1、3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程课后训练案巩固提升A 组1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF 1|-|PF2|=10,则 P 点的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线的一支C.直线 D.一条射线解析:由于两点间的距离为 10,所以满足条件|PF 1|-|PF2|=10 的点 P 的轨迹应为一条射线 .在应用双曲线的定义时一定要注意其定义中的绝对值以及 2c2a.答案:D2.在双曲线中, ,且双曲线与椭圆 4x2+9y2=36 有公共焦点,则双曲线的方程是( )A. -x2=1 B. -y2=1C.x2- =1 D.y2- =1解析:椭圆的标准方程为 =1,故焦点坐
2、标为( ,0), c= .由 ,得 a=2,又双曲线中 c2=a2+b2,则 b2=1.答案:B3.已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=1 的左、右焦点 ,点 P 在 C 上,F 1PF2=60,则|PF 1|PF2|等于( )A.2 B.4 C.6 D.8解析:在PF 1F2 中,|F 1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|PF2|,即(2 )2=22+|PF1|PF2|,解得|PF 1|PF2|=4.答案:B4.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0,以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶
3、点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析:由题意,知圆 C 仅与 x 轴有交点,由得 x2-6x+8=0. x=2 或 x=4,即 c=4,a=2. 双曲线方程为 =1.答案:A5.已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),则 E 的方程为( )A. =1 B. =1C. =1 D. =1解析: kAB= =1, 直线 AB 的方程为 y=x-3.由于双曲线的焦点为 F(3,0), c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为 =1(a0,b
4、0),则 =1.整理,得(b 2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= =2(-12), 5a2=4b2.又 a2+b2=9, a2=4,b2=5. 双曲线 E 的方程为 =1.答案:B6.已知双曲线 =1 的两个焦点分别为 F1,F2,若双曲线上的点 P 到点 F1 的距离为 12,则点 P 到点 F2 的距离为 . 解析:设 F1 为左焦点,F 2 为右焦点,当点 P 在双曲线左支上时,|PF 2|-|PF1|=10,|PF2|=22;当点 P 在双曲线右支上时,|PF 1|-|PF2|=10,|PF2|=2.答案:22 或
5、27.已知 F 是双曲线 =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA| 的最小值为 . 解析:设双曲线的右焦点为 F1,则由双曲线的定义,知|PF|=2a+|PF 1|=4+|PF1|,故|PF|+|PA|= 4+|PF1|+|PA|,当|PF1|+|PA|最小时,|PF|+|PA|最小.当点 A,P,F1 共线时,|PF 1|+|PA|最小,最小值为|AF 1|=5,故所求最小值为 9.答案:98.双曲线 =1 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1PF 2,则点 P 到 x 轴的距离为 . 解析:设|PF 1|=m,|PF2|=n. 当 m
6、n 时,由 =1,知 a=3,b=4, c=5.由双曲线的定义,知 m-n=2a=6. PF1PF 2, PF1F2 为直角三角形,即 m2+n2=(2c)2=100.由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, 2mn=m2+n2-36=64. mn=32.设点 P 到 x 轴的距离为 d,则d|F1F2|= |PF1|PF2|,即 d2c= mn. d= ,即点 P 到 x 轴的距离为 . 当 m0,4+k0, -40)的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 的取值范围为( )A.3-2 ,+) B.3+2 ,+)C. D.解析:如图所示,由 c=2 得 a2+1=4, a
7、2=3, 双曲线方程为 -y2=1.设 P 点坐标为( x,y)(x ),则 =(x,y)(x+2,y)=x2+2x+y2=x2+2x+ -1= x2+2x-1(x ).令 g(x)= x2+2x-1(x ),则 g(x)在 ,+)上是增加的,g(x) min=g( )=3+2 , 的取值范围为3+2 ,+).答案:B4.如图,已知定圆 F1:x2+y2+10x+24=0,定圆 F2:x2+y2-10x+9=0,动圆 M 与定圆 F1,F2 都外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程.解由题意得,F1:(x+5)2+y2=1,F2:(x-5)2+y2=16.设动圆 M 的半径为 r,则|MF 1|=r
8、+1,|MF2|=r+4, |MF2|-|MF1|=310=|F1F2|,可知点 M(x,y)的轨迹是以 F1,F2 为焦点的双曲线的左支 ,而 a= ,c=5, b2=c2-a2= , 动圆圆心 M 的轨迹方程是 =1 .5. 导学号 90074076 某工程要挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路 AP,BP运到 P 处( 如图所示 ),|PA|=100 m,|PB|=150 m,APB=60,试说明怎样运土才能最省工.解如图,以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系 .设 M 是分界线上的点,则有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100= 50.这说明这条分界线是以 A,B 为焦点的双曲线的右支.在 APB 中,由余弦定理,得|AB| 2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos 60=17 500.从而 a=25,c2= =4 375,所以 b2=c2-a2=3 750.所以所求分界线的方程为 =1(x25).于是运土时,将此双曲线左侧的土沿 AP 运到 P 处,右侧的土沿 BP 运到 P 处最省工.
