1、单元质量评估(三)(第三章)(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.奥林匹克会旗中央有 5 个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这 5 个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得 1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是 ( )A.对立事件 B.不可能事件C.互斥但不对立事件 D.既不互斥又不对立事件【解析】选 C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色
2、” 的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件.2.老师为研究男女同学数学学习的差异情况,对某班 50 名同学(其中男同学 30 名,女同学 20 名)采取分层抽样的方法,抽取一个容量为10 的样本进行研究,则女同学甲被抽到的概率为 ( )A. B. C. D.150 110 15 14【解析】选 C.因为在分层抽样中,任何个体被抽到的概率均相等,所以女同学甲被抽到的概率 P= = .1050153.在区间(15,25)内的所有实数中随机取一个实数 a,则这个实数满足 170,12.因为第一次朝上一面的点数为 a,第二次朝上一面的点数为 b,所以 a取 1,2 时,b 可取 1,2,3,4,
3、5,6;a 取 3,4 时,b 可取 2,3,4,5,6;a 取 5,6 时,b 可取 3,4,5,6,共 30 种.因为将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,共有 66=36 种等可能发生的结果,所以所求概率为 = .30365610.(2018泰安高一检测)设一元二次方程 x2+bx+c=0,若 b,c 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,则方程有实数根的概率为 ( )A. B. C. D.112 736 1336 1936【解析】选 D.因为 b,c 是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数,所以一共有 36 种情况.由方程有实数根知,=b 2-4c0,显然 b1.当 b=2 时,
4、c=1(1 种);当 b=3 时,c=1,2(2 种);当 b=4 时,c=1,2,3,4(4 种);当 b=5 时,c=1,2,3,4,5,6(6 种); 当 b=6 时,c=1,2,3,4,5,6(6 种).故方程有实数根共有 19 种情况,所以方程有实数根的概率是 .193611.国庆节前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯,这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( )A. B. C. D.14 12 34 78【解题指南】用几何概型的概率公式求
5、.【解析】选 C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立且 4 秒内任一时刻等可能发生,所以总的基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的是第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的基本事件,即如图所示的阴影部分的面积,根据几何概型的概率计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 = .12163412.运行如图的程序框图,设输出数据构成的集合为 A,从集合 A 中任取一个元素 ,则函数 y=x ,x(0,+)是增函数的概率为 ( )A. B. C. D.37 45 35 34【解析】选 C.当 x 依次取值-3,-2,-1,0,1,2,3 时,对应的 y 的值依次为3,0,-1,0,3,8
6、,15,所以集合 A=-1,0,3,8,15,因为 A,所以使 y=x在 x(0,+)上为增函数的 的值为 3,8,15,故所求概率 P= .35二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2018潍坊高一检测)口袋内装有 100 个大小相同的红球、白球和黑球,其中有 45 个红球,从中摸出 1 个球,摸出白球的概率为 0.23,则摸出黑球的概率为 .【解析】由题可知,白球的个数为 1000.23=23,所以黑球的个数为 100-23-45=32,所以概率为 P= =0.32.32100答案:0.3214. 已知集合 A=-1,0,1,3,
7、从集合 A 中有放回地任取两个元素 x,y作为点 M 的坐标,则点 M 落在 x 轴上的概率为 . 【解析】所有基本事件构成集合(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,3),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,3),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,3),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,3),其中“ 点M 落在 x 轴上” 的事件所含基本事件有(-1,0),(0,0),(1,0),(3,0),所以 P= .41614答案:1415.某中学青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为 451,其中青年教师有 120 人,现采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量
8、为 30 的教师样本以了解教师的工作压力情况,则每位老年教师被抽到的概率为 .【解析】由青年教师、中年教师和老年教师的人数比例为 451,知该校共有教师 120 =300(人).410采用分层抽样的方法从这所学校抽取容量为 30 的教师样本,因为在分层抽样中,不同层中每位教师被抽到的概率相等,所以每位老年教师被抽到的概率为 P= = .30300110答案:11016.(2018衡水高一检测)如图,在一个棱长为 2 的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的
9、概率是 . 【解析】P=正方形面积 -圆锥底面积正方形面 积= =1- .44 4答案:1- 4三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10 分)甲、乙两人进行猜拳游戏(锤子、剪刀、布).求:(1)平局的概率.(2)甲赢的概率.(3)乙赢的概率.【解析】设平局为事件 A,甲赢为事件 B,乙赢为事件 C.容易得到如图所示的图形.(1)平局含 3 个基本事件( 图中的 ),P(A)= = .3913(2)甲赢 含 3 个基本事件( 图中的),P(B)= = .3913(3)乙赢 含 3 个基本事件( 图中的),P(C)= = .3913
