1、随堂巩固训练(66)1. 如图所示的三角形数阵，根据图中的规律，第 n 行(n2)的第2 个数是 .n2 n 22解析：设第 n 行的第 2 个数为 an，不难得出规律，a3a 22，a 4 a33，a na n1 n1，累加得 an . n2 n 222. 同样载质量的若干辆汽车运送一批货物，若同时投入运送，24 小时可以全部送完这批货；若每隔相同的时间投入一辆车，而且每辆车投入运送后要工作到全部货物运完，已知最后所有的车辆都投入了运送，且第一辆车工作的时间是最后一辆车的 5 倍，这种运送方式持续的时间共为 40 小时.解析：每辆车隔相同的时间投入使用，那么它们的工作时间 t1，t 2，t
2、n 构成了一个等差数列，且有 t15t n.因为全部同时投入运送时，24 小时运完，那么每辆车的工作效率为，所以有 t1 t2 tn1.由上面的分析可知 124n 124n 124n 124n t1 5tn，124n（t1 t2 tn） 1，)即 得 t140，所以这种运送方式共持续了 40 小时.t1 5tn，124nt1 tn2 n 1，)3. 为了保护某处珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙，设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层依此类推，到第十层恰好将大理石用完，共需大理石 2 046 块
3、.解析：设共用去大理石 x 块，则各层用大理石块数分别为：第一层： 1 ；第二层： 1 ；第三层： 1x2 x 22 x x 222 x 24 x x 22 x 242；第十层： 1 ，组成首项为 ，公比为 ，项x 28 x x 22 x 24 x 2292 x 2210 x 22 12数为 10 的等比数列，所以 x ，解得 x2 046.x 22 x 24 x 22104. 1991 年，某内河可供船只航行的河段长 1 000 千米，但由于水资源的过度使用，造成河水断流，从 1992 年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的三分之二，则到 2000 年，该内河可行驶的河段长度为 1
4、 000 千米.(23)9解析：设 a11 000，a n ，则数列a n为等比数列，a n1 000 ，所以到2an 13 (23)n 12000 年，该内河可行驶的河段长度为 a101 000 千米.(23)95. 一位个体户在一月初向银行贷款 10 万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的 20%，每月需交所得税为该月所得金额 (含利润 )的 10%，每月生活费和其他开支为 3 000 元，余额作为资金全部投入再营业.如此继续，到这一年底，这位个体户还清银行贷款后，纯收入一共还有 69 886 元.(银行贷款的年利率为 25%，精确到 1 元)解析：设第 n 个月底余额为 an
5、，由于 a1(120%)10 5(120%)10510%310 31.05 105，a n1 a n(120%) a n(120%)10% 31031.08a n310 3，则 an1 3.7510 41.08(a n3.7510 4).设 an3.7510 4b n，b 16.7510 4，则数列b n为等比数列，所以bnb 11.08n1 ，a n6.7510 41.08n1 3.7510 4，a 121.948 86105，还贷后纯收入为 a1210 5(125%) 69 886(元).6. 某职工年初向银行贷款 2 万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为 10%，按
6、复利计算，若这笔贷款要求 10 次等额还清，每年一次，10 年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，则每年应还 3 255 元.( 精确到 1 元)解析：设贷款利率为 r，贷款金额为 A 元，每年等额归还 x 元，第 n 年还清，所以贷款 A 元，到第 n 年连本带利应还 A(1r) n 元，则有数列模型：(1r) nAx(1r)n1 (1 r) n2 (1r) 1，即(1r) nAx ，于是 x .将（1 r）n 1r Ar（1 r）n（1 r）n 1r0.1， A20 000，n10 代入得 x ，所以 x3 255 元，故每次20 0000.11.1101.110 1应还 3 255 元.
