1、第十章 二元一次方程组 复习教案（一）知识框架设 未 知 数 ,列 方 程 组实 际 问 题 答 案 检 验 数 学 问 题 的 解(二 元 一 次 方 程 组 的 解 )代 入 法加 减 法(消 元 )解方程组数 学 问 题(二 元 一 次 方 程 组 )实 际 问 题（二）重点难点突破回顾与思考1.什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程组？它们在生活中有哪些应用？2.解二元一次方程组有哪些方法？3.利用二元一次方程组解决生活实际问题的关键是什么？重点点拨（一）二元一次方程（组）及其解的概念含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.使一个二元一次方程左右两边的
2、值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数组.含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组我们把二元一次方程组中两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.（二）二元一次方程组的解法1.将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法，称为代入消元法，简称代入法。2.把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法简称加减法。（三）利用二元一次方程组解决
3、生活实际问题利用二元一次方程组解决生活实际问题就是将生活中的实际问题转化为数学问题，即列出二元一次方程组解决实际问题.难点突破（一）解二元一次方程组的基本思想方法了解解二元一次方程组的消元方法，经历从“二元”到“一元”的转化过程，从而体会消元的思想，以及把“未知”转化为“已知” ，把复杂问题转化为简单问题的化归思想。（二）利用二元一次方程组解决生活实际问题能将生活中的实际问题转化为数学问题，即能列出二元一次方程组解决实际问题，其关键是找出题目中蕴涵的相等关系，并建立方程组求解.学习要求（1）要善于挖掘隐含条件，要具有方程的思想意识，在平时的学习中，应该不断积累用方程思想解题的方法。（2）在交流
4、和反思的过程中建立知识体系，体验学习数学的成就感。（3）列二元一次方程组的关键是能正确分析出题目中的等量关系，问题往往与生活实际相贴近，与社会关系的热点问题相联系，请平时注意搜集、观察与分析。整合拓展创新类型之一 二元一次方程（组）及其解的概念问题1. 二元一次方程（组）的概念题 1 若 2x|m|+（m+1）y=3m-1 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m 的取值范围是（ C ） A、m1 B、m=1 C、m=1 D、m=0解析:根据二元一次方程的概念可得|m|=1,且 m+10，所以 m=1,选 C.变式题（学生完成 ） 方程 52xy是二元一次方程，是被污染的 x的系数，请你推断被污
5、染的 x的系数的值可能是（ ）A、不可能是 1 B、不可能是 C、不可能是 1 D、不可能是 2.例 2 下列方程组中，属于二元一次方程组的是 （ ）A、 75xyB、 04312yxC、 3452yxD、 1238yx解析:本题考察对二元一次方程组的概念的理解.答案选 D变式题 写出一个以 7y， 为解的二元一次方程组 7yx.解析:答案有无数种，如 7yx等.学生答案是：2. 二元一次方程（组）的解的含义例 3 适合方程 x+y=5 且 x、y 绝对值都小于 5 的整数解有（ C ）A.2 B. 3 C. 4 D. 5解析: 二元一次方程的解有无数组，本题用简单列举法:绝对值小于 5 的整
6、数有 9 个,分别取 x=4,3,2, 1,0,1,2,3,4;再计算出对应的 y 的值,其中符合条件的解有 4 组.选 C.变式题 1 若 x+y=0,且|x|=2 则 y 的值为（）A 0 B 2 C 2 D 2例 4 已知二元一次方程组 25xy的解是（ B ）A. 16xy B. 1xy C. 32 D. 32x解析:本题有两种解法：一种是将被选答案代入方程组，逐个验证；另一种是解方程组，求出其解.答案选 B变式题 1 以 3yx为解的方程组是（ ）A、 25x B、 014yx C、 1463yx D、 1972yx类型之二 二元一次方程组的解法1. 代入法例 5 解方程组： 238
7、yx， 解析:因为方程组中相同未知数表示同一个量，方程中的 y=2x,所以方程中的 2x 可用 y 代替，这样，方程转化成了关于 y 的一元一次方程. 或将方程中的 y 用 2x 代替，这样，方程转化成了关于 x 的一元一次方程.解：将代入，得 38y 解这个方程，得 2 将 2y代入，得 1x所以，原方程的解为 2y、点评：本题用代入消元法求解，充分体现了将“二元”转化为“一元”的消元思想.变式题 解方程组 31642xy点评：本题运用代入消元法求解，需运用等式的基本性质将方程变形为用含 y 的代数式表示 x 的形式.2.加减法例 6.用加减法解下列方程组（1）解方程组 2038xy （2）
