1、随堂巩固训练(53)1. 若 ，则 0 . AB CD AB DC 解析：因为 ，所以 ，所以 0.AB CD DC AB AB DC AB AB 2. 如图，小正方形的边长为 1，则| | 3 ；| | ；| | 2 . AB 2 CD 26 EF 2解析：| | 3 ； | | ；| | 2 .AB 32 32 2 CD 1 52 26 EF 22 22 23. 给出下列命题： 的长度与 的长度相等；AB BA 若 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；若 与 是共线向量，则点 A、B、C 、D
2、 必在同一条直线上.AB CD 其中，正确的命题是 .(填序号) 解析：因为 的长度是线段 AB 的长度， 的长度是线段 BA 的长度，所以正确；AB BA 若 a 或 b 为零向量，则满足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不一定相同或相反，所以 错误；由相等向量的定义知正确；由共线向量知错误；若 与 是共线向量，AB CD 则 ABCD ，或 A、B 、C 、D 在同一条直线上，所以错误. 4. 已知在边长为 1 的菱形 ABCD 中，BAD60 ，则 | | 1 .AB AC CD 解析：由题意得| | | |.因为四边形 ABCD 是边长为 1 的菱AB AC CD CB CD
3、DB 形，BAD60 ，所以 BD AB1，即| |1.AB AC CD 5. 若点 P 为ABC 的外心，且 ，则ACB 120 . PA PB PC 解析：因为点 P 为ABC 的外心，所以| | | |.由 及向量加法的PA PB PC PA PB PC 平行四边形法则知，四边形 PACB 为菱形，且PAC， PCB 均为正三角形，PCA PCB 60，故 ACB120. 6. 已知平面上四个点 A，B，C，D 满足：( )(2 )0，则AB AC AD BD CD ABC 的形状是 等腰三角形 .解析：2 ( ) ， .由AD BD CD AD DB AD DC AB AC AB AC
4、 CB ( )(2 )0，得 ( )，则 ABC 为等腰三角形.AB AC AD BD CD CB AB AC 7. 已知在OBC 中， (x 1) (x2) ，且 A、B 、C 三点共线，则 x 1 .OA OB OC 解析：因为 A，B，C 三点共线，所以 (x1)(x 2)1，解得 x1.8. 设 O 是ABC 内部一点，且 2 ，则AOB 与AOC 的面积之比OA OC OB 为 12 .解析：设 AC 的中点为 D，所以 2 2 ，所以 O 为中线 BD 的中点，OA OC OB OD 所以AOB，AOD，COD 的面积相等，所以AOB 与AOC 的面积之比为 12.9. 在ABC
5、中，已知 D 是 AB 边上一点， 3 ， ，则 .AD DB CD 14CA CB 34解析：因为 3 ，所以 ( )，所以AD DB AD 34AB 34CB CA ( ) .又因为 ，所以 .CD CA AD CA 34CB CA 14CA 34CB CD 14CA CB 3410. 一直线过ABC 的重心 G，与边 AB，AC 分别交于点 P，Q ，且 m ， n ，则 3 .AP AB AQ AC 1m 1n解析：因为 G 是ABC 的重心，所以 ( ) .又因为 mAG 23 12AB AC 13AB 13AC AP ， n ，所以 .又因为 P，Q，G 三点共线，所以AB AQ
6、AC AG 13AB 13AC 13mAP 13nAQ 1，解得 3.13m 13n 1m 1n11. 设两个非零向量 e1 与 e2 不共线，且 e 1e 2， 2e 18e 2， 3(e 1e 2).AB BC CD (1) 求证：A，B，D 三点共线；(2) 确定实数 k 的值，使得 ke1e 2 和 e1ke 2 共线.解析：(1) 因为 2e 18e 23(e 1e 2)5(e 1e 2)5 ，BD BC CD AB 所以 A，B ，D 三点共线.(2) 若 ke1e 2 和 e1ke 2 共线，则 ke1e 2(e 1ke 2)，即 ke1e 2e 1ke 2，所以 解得 k1.
7、k，k 1，)12. 在ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BCCD，点 O 在线段 CD 上(与点C，D 不重合).若 x (1x) ，求 x 的取值范围 .AO AB AC 解析：如图所示，因为 BCCD，点 O 在线段 CD 上，所以存在实数(0， 1)，使得 ，CO CD 所以 ( ) (1) .AO AC CO AC CD AC BC AC AC AB AB AC 因为 x (1x) ，所以 x.因为 01，所以1x0.AO AB AC 13. 如图所示，在平行四边形 OADB 中， a， b，两条对角线的交点为 C，OA OB 且 ， .BM 23BC CN 23CD
8、 (1) 试用 a，b 表示 ；MN (2) 若| | ，|a| 2，|b| 6，求平行四边形 OADB 的面积.MN 3解析：(1) 因为 ， ， ，MN MC CN BM 23BC CN 23CD 所以 ， ，MC 13BC 16BA CN 13OD 所以 ( ) ( ) a b.MN 16BA 13OD 16OA OB 13OA OB 12OA 16OB 12 16(2) 由(1)得| |2 a2 b2 ab，MN (12a 16b)2 14 136 16因为|a| 2，|b|6，记AOB ，所以| |222cos3，MN 解得 cos ，所以 sin ，12 32所以平行四边形 OADB 的面积为 S26sin12 6 .32 3
