1、专题整合深化提升类型一 互斥事件与对立事件的概率及应用【典例】甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 5 个不同的题目.其中,选择题 3 个,判断题 2 个,甲、乙两人各抽一题.(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?【解析】把 3 个选择题记为 x1,x2,x3,2 个判断题记为 p1,p2.总的事件数为 20.“甲抽到选择题 ,乙抽到判断 题” 的情况有:(x 1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共 6 种;“甲抽到判断题,乙抽到 选择题” 的情况有:(p 1,x
2、1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共 6 种;“甲、乙都抽到判断 题”的情况有:(p 1,p2),(p2,p1),共 2 种.(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为 = ,620310“甲抽到判断题,乙抽到 选择题” 的概率为 = ,620310故“甲、乙两人中有一个抽到选择题,另一个抽到判断题” 的概率为 +310= .31035(2)“甲、乙两人都抽到判断 题” 的概率为 = ,故“ 甲、乙两人至少有220110一人抽到选择题”的概率 为 1- = .110910【方法技巧】1.互斥事件与对立事件的概率计算(1)若事件 A1,A2,
3、An 彼此互斥,则 P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An).(2)设事件 A 的对立事件是 ,则 P(A)=1-P( ).A A2.求复杂事件的概率常用的两种方法(1)直接法 :将所求事件转化成彼此互斥的事件的和.(2)间接法 :先求其 对立事件的概率 ,然后再应用公式 P(A)=1-P( )求解.A【变式训练】某服务电话,打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1;响第 2 声时被接的概率是 0.2;响第 3 声时被接的概率是 0.3;响第 4 声时被接的概率是 0.35.(1)打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少?(2)打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少?【解
4、析】(1) 设 事件“ 电话响第 k 声时被接”为 Ak(kN),那么事件 Ak 彼此互斥,设“打 进的电话在响 5 声之前被接” 为事件 A,根据互斥事件概率加法公式,得 P(A)=P(A1A2A3A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95.(2)事件 “打 进的电话响 4 声而不被接”是事件 A“打进的电话在响 5 声之前被接”的 对立事件 ,记为 B.根据对立事件的概率公式,得 P(B)=1-P(A)=1-0.95=0.05.类型二 古典概型【典例】1.一个各面都涂有红色的正方体的体积为 64cm3,将其锯成体积为 1cm3的小正方
5、体,从中任取一块,至少有一面涂有红色的概率为 ,都不涂色的概率为 .2.有四张背面相同的纸牌 A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,小华将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张.(1)用画树状图法(或列表法)表示两次摸牌所有可能出现的结果(纸牌用 A,B,C,D 表示).(2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.【解析】1.由题意知,可锯成 64 个小正方体,其中三面涂色的有 8 个,两面涂色的有 212=24 个,一面涂色的有 46=24 个,各面都不涂色的有8 个.从中任取一个是等可能的,因此,至少有一面涂色的概率为 P1= ,都不涂色的概率为
6、P2= = .24+24+864 78 86418(或 2=178=18)答案: 78182.(1)树 状图 如图所示.列表如下:A B C DA (A,A) (A,B) (A,C) (A,D)B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D)C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D)D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D)(2)摸出两 张 牌面图形都是中心对称图形的纸牌有 4 种情况,即(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率是 = .41614【方法技巧】求解古典概型概率“四步” 法【提醒】在应用公式 P(A)= 时,关键是正确理解基本事件与事件 A 的
7、m关系,求出 n,m.【变式训练】甲乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各出 1 到 5 根手指头,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(1)若用 A 表示和为 6 的事件,求 P(A).(2)现连玩三次,若用 B 表示甲至少赢一次的事件,C 表示乙至少赢两次的事件,试问 B 与 C 是否为互斥事件,为什么?(3)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【解析】(1) 基本事件个数与点集 S=(x,y)|xN,yN,1x5,1y5中的元素一一对应,所以 S 中点的总数为 55=25(个),所以基本事件总数n=25.事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1), 共有 5 个