8、解方程组： .235,yx解析:（1）方程组式与式中未知数 y 的系数互为相反数，将式与式相加，可消去其中一个未知数 y,达到消元的目的.（2）观察方程组中两个未知数系数，发现 y 的系数成整倍数关系，则只需将式两边同乘以 2，则两个方程中 y 的系数互为相反数，将两式相加可消去“一元” ， 达到了消元的目的.解：（1）+得 4x=8,解得 x=2,将 x=2 代入得,6+2y=8,解得 y=1，所以原方程组的解是 21xy、（2） 得： 6210xy 得：11x=33,解得 x=3把 x=3 代入得：9-y=5,解得 y=4. 所以原方程组的解是 34xy、点评：第（2）题也可用代入消元法求
9、解.变式题 1 解方程组 23147xy点评：求出方程组的解后，应将答案代入原方程组进行检验，并形成习惯.3. 灵活消元例 7.用适当方法解下列方程组解方程组 .43,62yxyx解析：（1）将原方程组化简后再选择适当的方法求解；（2）观察方程组的特征，可将原方程组的两个方程分别去分母、去括号，转化为二元一次方程组的一般形式，再选用适当的方法求解；也可用整体代入法或加减法解题，也可用“换元法”求解.解：（1） 原方程组可变形为 .132,54yx-得：2x=-6 解得 x=-3,将 x=-3 代入得：-6-3y=1,解得 37y变式题 1 用适当方法解下列方程组（1） 43yx点评：灵活选择适
10、当的方法可简化运算，同时可发展同学们的思维能力，提高解题速度.变式题 2 已知 827yx，则 x 2- y = .点评：代入法和加减法这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元” ，把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化为“已知”的重要数学思想。类型之三 二元一次方程组的综合应用1 .构造二元一次方程组解决问题例 8. 已知|3x + y 2 |+ (2x + 3y + 1) 2= 0 ,求 x、y 的值。解析：绝对值有非负性质（即不是负数） ，完全平方也有非负性质，如果两个非负数相加为 0，那么每一个数必须是 0，于是可得到
11、：3x + y 2 = 0；2x + 3y + 1 = 0.把它们组成方程组，再解方程组即可得到 x、y 的值。解：由绝对值及完全平方的非负性质得 .0132,y即 .132,yx 由得 y = -3x + 2. 把代入，2x + 3 (-3x + 2 )= -1,解得 x = 1,把 x = 1 代入，得 y = -1.所以 x = 1，y = -1。点评：本题是根据两个非负数和为 0，那么这两个数都为 0，把原来的一个等式转化为两个方程，再组合成一个方程组，从而解决问题.这种转化的方法要注意体会.变式题（学生完成） 已知 5 + |x + y -3| + (x 2y ) 2= 5 ,则 （
12、 ）A 21yx B 12x C 1yx D 21yx例 9.已知 4与 5都是方程 y=kx+b 的解，则 k 与 b 的值为（ A ）（A） 21k，b=-4; （B） 21k，b=4; （C） 21，b=4;（D） 21k，b=-4解析：根据题意可得方程组 524bk 解得 21k，b=-4; 因此选 A变式题 1 （学生完成）已知 tsa3与 53at是同类项.则 s+t= .点评：将已知条件转化成解二元一次方程组问题，可解决求值问题.变式题 2 若二元一次方程组 .72,5kyx的解满足方程 5231yx.则 k= .点评：把已知条件转化为能够直接应用的关系，是解题的关键.一般来说，
13、一个相等关系通常只能求出一个未知数的值.要求出两个未知数的值，需要两个相等关系，这一点在今后的学习中逐步能体会到.类型之四 用方程组解决生活实际问题1. 用方程组解决简单实际问题例 11 根据题意列方程组:开学报到时小刚带了新版人民币 50 元和 10 元共 12 张240 元准备交代办费,求小刚携带 50 元和 10 元的人民币各几张?【思路分析】 问题中包含的两个相等关系为：新版人民币 50 元张数+ 10 元张数=12 张；新版人民币 50 元总价值+10 元总价值=240 元解:设小刚带 50 元的人民币 x 张,带 10 的人民币 y 张, 根据题意列方程组得125040xy点评 列
14、二元一次方程组的关键是找出问题中蕴涵的相等关系.变式题 1 小芳买了 35 张贺卡,共花了 50 元钱,其中大贺卡每张 2 元,小贺卡每张 1 元,小芳买大、小贺卡各多少张?【思路分析】设买大贺卡 x 张,小贺卡 y 张,则大贺卡总价值 2x 元,小贺卡总价值 y元，相等关系为：大贺卡张数+小贺卡张数=35 张, 大贺卡总价+小贺卡总价=50 元.解:设买大贺卡 x 张,小贺卡 y 张,根据题意列方程组得 3520xy,解这个方程组得 1520y .答:买大贺卡 15 卡,小贺卡 20 张.点评 理解题意找出相等关系是解决问题的关键.变式题 2 七年级(2)班的一个综合实践活动小组去 A、B