10、18.(12 分)某种日用品上市以后供不应求,为满足更多的消费者,某商场在销售的过程中要求购买这种产品的顾客必须参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),按照指针所指区域的数字购买商品的件数,每人只能参加一次这个活动.(1)某顾客参加活动,求购买到不少于 5 件该产品的概率.(2)甲、乙两位顾客参加活动,求购买该产品件数之和为 10 的概率.【解析】(1) 设 “购买到不少于 5 件该产品”为事件 A,则 P(A)= = .81223(2)设“甲、乙两位 顾客参加活 动,购买该产品数之和 为 10”为事件 B,甲、乙购买产品数的情况共有 1212=144 种,则事件 B
11、包含(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1), 共 9 种情况,故 P(B)= = .914411619.(12 分)已知集合 M=(x,y)|x0,2,y-1,1.(1)若 x,yZ,求 x+y0 的概率.(2)若 x,yR,求 x+y0 的概率.【解析】(1) 设 “x+y0,x,yZ”为事件 A,x,yZ,x0,2,即 x=0,1,2;y-1,1,即y=-1,0,1.则基本事件有:(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2,1)共 9 个.其中满足“x+y0”
12、的基本事件有 8 个,所以 P(A)= .89故 x,yZ,x+y0 的概率为 .89(2)设“x+y0,x,yR”为事件 B,因为 x0,2,y-1,1,则基本事件为如图四边形 ABCD 区域,事件 B 包括的区域为其中的阴影部分.所以 P(B)= =S阴影四 边 形 S四 边 形 1211四 边 形 = = ,22121122 78故 x,yR,x+y0 的概率为 .7820.(12 分)有 7 位歌手(1 至 7 号)参加一场歌唱比赛,由 500 名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评委分为五组,各组的人数如下:组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50(
13、1)为了调查大众评委对 7 位歌手的支持情况,现用分层抽样方法从各组中抽取若干大众评委,其中从 B 组抽取了 6 人,请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 6(2)在(1)中,若 A,B 两组被抽到的大众评委各有 2 人支持 1 号歌手,现从这两组被抽到的大众评委中分别任选 1 人,求这 2 人都支持 1 号歌手的概率.【解析】(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为 6%,所以各组抽取的人数如下表:组别 A B C D E人数 50 100 150 150 50抽取人数 3 6 9 9 3(2)记从 A 组抽到的 3 位评委分别
14、为 a1,a2,a3,其中 a1,a2支持 1 号歌手;从 B 组 抽到的 6 位评委分别为 b1,b2,b3,b4,b5,b6,其中 b1,b2支持 1 号歌手,从a 1,a2,a3和b 1,b2,b3,b4,b5,b6中各抽取 1 人的所有结果如图.由树状图知所有结果共 18 种,其中 2 人都支持 1 号歌手的有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2共 4 种,故所求概率 P= = .4182921.(12 分)如图,一张圆形桌面被分成了 M,N,P,Q 四个区域,AOB=30,BOC=45,COD=60.将一粒小石子随机扔到桌面上,假设小石子不落在线上,求下列事件的概率:(1)小石子落
15、在区域 M 内的概率.(2)小石子落在区域 M 或区域 N 内的概率.(3)小石子落在区域 Q 内的概率.【解析】将一粒小石子随机扔到桌面上,它落在桌面上任一点的可能性都是相等的,根据几何概型的概率计算公式,可得:(1)小石子落在区域 M 内的概率是 = .S扇形 圆 112(2)小石子落在区域 M 或区域 N 内的概率是= .S扇形 +扇形 圆 524(3)小石子落在区域 Q 内的概率是1- = .S扇形 +扇形 +扇形 圆 5822.(12 分)汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):轿车 A 轿车 B 轿车 C舒适型 100 1
16、50 z标准型 300 450 600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A类轿车 10 辆.(1)求 z 的值.(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率.(3)用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.【解析】(1) 设该 厂这个月共生产轿车 n 辆,由题意得 = ,所
17、以 n=2000.50 10100+300则 z=2000-(100+300)-(150+450)-600=400.(2)设所抽 样 本中有 a 辆舒适型轿车,由题意得 = ,即 a=2.4001 000a5因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车.用 A1,A2表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3表示 3 辆标准型轿车,用 E表示事件“在 该样本中任取 2 辆,其中至少有 1 辆舒适型轿车”,则所有的基本事件有:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)共 10 个.事件 E 包含的基本事件有:(A 1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)共 7 个.故 P(E)= ,即所求概率为 .710 710(3)样本平均数 = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.x18设 D 表示事件“从样本中任取一数,该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5”,则共有 8 个基本事件,事件 D 包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共 6 个,所以 P(D)= = ,即所求概率为 .6834 34
