1、第四章 四边形性质探索 第 1 课时 复习教学目标1利用基本图形结构使本章内容系统化2对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法3总结常用添加辅助线的方法4总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力教学重点和难点重点：四边形与特殊四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法难点：提高数学思维能力教学过程设计一、 理解本章基本图形的形成、变化和发展过程1 本章知识结构图，如图2 说明：（1）图 4-107（a）中主要要求四边形的内角和及外角和；（2）图 4-107（b）中要求 n 边形内角和及外角和；（3）图 4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；（4）图
2、4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；（5）图 4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；（6） 握中心对称及中心对称图形的概念、性质，会判断一个图形是否为中心对称图形，会画一个图形关于某点的对称图形2.常用的例习题所对应的基本图形的性质，有利于探求解题如：（）顺次连结四边形各边中点得到的图形，如图 4-95（）过平行四边形对角线交点的直线交对边或对边的延长线所得对应线段相等（图 4-108） 典型例题分析，总结解题方法和数学思想方法殊四边形的关系的进一步理解，渗透“集合”的思想例填出图 4-109 中各图形的名称，利用“集合”的思想分清各种
3、四边形之间的关系，并做课本第 190 页第 2 题，以巩固各种四边形的判定方法 四边形性质及中位线知识的应用，总结证明两条线段相等和添加辅助线的方法及分析综合法的使用例 如图 4-110（a） ，在梯形 ABCD 中，ABDC,以 AD 和 AC 为边作 ACED，DC 的延长线交 EB 于 F求证：EF=FB分析：分解基本图形：“ ABCD 及对角线” ，三个梯形（1） 应用分析综合法探求解题思路，添加辅助线，将 EF，FB 置于“证明两线段相等”所对应的基本图形中（2） 总结目前证明两条线段相等的方法，添设相应辅助线在上一章总结方法的基础上，新添的常用方法有： 特殊四边形的边、对角线的性质
4、； 平行线间的距离相等； 过三角形一边中点与第二边平行的直线必平分第三边； 过梯形一腰中点与底边平行的直线必平分另一腰说明：本题添加辅助线的方法为四大类.(1)构造三角形中位线或梯形的中位线，如图 4-110(b)(e)；(2)构造全等三角形，如图 4-110(f)(h)；(3)构造等腰三角形，如图 4-110(i)；(4)构造以 EB 为对角线的平行四边形，如图 4-110(j).3.总结梯形中常用辅助线，掌握化归思想.梯形中添加辅助线常常可以将梯形化归为三角形、平行四边形、矩形、直角梯形等.同时，还可集中梯形中分散的已知条件，如图 4-111(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到
5、还可集中梯形中分散的已知条件，如图 4-(a)中，将梯形的两腰、两底角、两底边之差集中到了一个三角形中.另外注意以下两点：(1)从图形变换及化归角度理解梯形中常用辅助线的作法及作用.平移：图 4-111(a)，(b)过上底一顶点作腰或一对角线的平行线；旋转：图 4-111(c)，(d)以一腰中点为旋转中心旋转ADE 和EGC；对称：图 4-111(e)等腰梯形中作底边高.(2)其他几种作法.图 4-111(e)一般梯形中，过上底两端点作下底的垂线；在图 4-111(f)中，向上延长两腰构成三角形；在图 4-111(g)中，作梯形的中位线.例 3 已知：如图 4-112(a)，在梯形 ABCD
6、中，ABDC，ACDB，AD=BC=4，ADC=60，EF 是中位线，交 BD 于 M，交 AC 于 N.(1)求 EF，MN 的长及 S 梯形 ABCD；(2)观察 MN 与梯形上、下底的关系，并思考结论能否推广到一般梯形?分析?本题可选用图 4-112(b)，(c)中辅助线的作法，解得 EF= ，MN=2，S 梯形32ABCD=12，MN= (DC-AB).此结论对一般梯形同样适用.214.利用变换的思想解题，培养方程、分类讨论的思想，并会用类比联想变更命题.例 4 矩形一边长为 8，另一边长 6，将矩形折叠，使两相对顶点重合.求折痕长.分析：(1)用轴对称的性质理解折叠问题的基本关系.认