15、两个超市调查去年和今年“五一”节期间的销售情况。下图是调查后小敏与其他两位进行交流的情景，请你根据他们的对话，分别求出 A、B 两个超市今年“五一”节期间的销售额.【思路分析】分析三个同学的对话，从中发现问题中的已知量、未知量及相等关系.点评：本题图文并茂，需认真审题，设间接未知数可使问题简化.2.运用列表法分析问题、解决问题例 12 为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三（2）班计划组织部分同学义务植树 180 棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了 2 棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？【思路分析】本题可通过列表来表示植树
16、活动的有关数量.每人植树棵数 人数 植树总棵数原计划 x y 180实际 x-2 1.5y 180根据每人植树棵数人数=植树总棵数,可列出两个方程.解：设原计划每人植树 x 棵，原计划参加人数为 y 人，则实际参加人数为 1.5y 人.根据题意列方程组得 1805.)2(y将 xy 当成一个整体，把代入得 y=30,则 1.5y=45.答：实际有 45 人参加了这次植树活动.点评：运用整体代入法是解此特殊方程组的关键.变式题 1 甲桶装水 49 升，乙桶装水 56 升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下得水恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲
17、桶容量的 31，求这两个水桶的容量.【思路分析】本题可以通过列表来表示前后两桶水的变化。点评：有些题目中，数量之间的关系不够明显，有时还有变化，为了弄清题意，理顺数量之间的关系，需要通过设计一些表格来帮助我们解题。如本例中，分析时用了较大的篇幅，花了一定的时间，但到实际解题时却显得很简便。列表可以帮助我们尽快地理解题意，我们在解题时，不要怕麻烦，分析问题的能力会逐渐提高。3.运用画示意图法分析问题、解决问题例 13 一列匀速行驶的火车通过一座 160 米长的铁路桥用了 30 秒，若它以同样的速度穿过一段 200 米长的隧道用了 32 秒，求这列火车的速度和长度.【思路分析】本题可通过画线段图来
18、表示有关量的数量关系，火车在通过铁路桥时，从车头上桥到车尾出桥历时 30 秒，火车所行驶的路程是桥长与火车长的和；同理，它穿过一段 200 米长的隧道用了 32 秒，其所行驶的路程是隧道长与火车长的和.若设火车速度是xm/s,火车长为 ym,其示意图如下所示：解：设火车速度是 xm/s,火车长为 ym, 根据题意列方程组得 yx20316 解方程组得 402yx答：火车速度是 20m/s,火车长为 440m.点评：有关速度、时间及路程的问题，一般情况下可通过画直线型示意图帮助理解题意，这充分运用了数形结合的思想方法.变式题 1.汽车从甲地到乙地，若每小时行驶 45 千米，就要延误 30 分钟到
19、达；若每分钟行驶 50 千米，那就可以提前 30 分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间.中考名题欣赏(师生共同完成)例 1.请写出一个以 xy、为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：由两个二元一次方程组成， 方程组的解为 23xy这样的方程组可以是 解析：本题结论开放，答案不唯一，如：例 2 二元一次方程组 3275xy、的解是（ ） xy、 12y、 42xy、 31xy、例 3.解方程组 7238.x、 例 4.已知二元一次方程：（1） 4xy；（2） 2xy；（3） 1xy请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这个方程组的解例 5.已知方程
20、组 42axby、的解为 21xy、，则 3ab的值为（ B ） 4 6 6 4例 6.若方程 3xy， 1和 20xmy有公共解，则 m的取值为 例 7 小刘同学用 10 元钱购买两种不同的贺卡共 8 张，单价分别是 1 元与 2 元设 1 元的贺卡为 张，2 元的贺卡为 张，那么 、 所适合的一个方程组是（ ）A 108yxB 210xyC 028xyD 8210xy例 8 国家为九年义务教育期间的学生实行“两免一补”政策，下表是我市某中学国家免费提供教科书补助的部分情况七 八 九 合计每人免费补助金额（元）110 90 50 人数（人） 80 300免费补助总金额（元） 4000 262