7、7. 某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 平方米，若该城市每年人口平均增长率为 1%，每年平均新增住房面积为 30 万平方米，则 2000 年底该城市人均住房面积为 5.48 平方米.(精确到 0.01)解析：1991 年、1992 年、2000 年住房面积总数成等差数列a n，a165003 000，d30，a103 0009303 270.1991 年、1992 年、2000 年人口数成等比数列b n，b1500， q1.01，b 105001.01 9546.8，所以 2000 年底该城市人均住房面积为 5.98 平方米.3 270546.88. 如图所示是毕达
8、哥拉斯的生长程序：正方形上连结等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连结正方形，如此继续，若共得到 1 023 个正方形，设初始正方形的边长为 ，则最小的正方22形的边长为 .132解析：由题意得正方形的边长构成以 为首项，以 为公比的22 22等比数列，共得到 1 023 个正方形，则有 122 n1 1 023，n10，所以最小的正方形的边长为 .22 ( 22)10 11329. 从盛有盐的质量分数为 20%的 2kg 盐水的容器中倒出 1kg 盐水，然后加入 1kg 水，以后每次都倒出 1kg 盐水，然后再加入 1kg 水，(1) 第 5 次倒出的 1kg 盐水中含盐多少千克？(2) 经
9、 6 次倒出后，一共倒出多少千克盐？此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解析：(1) 由题意得每次倒出的盐的质量所成的数列为a n，则 a10.2，a 2 0.2，a 3 0.2.12 (12)2所以 an 0.2，(12)n 1a5 0.2 0.20.012 5(kg).(12)5 1(12)4(2) 由(1)得数列a n是等比数列，且 a10.2，q ，12所以 S6 0.393 75(kg).a1（1 q6）1 q0.2(1 126)1 12经过 6 次倒出后，还剩盐 0.40.393 750.006 25(kg)，此时加 1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为 0.00
10、6 2520.312 5%.10. 某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术改造，预测从今年(2004 年) 起每年比上一年纯利润减少 20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年( 今年为第一年)的利润为 500 万元(n 为正整数).(1 12n)(1) 设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An 万元，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万元(需扣除技术改造资金)，求 An、B n 的表达式；(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过
11、多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解析：(1) 依题设，A n(50020) (50040)(50020n)490n10n 2；Bn500 600500n 100.(1 12) (1 122) (1 12n) 5002n(2) BnA n (490n 10n 2)10n 210n 10010n(n1) (500n 5002n 100) 5002n10. 502n易得函数 yx(x1) 10 在区间(0，) 上为增函数，502x当 1n3 时，n(n1) 1012 100，502n 5016所以当且仅当 n4 时，B nAn，故至少经过 4 年，该企业进行技术改造
12、后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 11. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元.(1) 用 d 表示 a1，a 2，并写出 an1 与 an 的关系式；(2) 若公司希望经过 m(m3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).解析：(1) 由题意得 a12 000
13、(150%) d3 000d，a2a 1(150%)d a1d4 500 d，32 52an1 a n(150%)d and.32(2) 由(1)知 an an1 d(n 2)，32即 an2d (an1 2d)，32所以a n2d是以 3 0003d 为首项， 为公比的等比数列，则 an(3 320003d) 2d.(32)n 1由题意 am (3 0003d)2d4 000，(32)m 1解得 d ，1 000（3m 2m 1）3m 2m故该企业每年上缴资金 d 的值为 时，经过 m(m3) 年企业的剩余资1 000（3m 2m 1）3m 2m金为 4 000 万元.12. 商学院为推进后
14、勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向中国建设银行贷款 500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳 1 000 人的学生公寓，工程于 2002 年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费偿还中国建设银行贷款形式(年利率 5%，按复利计算)，公寓所收费用除去物业管理费和水电费 18 万元，其余部分全部在年底还中国建设银行贷款.(1) 若公寓收费标准定为每个学生每年 800 元，到哪一年可偿还中国建设银行全部贷款？(2) 若公寓管理处要在 2010 年底把贷款全部还清，则每个学生每年的最低收费标准是多少元( 精确到 1 元)？( 参考数据：lg 1.734 30.239 1，lg1.050.02
15、1 2，1.05 81.477 4)解析：(1) 设公寓投入使用后 n 年可偿还全部贷款，则公寓管理处每年收费总额为 1 00080080(万元)，扣除 18 万元，可偿还贷款 62 万元 .依题意有621(15%)(15%) 2 (15%) n1 500(15%) n1 ，化简得 62(1.05n1)251.05 n1 ，所以 1.05n1.734 3.两边取对数整理得n 11.28 ，lg1.734 3lg1.05 0.239 10.021 2所以取 n12(年)，所以到 2014 年底可全部还清贷款.(2) 设每个学生每年的最低收费标准为 x 元，因到 2010 年公寓共使用了 8 年，依题意有 1(1 5%)(15%) 2(1 5%) 7500(15%) 9，(1 000x10 000 18)化简得(0.1x18) 5001.05 9，1.058 11.05 1所以x10 10 10(18 81.2)(18 251.051.0581.058 1 ) (18 251.051.477 41.477 4 1 )992(元 )，故每个学生每年的最低收费标准为 992 元.
