1、2018 年秋期末四川省棠湖中学高一年级期末考试数学试题一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.已知集合 ，集合 ，则下列结论正确的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】运用列举法，化简集合 ，求得交集，即可判断正确结论【详解】则 ，则显然 不对，故选【点睛】本题主要考查了集合的运算以及集合的包含关系判断及应用，属于基础题。2.若 ，且 ，则 是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角【答案】C【解析】，则 的终边在三、四象限； 则 的终边在三、一象限， ，同时满足，则
2、 的终边在三象限。3.下列函数中哪个与函数 相等A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】已知函数的定义域是 R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可【详解】 A函数的定义域为 x|x0，两个函数的定义域不同B函数的定义域为 R， ，所以两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数C函数的定义域为 R， y| x|，对应关系不一致D函数的定义域为 x|x0，两个函数的定义域不同故选： B【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数，属于基础题4.设 则 的值为 （ ）【答案】C【解析】试题分析：因 ,
3、故应选 C考点：分段函数的求值5.若角 的终边过点 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】角 的终边过点 ，则 ，所以 .故选 C.6.下列说法不正确的是（ ）A. 方程 有实根 函数 有零点B. 有两个不同的实根C. 函数 在 上满足 ，则 在 内有零点D. 单调函数若有零点，至多有一个【答案】C【解析】A根据函数零点的定义可知：方程 f（x）=0 有实根函数 y=f（x）有零点，A 正确B方程对应判别式=9-4（-1）6=9+24=330，-x 2+3x+6=0 有两个不同实根，B 正确C根据根的存在性定理可知，函数 y=f（x）必须是连续函数，否则不一定成立，比如函数
4、f(x) 满足条件 f（-1）f（1）0，但 y=f（x）在（-1，1）内没有零点，C 错误D若函数为单调函数，则根据函数单调性的定义和函数零点的定义可知，函数和 x 轴至多有一个交点，单调函数若有零点，则至多有一个，D 正确故选 C7.函数 的部分图像如图所示，则 的值分别是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由图象和函数的周期公式可得 ，代入点的坐标结合角的范围可得 值【详解】由图象可得函数的周期 T 满足 T （ ） ， T， 2， f（ x）2sin（2 x+ ） ，又函数图象经过点（ ，2） ，2sin（ ）2， 2 k ， 2 k ， kZ| | ，当 k0 时，故选
5、： B【点睛】本题考查三角函数的图象和解析式，数形结合是解决问题的关键，属中档题8.若 ，则 A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意： ，据此可得： .本题选择 A 选项.9.已知 ， ，且 均为锐角，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】均为锐角，故选 10.将函数 的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移 个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】将函数 的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到函数的解析式为： ，再向左平移 个单位得到函数为令 ，解得故函数的对称轴为结合选项可得函
6、数图象的一条对称轴为故选点睛：这是一道关于三角函数对称轴以及三角函数平移的题目， 解答本题的关键是掌握三角函数的平移规律。由函数 的图象上各点横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），可得 ，向左平移 个单位可得 ，再由余弦函数的对称性即可解答。11.若实数 满足 ，则 关于 的函数图象的大致形状是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先化简函数的解析式，函数中含有绝对值，故可先去绝对值讨论，结合指数函数的单调性及定义域、对称性，即可选出答案详解： ，f（x）=（ ） |x1|其定义域为 R，当 x1 时，f（x）=（ ） x1 ，因为 0 1，故为减函数，又因为 f（x）的图