21、00如果要知道空白处的数据，可设七年级的人数为 x，八年级的人数为 y，根据题意列出方程组为（ ） 301926xy 30194260yx 840xy 80y例 9 下图是一个正方体的展开图，标注了字母“ a”的面是正方体的正面如果正方体相对两个面上的代数式的值相等，求 xy、的值年级项目例 10 某商场正在热销 2008 年北京奥运会吉祥物“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？答：一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为 125元和 0元例 11 市政府根据社会需要，对自来水价格举行了听证会，决定从今年 4 月份起对自来水价格进行调整
22、 调整后生活用水价格的部分信息如下表：已知 5 月份小晶家和小 磊家分别交水费 19 元、 31 元，且小磊家的用水量是小晶家的用水量的 1.5 倍请你通过上述信息，求出表中的 x.例 12 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐（1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由作业布置用水量（ m3）单价（元/m3）5m3以内（包括5m3）的部分25m3以上的部分x5
23、xy125x3a共计 145 元 共计 280 元1、下列方程中是二元一次方程的有（ ）个。 125nm1647yx253zx 3baA.2 B.3 C.4 D.52、若方程 为二元一次方程，则 k 的值为（ 03)2()2()4(2 kyxkxk）A. 2 B. -2 C. 2 或-2 D.以上均不对。3、如果 是二元一次方程 3x-2y=11 的一个解，那么当 时，y=_。1yx 31x4、方程 2x+y=5 的非负整数解为_.5、在方程 2(x+y)-3(y-x)=3 中用含 x 的代数式表示 y，则是（ ）A.y=5x-3 B.y=-x-3 C.y=-5x-3 D.y=-5x+36、已
24、知 是一个二元一次方程组的解，试写出一个符合条件的二元一次方程组23yx_ _。7、 用代入消元法解下列方程组：（1 ） （2） （3）5634yx73421nm43)1()4(20yx8 、 用加减消元法解下列方程组：（1 ） （2） 4637yx132yx9.若方程组 的解满足 ，则 m=_.myx28510、解下列方程组：（1 ） （ 2）02133zyx106tn11、若方程组 的解 x 与 y 相等，则 k=_。4)()(ykx13、 在等式 ，当 x=1 时,y=1;x=2 时,y=4,则 k、b 的值为（ ）byA B C D23bk32bk3k23bk14、已知 是同类项，那么
25、 a,b 的值是（ ）baayxyx4251和A. B. C. D.ba053012ba15、若 的值为（ ）ba2,)2(53则A.8 B.2 C.-2 D.-4方程组综合应用：1.已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的解，试求（m+n） 2004 的2y1 x+m-1y2n值. 2已知方程组 与 同解，求 的值173byax7328byaxba、3.方程组 的解应为 ，但是由于看错了数 m，而得到的解为4206m10，求 a、b、m 的值。61yx4. 已知代数式 ax +bx+c 中，当 x 取 1 时，它的值是 2；当 x 取 3 时，它的值是 0；当 x 2取-2 时，它的值是
26、20；求这个代数式。5. 对方程组的解的情况的探究（1 ） m、n 为何值时，方程组 有解？无解？有无数组解？23y4xm=n（2 ）已知讨论下列方程组的解的情况： 43yxk24kyx6. 设“” “” “”表示三种不同的物体，用天平称了两次，情况如图所示，那么“”“” “”这三种物体按质量从大到小的排列顺序为（ ）A. B. C. D. 7如图，8 块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是 60cm8.一项工程，甲队独做要 12 天完成，乙队独做要 15 天完成，丙队独做要 20 天完成.按原定计划，这项要求在 7 天内完成，现在甲乙两队先合作若干天，以后为加快速度，
27、丙队也同时加入了这项工作，这样比原定时间提前一天完成任务.问甲乙两队合作了多少天？丙队加入后又做了多少天？9.王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共 50 件，甲种商品的进价是每件 35 元，利润率是 20, 乙种商品的进价是每件 20 元，利润率是 15,共获利 278 元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗？10.2008 年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用 8000 元预订 10 张下表中比赛项目的门票（1 ）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2 ）若在现有资金 8000 元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？比赛项目 票价（元场）男篮 1000足球 800乒乓球 500
