1、随堂巩固训练(85)1. 要证明 “ .6 2 5 7 6 2 5 7解析：因为( 2 )( )( )(2 )，( )2(2 )6 2 5 7 6 7 2 5 6 7 2 522 4 0，所以 2 0，所以 2 .42 10 168 160 6 7 2 5 6 2 5 74. 设 x，y 为正数，则(xy) 的最小值为 9 .(1x 4y)解析：x，y 为正数，(xy) 5 52 9，当且仅当 时取等号，(1x 4y) yx 4xy yx4xy yx 4xy故(xy) 的最小值为 9.(1x 4y)5. 已知 AB ，则(1tan A)(1tan B) 2 .4解析：因为 AB ，所以 tan
2、(AB) 1，所以4 tanA tanB1 tanAtanBtanAtanB tanAtanB1，所以(1 tanA)(1tan B)1 tanAtanBtan AtanB2.6. 用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax2bxc0(a 0)有有理数根，则a，b，c 中至少有一个是偶数 . 用反证法证明时，假设的内容是 假设 a，b，c 都不是偶数 .7. 设 abc，nN，且 恒成立， 则 n 的最大值是 4 .1a b 1b c na c解析：根据题意，因为 abc，所以由 得 n(ac) .又1a b 1b c na c ( 1a b 1b c)由(ac )( )(ab) ( bc )1
3、a b 1b c 2 22 22 4，当且仅当 时，取等(1a b 1b c) a bb c b ca b a bb cb ca b a bb c b ca b号.若 n( ac ) 恒成立，则 n4，故 n 的最大值为 4.(1a b 1b c)8. 已知 ， 是两个平面，直线 l 不在平面 内，l 也不在平面 内，设l；l ； ，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为 2 .解析：正确的为和，共 2 个.9. 定义在 R 上的函数 f(x)是偶函数，且 f(x)f (2x )，若 f(x)在区间1，2上是减函数，则函数 f(x) .(填序号)在区间2，1上是增函数，在区间
4、3，4 上是增函数；在区间2，1上是增函数，在区间3，4 上是减函数；在区间2，1上是减函数，在区间3，4 上是增函数；在区间2，1上是减函数，在区间3，4 上是减函数.解析：由 f(x)f(2x )可知函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称.因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)f(x 2)，所以 f(x)为周期为函数且周期为 2，结合函数 f(x)在区间1，2上是减函数，可得函数 f(x)草图，易得正确.10. 已知在四棱锥 SABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，且 SBSD ，SA1.2(1) 求证：SA平面 ABCD；(2) 在棱 SC 上是否存在异于点 S，C 的点 F，
5、使得 BF平面 SAD？若存在，确定点 F的位置；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由已知得 SA2AD 2SD 2，所以 SAAD.同理 SAAB.又 ABADA，AB，AD平面 ABCD，所以 SA平面 ABCD.(2) 假设在棱 SC 上存在异于点 S，C 的点 F，使得 BF平面 SAD.因为 BCAD， AD平面 SAD，BC平面 SAD，所以 BC平面 SAD.又 BCBFB，BC，BF 平面 FBC，所以平面 FBC平面 SAD，这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，所以假设不成立，所以不存在这样的点 F，使得 BF平面 SAD.11. 已知 a，b，c 是互不
6、相等的非零实数，求证：三个关于 x 的方程ax22bxc0，bx 22cx a0，cx 22axb0 中至少有一个方程有两个相异的实根 .解析：假设三个关于 x 的方程中都没有两个相异的实根，则 14b 24ac0， 24c 24ab0， 34a 24bc 0.1 2 32(a 22abb 2b 22bcc 2c 22aca 2)0，即(ab) 2(bc) 2(ca) 2 0.由题意 a，b，c 互不相等，所以上式不成立，所以假设不成立，即三个关于 x 的方程中至少有一个方程有两个相异实根.12. 已知 f(x)ax 3bx 2cxd 是 R 上的函数，其图象交 x 轴于 A，B，C 三点.
7、若点B 的坐标为 (2， 0)，且 f(x)在区间 1，0 和4，5上的单调性相同，在区间 0，2和4，5 上的单调性相反.(1) 求实数 c 的值；(2) 求证：在曲线 yf(x )上不存在点 M，使得曲线在点 M 处的切线与 3bxya0 平行.解析：(1) 因为函数 f(x)在 1，0与0，2 上单调性相反，所以 f(0)0.因为 f(x)3ax 22bxc，所以 c0.(2) 假设存在点 M(x0，y 0)在 yf (x)的图象上，且在 M 处的切线与已知直线平行 .由 f(x0)3ax 2bx 0，20所以 3ax 2bx 03b.20因为 3ax 2bx 03b0 有解，20所以 4b2 36ab4ab 0.(ba 9)令 f(x)3ax 22bx0，解得 x10，x 2 ，2b3a由(1)知 x10 是极值点，所以 x2 也是极值点.2b3a因为函数 f(x)在0，2与4 ，5 上单调性相反，所以 2 4，即6 3，2b3a ba所以 90，4ab0 ，ba所以 4ab 0.(ba 9)因为矛盾，所以假设不成立，所以不存在点 M 满足题意，从而原命题成立，即在曲线 yf(x )上不存在点 M，使得曲线在点 M 处的切线与 3bxya0 平行.