8、,故 P(A)= = .52515(2)B 与 C 不是互斥事件.因为 B 与 C 可以同时发生,如甲赢一次,乙赢两次时,B,C 同时发生.(3)这种游 戏规则 不公平.由(1) 知和为偶数的基本事件有 13 个:(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),所以甲赢的概率为 ,乙赢的概率为 ,所以这种游戏规则不公平.1325 1225类型三 几何概型【典例】1.已知四边形 ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点 P,则取到的点
9、P 到 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. B.1- C. D.1- 4 4 8 82.甲、乙两艘轮船都要停靠一个不能同时停泊两艘船的泊位,它们可以在一昼夜的任意时刻到达,设甲、乙两艘船停靠泊位的时间分别是3h 和 5h,求有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间的概率. 【解析】1.选 B.如图所示,设取到的点 P 到 O 的距离大于 1为事件 M,则点 P应在阴影部分内,阴影部分的面积为 21- 12=2- ,所以12 2P(M)= =1- .222 42.以甲船到达泊位的时刻 x、乙船到达泊位的时刻 y 为横、纵坐标轴建立直角坐标系,如图所示,由题意可知,0x24 且 0y24.设事件
10、 A=有一艘轮船停靠泊位时必须等待一段时间,事件 B=甲船停靠泊位时必须等待一段时间,事件 C=乙船停靠泊位时必须等待一段时间,则 A=BC,并且事件 B 与 C 是互斥事件,所以P(A)=P(BC)=P(B)+P(C).而甲船停靠泊位时必须等待一段时间需满足条件是 0x-y5,乙船需满足的条件是 0y-x3,点(x,y)的所有可能结果是边长为 24 的正方形,事件 A 的可能结果由图中的阴影部分表示,则 S 正方形 =242=576,S 阴影 =242- (24-3)2- (24-5)2=175,12 12所以由几何概型概率公式得 P(A)= ,175576所以有一艘轮船停靠泊位时等待一段时
11、间的概率为 .175576【方法技巧】几何概型问题的解题方法(1)由于基本事件的个数和结果的无限性,其概率就不能应用 P(A)=求解,因此需转化为几何度量(如长度、面积、体积等)的比值求解.m(2)在解 题时 要准确把握,要把实际问题进行合理转化; 要注意古典概型和几何概型的区别,正确选用几何概型的类型解题.【变式训练】设有一个等边三角形网格,其中每个最小等边三角形的边长都是 4 cm,现用直径等于 2cm 的硬币投掷到此网格上,求硬币3落下后与格线没有公共点的概率.【解题指南】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1 时,硬币落下后与格线没有公共点,在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1
12、的直线,构成小等边三角形,当硬币中心在小等边三角形内时,硬币与三边都没有公共点,所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题.【解析】设 A 表示硬币落下后与格线没有公共点,如图所示,在等边三角形内作小等边三角形,使其三边与原等边三角形三边距离都为 1,则小等边三角形的边长为 4 -2 =2 ,由几何概型概率公式得3 3 3P(A)= = .34(23)234(43)214类型四 概率与统计的综合应用【典例】深夜,一辆出租车被牵涉进一起交通事故,该市有红色与绿色两种颜色的出租车共计 2000 辆,其中绿色出租车和红色出租车分别占整个城市出租车的 85%和 15%.据现场目击
13、证人说,事故现场的出租车是红色的,有关部门对证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为 80%,于是警察就认定红色出租车具有较大的肇事嫌疑.(1)根据目击证人的说法,填写下列信息表,并求红色出租车肇事的概率.证人所说的颜色(正确率 80%)绿色(辆) 红色(辆) 合计(辆)绿色(85%) 1 700红色(15%) 300真实颜色 合计(辆) 2 000(2)试问警察的认定对红色的出租车公平吗?请说明理由.【解析】(1)绿色 (辆) 红色 (辆)1 360 34060 2401 420 580红色出租车肇事的概率为 = .2405801229(2)警察的 认 定对红色出租车不公平,因为红色出租
14、车肇事的概率是 ,而1229绿色(错看成红色) 出租车肇事的概率为 = , ,事实上绿色出340580172912291729租车肇事的可能性更大.【方法技巧】概率与统计的综合应用的关注点在解决综合问题时,要求对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的.【变式训练】豌豆的高矮性的遗传由其一对基因决定,其中决定高茎的基因记为 D,决定矮茎的基因记为 d,第一子代的一对基因为 Dd,若第一子代的基因 D,d 的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率.(只要有基因 D,则茎就是高茎,只有两个基因全是 d 时,才显现矮茎)【解析】由于
15、第一子代的 D,d 基因的遗传是等可能的.可以将各种可能的遗传情形都列举出来,如图所示:D,d 与 D,d 的组合有 4 种:DD,Dd,dD,dd,其中只有一种表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为 =0.75.34【补偿训练】国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话,发现30min 长的磁带上,从开始 30 s 处起,有 10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息.后来发现,这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了,该工作人员声称他完全是无意中按错了键,使从此处起以后的所有内容都被擦掉了.那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大?【解析】记 A 表示按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉,用 表示时间,事件 A 的发生就是在 0 到 min时间段内按错键.所以23A= min,=30min,23P(A)= = = . 2330145
