1、随堂巩固训练(64)1. 在数列a n中，若 a12，a n1 a nn1，则数列a n的通项公式 an 1 .n（n 1）2解析：由题意得，当 n2 时，a na 1(a 2a 1)(a 3a 2)(a na n1 )2(2 3n)2 1.又 a12 1，符合上（n 1）（2 n）2 n（n 1）2 1（1 1）2式，因此 an 1.n（n 1）22. 在数列a n中，若 a11，a n an1 (n2) ，则数列a n的通项公式 an .n 1n 1n解析：方法一：因为 an an1 (n2)，所以 an1 an2 ，a 2 a1，累乘n 1n n 2n 1 12得 an1 . 12 23
2、 n 1n 1n方法二：因为an a1 1 . anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a3a2 a2a1 n 1n n 2n 1 n 1n 2 1n3. 在数列a n中，若 an1 2a n3，a 11，则数列a n的通项公式 an 2 n1 3 .解析：由题意得 an1 32(a n3).令 bna n3，则 b1a 134，且 bn 1bn2，所以数列b n是以 4 为首项，2 为公比的等比数列，所以an 1 3an 3bn42 n1 2 n1 ，所以 an2 n1 3.4. 已知数列a n满足 a1 1，a 24，a n2 2a n3a n1 (nN *)，则数列a n的通项
3、公式 an 32 n1 2 .解析：由 an2 2a n3a n1 0，得 an2 a n1 2(a n1 a n)，所以数列a n1 a n是以 a2a 13 为首项，2 为公比的等比数列，所以 an1 a n32 n1 ，当 n2 时，ana n1 32 n2 ，a 3a 232，a 2a 13，将以上各式累加得ana 132 n2 3233(2 n1 1) ，所以 an3 2n1 2(当 n1 时，也满足). 5. 在数列a n中，a 13，a n1 a n ，则数列a n的通项公式 an 4 1n（n 1） 1n.解析：原递推公式可化为 an1 a n ，则1n 1n 1a2a 1 ，
4、a 3a 2 ，a 4a 3 ，a n1 a n2 ，a na n1 11 12 12 13 13 14 1n 2 1n 1 ，逐项相加得 ana 11 ，故 an4 . 1n 1 1n 1n 1n6. 设 Sn 是数列a n的前 n 项和，已知 a11，a nS nSn1 (n2)，则 Sn .1n解析：依题意得 Sn1 S nS n1 Sn(n2) ，整理得 1.又 1，则数1Sn 1Sn 1 1S1 1a1列 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，所以 1(n1)1n，即 Sn . 1Sn 1Sn 1n7. 已知函数 f(x)由下表定义：x 1 2 3 4 5f(x) 4 1 3 5
5、 2若 a15，a n1 f(a n)(n1， 2，) ，则 a2 017 5 .解析：a 2f(a 1)f(5) 2，a 3f(a 2)f(2) 1，a 4f(a 3)f(1)4，a 5f(a 4)f(4)5，可知数列a n是周期为 4 的周期数列，所以 a2 017a 45041 a 15.8. 对于正项数列a n，定义 Hn 为a n的“蕙兰”值，现知na1 2a2 3a3 nan数列a n的“蕙兰 ”值为 Hn ，则数列a n的通项公式为 an 2 .1n 1n解析：由题意得 ，即 a12a 23a 3na nn 2，所以当na1 2a2 3a3 nan 1nn2 时，a 12a 23
6、a 3 (n1)a n1 (n1) 2， 得 nann 2(n1) 22n1，所以 an2 (n2)，当 n 1 时，a 11，也满足此通项公式，所以 an2 . 1n 1n9. 已知数列a n满足 a12，a n1 4a n3n1，nN *，则数列a n的前 n 项和 Sn .4n 13 n（1 n）2解析：因为 an1 4a n3n1，所以 an1 (n1) 4(a nn)，所以4，所以数列 ann 是以 1 为首项，4 为公比的等比数列，所以an 1 （n 1）an nann4 n1 ，所以 an4 n1 n，所以 Sn(4 01) (4 12) (4 n1 n)(4 0 414 n1
7、)(1 2n) . 1（1 4n）1 4 n（1 n）2 4n 13 n（1 n）210. 若数列a n满足 an1 (1) nan2n1，则 an2 a n (1) n(2n1)2n1 .解析：由 an1 ( 1) nan2n1，得 an2 (1) nan1 2n1(1) n(1)n1 an2n1 2n1a n( 1) n(2n1)2n1，即 an2 a n(1) n(2n1)2n1.11. 已知数列a n满足 a11，a n1 2a n1(nN *).(1) 求证：数列a n1是等比数列；(2) 求数列a n的通项公式.解析：(1) 由 an1 2a n1，得 an1 12( an1).又
8、 an10，所以 2，即数列a n1 为等比数列 . an 1 1an 1(2) 由(1)知 an122 n1 2 n，所以 an2 n1.12. 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 Sn2 an(nN *).(2n 1)(1) 求证：数列 是等比数列；ann(2) 设数列S n的前 n 项和为 Tn，求 Tn.解析：(1) 由 a1S 123a 1，得 a1 . 12因为 Sn2 an，(2n 1)所以 Sn1 2 an1 (n2) ，(2n 1 1)于是 anS nS n1 an1 ( 1) an，(2n 1 1) 2n整理得 (n2). ann 12 an 1n 1又 ，所以数
9、列 是首项及公比均为 的等比数列. a11 12 ann 12(2) 由(1)知 ，所以 an ，ann (12)nn2n代入 Sn2 an，得 Sn2 . (2n 1) n 22n设数列 的前 n 项和为 An，n 22n则 An ，32 422 523 n 22n则 An ，两式相减得12 322 423 n 12n n 22n 1An 2 ，12 32 122 123 12n n 22n 1 n 42n 1故 An4 ，n 42n所以 Tn2nA n 2n4.n 42n13. 已知数列a n的前 n 项和 Sn ，且 a11.（n 1）an2(1) 求数列a n的通项公式 an；(2)
10、令 bnln an，是否存在 k(k2，且 kN *)，使得 bk，b k1 ，b k2 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的 k 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1) 方法一：当 n2 时，a nS nS n1 ，即 ，所（n 1）an2 nan 12 ann an 1n 1以 是首项为 1 的常数数列，所以 1，即 ann (nN *). ann a11 ann方法二：同方法一，得(n1)a nna n1 (n2).同理得 nan1 (n1)a n，所以 2nann(a n1 a n1 )，即 2ana n1 a n1 ，所以数列a n成等差数列.又由 a11，得 a2S 2a 1，
11、即 a22，所以公差 d211，所以 an1(n1)n( nN *). 方法三：同方法一，得 (n2) ，anan 1 nn 1所以 an a1 1n，当anan 1 an 1an 2 an 2an 3 a3a2 a2a1 nn 1 n 1n 2 32 21n1 时，a 11，也满足 ann，所以 ann(nN *). (2) 假设存在 k(k2，kN *)，使得 bk，b k1 ，b k2 成等比数列，则 bkbk2 b .2k 1因为 bnln a nln n，所以 bkbk2 ln kln(k2) ln(k1)ln k ln（k 2）2 2ln（k2 2k）2 2ln（k 1）22 22b ，这与 bkbk2 b 矛盾. 2k 1 2k 1故不存在 k(k2，k N *)，使得 bk，b k1 ，b k2 成等比数列.
