1、第三章 DISANZHANG圆锥曲线与方程1 椭圆1.1 椭圆及其标准方程课后训练案巩固提升A 组1.F1,F2 是定点,|F 1F2|=6,动点 M 满足|MF 1|+|MF2|=6,则点 M 的轨迹是( )A.椭圆 B.直线 C.线段 D.圆答案:C2.已知椭圆 C 上任意一点 P(x,y)都满足关系式 =4,则椭圆 C 的标准方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. +y2=1解析:由题设可知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,其坐标分别为(1,0),(- 1,0),2a=4,故 a=2,c=1,b2=3,所以椭圆 C 的标准方程为 =1.答案:B3.椭圆的两个焦点的坐标分别为(0,
2、- 4),(0,4),并且经过点( ,- ),则椭圆的标准方程是( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:因为椭圆的焦点在 y 轴上,可设它的标准方程为=1(ab0).由已知得 c=4,又 c2=a2-b2,故 a2=16+b2. 因为点( ,- )在椭圆上 ,所以 =1,即 =1. 将 代入 ,解得 b2=4(b2=-12 舍去),a 2=20.所以所求椭圆的方程为 =1.答案:A4.椭圆 =1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON| 等于( )A.2 B.4 C.6 D.解析:设椭圆的另一个焦点为 F2,因为椭圆 =1 上一点 M 到焦点
3、F1 的距离为 2,即|MF 1|=2,又|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF 2|=8.因为 N 是 MF1 的中点,O 是 F1F2 的中点,所以|ON|= |MF2|=4.答案:B5.已知 F1,F2 是椭圆 C: =1(ab0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且 .若PF1F2 的面积为 9,则 b=( )A.3 B.9 C. D.12解析:由题意,得解得 a2-c2=9,即 b2=9,所以 b=3.答案:A6.经过点(2,- 3)且与椭圆 9x2+4y2=36 有共同焦点的椭圆的标准方程为 . 解析:椭圆 9x2+4y2=36 的焦点为(0, ),则可设所求椭圆的方程为
4、 =1(0).把 x=2,y=-3 代入,得 =1,解得 =10 或 =-2(舍去). 所求椭圆的方程为 =1.答案: =17. =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆上.若|PF 1|=4,则|PF 2|= ,F 1PF2 的大小为 .解析: |PF1|+|PF2|=2a=6, |PF2|=6-|PF1|=2.在F 1PF2 中,cosF 1PF2= =- , F 1PF2=120.答案:2 1208.已知动圆 M 过定点 A(-3,0),并且在定圆 B:(x-3)2+y2=64 的内部与其相内切,则动圆圆心 M 的轨迹方程是 . 解析:设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C,动圆圆心 M
5、 到两定点 A(-3,0),B(3,0)的距离之和恰好又等于定圆 B 的半径,即|MA|+|MB|=|MC|+|MB|=|BC|=8,且 8|AB|=6,所以动圆圆心 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,并且 2a=8,2c=6,所以 b= .所以动圆圆心 M 的轨迹方程是 =1.答案: =19.求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别为(-3,0)和(3,0), 且椭圆经过点(5,0);(2)过点(- 3,2)且与 =1 有公共焦点.解(1) 椭圆的焦点在 x 轴上, 设它的标准方程为 =1(ab0). 2a= =10. a=5.又 c=3, b2=a2-c2=25-9=1
6、6.故所求椭圆的方程为 =1.(2)解法一:由已知得 c= ,椭圆焦点为( - ,0)和( ,0),由椭圆定义知,2a=2 , a= ,b2=a2-c2=10, 所求方程为 =1.解法二:由已知得 c= ,设所求方程为 =1(a ),把 x=-3,y=2 代入得 =1, a4-18a2+45=0, a2=15 或 a2=3(舍去), 所求方程为 =1.10.导学号 90074055 如图,F 1,F2 分别为椭圆 =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,若POF 2 为面积是 的正三角形 ,试求椭圆的标准方程.解由POF 2 为面积是 的正三角形 ,得|PO|=|PF 2|=|OF2|=2, c
7、=2.连接 PF1,在 POF1 中,|PO|=|OF1|=2,POF 1=120, |PF1|=2 . 2a=|PF1|+|PF2|=2+2 , a=1+ , b2=a2-c2=4+2 -4=2 . 所求椭圆的标准方程为 =1.B 组1.设 00,故选 C.答案:C2.设 P 为椭圆 =1 上的任意一点,F 1,F2 为其上、下焦点 ,则|PF 1|PF2|的最大值是 .解析:由已知 a=3,|PF1|+|PF2|=2a=6, |PF1|PF2| =9.当且仅当|PF 1|=|PF2|=3 时取等号 .故|PF 1|PF2|的最大值为 9.答案:93.已知 A 点的坐标为 ,B 是圆 F:
8、+y2=4(F 为圆心)上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的轨迹方程为 . 解析:如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|AF|,即动点 P 的轨迹是以 A,F 为焦点的椭圆,a= 1,c= ,b2= ,所以动点 P 的轨迹方程为x2+ =1,即 x2+ y2=1.答案:x 2+ y2=14.已知椭圆的焦距是 2,且过点 P(- ,0),求其标准方程.解(1)若椭圆的焦点在 x 轴上,设其标准方程为 =1(ab0),由已知得 c=1,且椭圆过点 P(-,0), 解得 椭圆的标准方程为 =1.(
9、2)若椭圆的焦点在 y 轴上,设其标准方程为 =1(ab0),则有 解得 椭圆的标准方程为 =1.综上所述,椭圆的标准方程为 =1 或 =1.5.如图,已知椭圆的方程为 =1,若点 P 在第二象限,且PF 1F2=120,求PF 1F2 的面积.解由已知,得 a=2,b= ,所以 c= =1.所以|F 1F2|=2c=2.在PF 1F2 中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cos 120,即|PF 2|2=|PF1|2+4+2|PF1|. 由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF2|=4,即|PF 2|=4-|PF1|. 代入 ,解得|PF 1|= .所以 |PF1|F1F2|sin 120= 2 ,即PF 1F2 的面积是.6.导学号 90074056 给出如下定义: 把由半椭圆 =1(x0)与半椭圆=1(x0)合成的曲线称作“果圆”,其中 a2=b2+c2,a0,bc0,如图,点 F0,F1,F2 是相应椭圆的焦点,A 1,A2 和 B1,B2 分别是“果圆”与 x,y 轴的交点.(1)若F 0F1F2 是边长为 1 的等边三角形 ,求“果圆”的方程;(2)当|A 1A2|B1B2|时,求 的取值范围.解(1)由 “果圆”的方程为(2) a+c2b, 2b-a, a2-b2(2b-a)2, .又 b2c2=a2-b2, , .