7、象关于 x=1 轴对称，对照选项，只有 B 正确故选：B点睛：本题考查指数函数的图象问题、考查识图能力，属于基础题一般给出函数表达式求函数图像的问题，可以从函数的定义域入手，值域入手，检验式子和图像是否一致，也可以考查函数的对称性和特殊点.12.定义域为 R 的偶函数 满足对任意的 ，有 且当 时，若函数 在 上恰有六个零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令 ，则 ，所以 ，所以 ，即函数的周期为 ，由此可画出函数 和 的图像如下图所示.由图可知 ，故 .点睛:本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查利用函数的奇偶性与周期性来画函数图像的方法，考查了数形结合
8、的数学思想方法.由于题目一开始给定函数为偶函数，且给出函数一个表达式，根据这个表达式，利用赋值法，可求得函数的周期，在根据题目给定区间函数的解析式，画出函数图像，根据图像来求 的取值范围.第卷（非选择题 共 90 分）二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.函数 的最大值为_【答案】 3；【解析】试题分析：由题 ， ，则最大值为 3.考点：三角函数的性质及最值问题.14.已知函数 在区间 上是单调函数，则实数 的取值范围为_ .【答案】【解析】【分析】对称轴为 x= ，函数 f（x）=2x 2kx+1 在区间1，3上是单调函数，得 1，或 3 求解即可【详解】函数 f
9、（x）=2x 2kx+1对称轴为 x= ，函数 f（x）=2x 2kx+1 在区间1，3上是单调函数， 1 或 3，即 k4 或 k12，故答案为：（，412，+） 【点睛】本题考查了二次函数的单调性，对称性，难度不大，属于容易题，关键是确定对称轴15.燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度 与耗氧量之间满足函数关系 .若两岁燕子耗氧量达倒 个单位时，其飞行速度为 ，则两岁燕子飞行速度为 时，耗氧量达到_单位【答案】320【解析】因为 ，因此 16.关于函数 有以下四个命题：对于任意的 ，都有 ； 函数 是偶函数；若 为一个非零有理数，则 对任意 恒成立；在 图象
10、上存在三个点 ， ， ，使得 为等边三角形其中正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】根据函数的对应法则，可得不论 x 是有理数还是无理数，均有 f（ f（ x） ）1；根据函数奇偶性的定义，可得 f（ x）是偶函数；根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质可判断；取 x1 ， x20， x3 ，可得 A（ ，0） ， B（0，1） ， C（ ，0） ，三点恰好构成等边三角形，即可判断【详解】当 x 为有理数时， f（ x）1；当 x 为无理数时， f（ x）0，当 x 为有理数时， f（ f（ x） ） f（1）1；当 x 为无理数时， f（ f（ x） ） f（0）1，即不论 x 是有
11、理数还是无理数，均有 f（ f（ x） ）1，故正确；有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，对任意 xR，都有 f（ x） f（ x） ， f（ x）为偶函数，故正确； 由于非零有理数 T，若 x 是有理数，则 x+T 是有理数；若 x 是无理数，则 x+T 是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f（ x+T） f（ x）对 xR 恒成立，故正确； 取 x1 ， x20， x3 ，可得 f（ x1）0， f（ x2）1， f（ x3）0， A（ ，0） ， B（0，1） ， C（ ，0） ，恰好 ABC 为等边三角形，故正确故答案为：【点睛】本题给出特殊函数表达
12、式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17.（1）计算（2）已知 ，求 的值。【答案】 （1）4; (2)-1.【解析】试题分析：（1）利用指数和对数运算公式，可求得值为 .（2）已知条件可化为 ，要求解的式子上下同时除以 ，可转化为只有 的式子，由此求得值为 .试题解析：（1）原式=2+1+1=4(2)解法一：= = -1解法二：= =-118.已知下表为“五点法”绘制函数 图象时的五个关键点的坐标(其中).0 2 0 0() 请写出函数 的最小正周期和解
13、析式；() 求函数 的单调递增区间；() 求函数 在区间 上的取值范围.【答案】 （I）最小正周期为 ， ；（II） ；（III）.【解析】【分析】（）由函数的图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得函数 f（ x）的解析式，从而求得它的周期（）利用正弦函数的单调性，求得函数 f（ x）的单调递增区间（）利用正弦函数的定义域和性质，求得函数 f（ x）在区间0， 上的取值范围【详解】(I) , 即 , 所以 .又 , ,将 代入 , 有 ，即 .因为 所以 ，因此 ，即 .故 . (II)因为函数 的单调增区间为 ，所以令 ，即 ，解得 ，所以 的增区间为 . ()因