7、清对应元素的位置、数量关系，此题中折痕应为矩形 ABCD 的对角线 AC 的中垂线 EF(如图 4-113).(2)利用方程的思想解决问题.设 CE=x,可证折痕 EF 长等于 2OE，先由 AE=EC，及勾股定理求出 CE= ，则 EF=2OE=4252152OCE(3)学完相似形会有更简捷的计算方法.例 5 已知：点 M 为正方形 ABCD 的边 AB 所在直线上任意一点(点 B 除外)，MNDM 与ABC 的邻补角的平行线交于 N.求证：DM=MN.分析：(1)由于题目中没有明确给出点 M 的位置，需对 M 点在直线 AB 上的位置进行分类讨论.点 M 在线段 AB 内，如图 4-114
8、(a)；点 M 在线段 AB 的延长线上，如图 4-114(b)；点 M 在线段 BA 的延长线上，如图 4-114(c)；点 M 与 A 点重合，如图 4-114(d).(2)证明时，结合旋转及对称变换的思想添加辅助线，构造 DM，MN 所在的两个全等三角形.如图 4-114(a)中，将MBN 沿 MD 方向平移到 M 与 D 重合，再将平移后的三角形绕 D 点顺时针旋转 90，B 点落在边 DA 上 P 点处，使 DP=MB，因此，如下添加辅助线：在 AD 上取一点 P，使 DP=BM，连接 PM，证明DPMMBN.(3)类比联想，此题的结论对等边三角形是否成立?M 为等边三角形 ABC
9、的边 BC 所在直线上任意一点(C 点除外)，作AMN=60，射线 MN 与ACB 的邻补角的平分线交于 N.求证：AM=MN.(如图 4-115)5.利用运动的思维方法将问题推广.例 6(1)已知：如图 4-116(a)，从 ABCD 的顶点 A，B，C，D 向形外的任意直线 l 作垂线AA，BB，CCDD，垂足分别为 A，BC，D，求证：AA+CC=BB+DD.(2)将直线 l 平移运动，会出现几种不同位置?猜想：AA，BBCC，DD的数量关系会怎样变化?并进行证明.分析：(1)分解基本图形为平行四边形和直角梯形.从结论考虑，从形式上联想到梯形中位线定理，连结 AC，BD 交于 O，并作
10、OOl与 O.(2)总结证明线段和差、倍、分关系的常用方法.(3)直线 l 向上平移运动，与 ABCD 的位置关系还会出现两种情况，如图 4-116(b)，(c).(4)对于推广后的两种情况，可通过添加辅助线化归为利用图 4-116(a)中结果，也可类比原题(a)中的方法，再次证明：图 4-116(b)中，CC-AA=BB+DD；图 4-116(c)中，CC-AA=BB-DD.三、师生共同小结1.基本方法.(1)利用基本图形结构使知识系统化；(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；(3)利用变换思想添加辅助线的方法；(4
11、)探求解题思路时的分析、综合法.2.基本思想及观点：(1)“特殊一般特殊”认识事物的方法；(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；(3)用类比、运动的思维方法推广命题.四、作业1.已知：如图 4-117，RtABC 中，ACB 的平分线交对边于 E，交斜边上的高 AD 于 G，过G 作 FGCB 交 AB 于 F.求证：AE=BF.2.如图 4-118，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，E，F 和 G 分别为 OB，CD，OA 中点，AOD=60.求证：EFG 是等边三角形.3.已知：如图 4-119，梯形 ABCD 中，DCAB，A+AB=90，M，N 分别为 CD，AB 点.求证：
12、MN=12(AB-CD).4.已知：梯形 ABCD，ADBC，AB=DC，AD:BC=5:A，D 的平分线都与 BC 相交，且两交点把BC 三等分.若梯形周长为 57cm.求梯形中位线长.(答： cm 或 cm)231095.(1)如图 4-120，P 为正方形，ABCD 内一点，PA:PB:PC=1:2:3，求APB 的度数；(答：135)(2)已知：如图 4-121 正方形 ABCD 内点 E 到 A，B，C 三点的距离之和的最小值为.求此正方形的边长；(答：2)(提示：(1)将APB 绕 B 点顺时针旋转 90，得62CQB，将分散的三条线段 PA，PB，PC 集中到一起，连结 PQ，在PBQ 和PQC 中计算角度.(2)如图 4-121，用旋转的方法，把ABE 绕 B 点旋转 60，得到FBG，可证BEG 为等边三角形.并将 EA+EB+EC 转化为 FG+GE+EC，从而找到最小值为 FC 的长，利用列方程的方法求得边长为 2.)6.如图 4-122，ABCD 是矩形纸片，E 为 AB 上一点，BE:EA=5:3，EC=155，把BCE 沿折痕EC 向上翻折，若点 B 恰好落在 AD 边上，设这个点为 F.问 AB，BC 的长各是多少?(答：2430)
