)因为 D，E 分别为 PC,AC 的中点，所以 DEPA.又因为 PA 平面 DEF，DE 平面 DEF，所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别人棱
19、 PC,AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以DEPA，DE PA3，EF BC4又因为 DF5，故 DF2DE 2+EF2，所以DEF=90 。 ，即 DEEF.又 PAAC，DEPA，所以DEAC.因为 ACEF=E，AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，所以 DE平面 ABC又 DE 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC考点：1.线面平行;2.面面垂直.18.某城市理论预测 2017 年到 2021 年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：年份 0 1 2 3 4人口总数 5 7 8 11 19(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的回归方程 ；(2)据此
20、估计 2022 年该城市人口总数.附： ， .参考数据： ， .【答案】(1) .(2)196.【解析】【试题分析】 （1）先依据数表的数据求出 ， ，再算出 ， .进而求出回归方程为 （2）将 代入 (万)。解：(1)由题中数表，知 ，.所以 ，.所以回归方程为 .(2)当 时， (十万) (万).答：估计 2022 年该城市人口总数约为 196 万.19.已知直线 与直线 交于点（1）求过点 且平行于直线 的直线 的方程；（2）在（1）的条件下，若直线 与圆 交于 A、 B 两点，求直线与圆截得的弦长【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，设直线 l1的方程为 3x+4y
21、+m0，联立两个直线的方程，解可得 P 的坐标，将 P 的坐标代入直线方程，解可得 m 的值，即可得直线 l1的方程；（2）根据题意，分析圆心的坐标和半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得答案【详解】 （1）由 ， 令 ， 将 代入得： (直线表示方式不唯一)（2）圆心 到直线 的距离 ， 所以【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及直线平行的判断，属于基础题20.2017 年“双节”期间，高速公路车辆较多某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速 分成六段： ， ， ，
22、， ， 后得到如图的频率分布直方图（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这 40 辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；（3）若从车速在 的车辆中任抽取 2 辆，求车速在 的车辆至少有一辆的概率【答案】 （1）系统抽样；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）这个抽样是按进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样；（2）选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为 0.5 对应的横轴的左边即为中位数；利用各个小矩形的面积乘以对应矩
23、形的底边的中点的和为数据的平均数；（3）从图中可知，车速在60，65）的车辆数和车速在65，70）的车辆数从车速在（60，70）的车辆中任抽取 2 辆，设车速在60，65）的车辆设为 a， b，车速在65，70）的车辆设为 c， d， e， f，列出各自的基本事件数，从而求出相应的概率即可【详解】 （1）系统抽样 （2）众数的估计值为最高的矩形的中点，即设图中虚线所对应的车速为 ，则中位数的估计值为：，解得即中位数的估计值为 平均数的估计值为：，（3）车速在 的车辆数为：2 车速在 的车辆数为：4设车速在 的车辆为 ，车速在 的车辆为 ，则基本事件有：，共 15 种，其中，车速在 的车辆至少有
24、一辆的事件有： ，共 14 种，所以车速在 的车辆至少有一辆的概率为【点睛】解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和此题把统计和概率结合在一起，比较新颖，也是高考的方向，应引起重视21.如图，在三棱柱 中，点 是 的中点，欲过点 作一截面与平面 平行(I)问应当怎样画线，并说明理由；(II)求所作截面与平面 将三棱柱分成的三部分的体积之比【答案】(I)见解析 (II)1:4:1【解析】试题分析：(I) 在三棱柱 中，点 是 的中点，取 的中点 ，连接 ， ，则平面 平面
25、， 即为应画的线可以证得平面(II) 三棱柱夹在平面 与平面 间的体积为 即得体积比.试题解析：(I)在三棱柱 中，点 是 的中点，取 的中点 ，连接 ， ， ，则平面平面 ， 即为应画的线理由如下：因为 为 的中点， 为 的中点，所以 .又因为 ，所以四边形 为平行四边形，所以 . . . .连接 ，则 平行等于 ，所以 平行等于 ，所以四边形 是平行四边形，所以 . . .又因为 ， ， ,所以平面 .(II)设棱柱的底面积为 ，高为 .则所以三棱柱夹在平面 与平面 间的体积为所作截面与平面 将三棱柱分成的三部分的体积之比为.22.已知线段 AB 的端点 B 的坐标为（3,0） ，端点 A
26、 在圆 上运动；（1）求线段 AB 中点 M 的轨迹方程；（2）过点 C（1,1）的直线 m 与 M 的轨迹交于 G、H 两点，求以弦 GH 为直径的圆的面积最小值及此时直线 m 的方程.（3）若点 C（1,1） ，且 P 在 M 轨迹上运动，求 的取值范围.（O 为坐标原点）【答案】 （1） ；（2）圆的面积最小值 （3）【解析】【分析】（1）设出 A， M 坐标，利用 M 为线段 AB 中点，确定 A， M 坐标之间的关系，根据点 A 在圆上运动，可得线段 AB 中点 M 的轨迹方程；（2）当 时，弦长 最短，从而得到直线 m 的方程；（3）设点 ，则 ，令 ，由直线与圆的位置关系得到 的取值范围.【详解】 （1）解：设点由中点坐标公式有 又点 在圆 上，将 点坐标代入圆方程得：点的轨迹方程为： （2）由题意知，原心到直线的距离 当 即当 时，弦长 最短，此时圆的面积最小，圆的半径 ，面积 又 ，所以直线 斜率 ，又过点故直线 的方程为： （3）设点 ，由于点法一：所以 ，令 有 ，由于点 在圆 上运动，故满足圆的方程.当直线 与圆相切时， 取得最大或最小故有所以 法二： 从而【点睛】本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查最值与范围问题，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题