14、为 ，所以有 ，所以当 即 时 ，函数 取得最大值 ，当当 即 时， 函数 取得最小值 ，所以函数 在 上的取值范围为【点睛】本题主要考查由函数 y Asin（ x+ ）的部分图象求解析式，由函数图象的顶点坐标求出 A，由周期求出 ，由五点中的点求出 的值；考查了正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题19.已知定义域为 的单调减函数 是奇函数，当 时， .（）求 的值；（）求 的解析式；（）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （I） ；（II） ；（III） .【解析】【分析】（）利用定义域为 R 的函数 f（ x）是奇函数，求 f（0）的值；（）求出 x0 的解析
15、式，即可求 f（ x）的解析式；（）若对任意的 tR，不等式 f（ t22 t）+ f（2 t2 k）0 恒成立， f（ x）在 R 上是减函数，所以 t22 t k2 t2即 3t22 t k0 对任意 tR 恒成立，利用判别式小于 0 即可求实数 k 的取值范围【详解】 （）因为定义域为 的函数 是奇函数，所以 . （）因为当 时， ，所以 .又因为函数 是奇函数，所以 .所以 . 综上， （）由 得 .因为 是奇函数， 所以 .又 在 上是减函数，所以 . 即 对任意 恒成立.令 ，则 .由 ，解得 . 故实数 的取值范围为 【点睛】本题考查函数的解析式，考查不等式恒成立问题的解法，注意
16、运用单调性和参数分离，以及函数的最值的求法，属于中档题20.据市场调查发现，某种产品在投放市场的 30 天中，其销售价格 （元）和时间 （天）的关系如图所示（1）求销售价格 （元）和时间 （天）的函数关系式；（2）若日销售量 （件）与时间 （天）的函数关系式是 ,问该产品投放市场第几天时，日销售额 （元）最高，且最高为多少元？【答案】 （） ；（）在第 10 天时，日销售额最大，最大值为 900 元【解析】试题分析：（）通过讨论 t 的范围，求出函数的表达式即可；（）先求出函数的表达式，通过讨论 t 的范围，求出函数的最大值即可解：（）当 0t20，tN 时，设 P=at+b，将（0，20）
17、， （20，40）代入，得 解得所以 P=t+20（0t20，tN） 当 20t30，tN 时，设 P=at+b，将（20，40） ， （30，30）代入，解得所以 P=t+60（20t30，tN） ， ）综上所述（）依题意，有 y=PQ，得化简得整理得当 0t20，tN 时，由 y=（t10） 2+900 可得，当 t=10 时，y 有最大值 900 元当 20t30，tN 时，由 y=（t50） 2100 可得，当 t=20 时，y 有最大值 800 元因为 900800，所以在第 10 天时，日销售额最大，最大值为 900 元考点：函数解析式的求解及常用方法21.已知 ，若 在 上的最大
18、值为 ，最小值为 ，令.（1）求 的函数表达式；（2）判断函数 的单调性，并求出 的最小值.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】解：(1) 函数 的对称轴为直线 , 而 在 上 2 分当 时，即 时，当 2 时，即 时，7 分(2). 10 分22.已知函数 ，对于任意的 ，都有 , 当 时， ，且.( I ) 求 的值； (II) 当 时，求函数 的最大值和最小值；(III) 设函数 ，判断函数 g(x)最多有几个零点，并求出此时实数 m 的取值范围.【答案】 （I） ；（II） ；（III）当 时，函数最多有 个零点.【解析】【分析】（）根据条件，取特殊值求解；（）根据定义，判断函
19、数的单调性，进而求出函数的最值；（）根据定义，判断函数为奇函数，得出 g（ x） f（ x22| x| m） ，令 g（ x）0 即f（ x22| x| m）0 f（0） ，根据单调性可得 x22| x| m0，根据二次函数的性质可知最多有 4 个零点，且 m（1，0） 【详解】 （I）令 得 ，得 . 令 得 ， 令 得 (II)任取 且 ，则 ，因为 ，即 ，令 则 . 由已知 时， 且 ，则 ，所以 ， ，所以函数 在 R 上是减函数， 故 在 单调递减.所以 ，又 ， 由 ，得 ，故 . (III) 令 代入 ，得 ，所以 ，故 为奇函数. =，令 ,即 ，因为函数 在 R 上是减函数， 所以 ，即 ， 所以当 时，函数 最多有 4 个零点.【点睛】本题考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，关键是利用函数的性质及赋值法解决问题，属于难题
