1、课时提升作业 二十四平面向量应用举例(15 分钟 30 分)一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.已知ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P,若 + + = ,PPPA则点 P 与ABC 的位置关系是 ( )A.P 在 AC 边上B.P 在 AB 边上或其延长线上C.P 在ABC 外部D.P 在ABC 内部【解析】选 A.因为 + + = ,PPP A所以 + + - =0,所以 2 + =0,PPPA PP所以 =-2 ,所以 P 在 AC 的三等分点上.P P2.如图,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径, =2 ,则 的B F F F值是 ( )A.- B.-
2、 C.- D.-34 89 14 49【解析】选 B. = + , = + ,FFOFFO且 =- ,所以 =( + )( + )= - = -1=- .O O FF FO FO F2O219 89【误区警示】本题容易出现忽视圆的性质,导致解题困难的问题,解题时要结合已知图形的几何性质.3.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD,若点 P 为BC 的中点,且 = + ,则 += ( )A A AA.3 B.2 C.1 D.52【解析】选 B.由题意,设正方形的边长为 1,建立坐标系如图,则 B(1,0),E(-1,1),所以 =(1,0), =(-1,1),A
3、A因为 = + =(-,),A A A又因为 P 是 BC 的中点时,所以 = ,所以 解得:A(1,12) =1,=12, =32,=12,所以 +=2.二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)4.共点力 F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)作用在物体 M 上,产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功 W 为_.【解析】因为 F1+F2=(1,2lg2),所以 W=(F1+F2)s=(1,2lg2)(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.答案:25.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知( + -2 )( - )DD D AA=0,则ABC 的形状一定是_.
4、【解题指南】通过向量化简、运算寻找三角形边或角的关系,从而判断三角形的形状.【解析】因为( + -2 )( - )DD D AA=( - )+( - )( - )DD DD AA=( + )( - )= -AA AA A2A2=| |2-| |2=0,所以| |=| |,A A A A所以ABC 是等腰三角形 .答案:等腰三角形三、解答题6.(10 分)如图,用两根分别长 5 米和 10 米的绳子,将 100N 的物体2吊在水平屋顶 AB 上,平衡后,G 点距屋顶距离恰好为 5 米,求 A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计). 【解析】如图,图中 G 点距屋顶的距离恰好为 5 米,故左边绳子
5、与竖直方向成45,右边绳子与竖直方向成 60,即 AG 与铅直方向成 45角,BG 与铅直方向成 60角.设 A 处所受力为 Fa,B 处所受力为 Fb,物体的重力为 G,EGC=60,EGD=45,则有|F a|cos45+|Fb|cos60=|G|=100,且|F a|sin45=|Fb|sin60.由解得| Fa|=150 -50 ,2 6所以 A 处所受力的大小为(150 -50 )N.2 6(15 分钟 30 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.已知作用在点 A 的三个力 F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且 A(1,1),则合力 F=F1+F2+F
6、3的终点坐标为 ( )A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)【解析】选 A.F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力 F 的终点为P(x,y),则 = +F=(1,1)+(8,0)=(9,1).OO2.已知点 O,N,P 在ABC 所在平面内,且| |=| |=| |, + +O O O NN=0, = = ,则点 O,N,P 依次是ABC 的 ( )N P PP PP PA.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心【解析】选 C.如图,D 为 BC 的中点,因为 + + =0,所以NNN+
7、=- .依向量加法的平行四边形法 则,知| |=2| |,故点NN N N NN为ABC 的重心,因为 = ,所以( - ) = =0,PPPP PP PCP同理 =0, =0,所以点 P为ABC 的垂心.由| |=| |=|AP BP O O|,知点 O为 ABC 的外心.O二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)3.坐标平面内一只小蚂蚁以速度 v=(1,2)从点 A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为_.【解析】|v|= = ,12+22 5又| |= = ,A (74)2+(126)2 45所以时间 t= =3.455答案:34.已知直角梯形 ABCD 中,ABAD,
8、AB=2,DC=1,ABDC,则当 ACBC 时,AD= _.【解析】建立如图的平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0).设 AD=a,则 C(1,a), =(1,a), =(-1,a).A B因为 ACBC,所以 .A B所以 =-1+a2=0,所以 a=1(负值舍去).AB答案:1三、解答题5.(10 分)已知,四边形 ABCD 是菱形,AC 和 BD 是它的两条对角线.利用向量方法证明:ACBD. 【证明】方法一:因为 = + , = - ,A AABAA所以 =( + )( - )AB AA AA=| |2-| |2=0.所以 ,即 ACBD.A A A B方法二:以 BC 所在直线为 x 轴,以 B 为原点建立平面直角坐标系,则 B(0,0),设 A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC| 得 a2+b2=c2.因为 = - =(c,0)-(a,b)=(c-a,-b),ABB= + =(a,b)+(c,0)=(c+a,b),BBB所以 =c2-a2-b2=0.AB所以 ,即 ACBD.A B
