1、1.2 椭圆的简单性质课后训练案巩固提升A 组1.设椭圆 =1(ab0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个实根分别为 x1 和 x2,则点P(x1,x2)( )A.必在圆 x2+y2=2 内B.必在圆 x2+y2=2 上C.必在圆 x2+y2=2 外D.以上三种情形都有解析: e= , . a2=b2+c2, b2= a2. x1+x2=- ,x1x2=- , =(x1+x2)2-2x1x2= +1= 0,得 m1.又 m5,故选 C.答案:C3.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两点,若ABF 2
2、 是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是( )A. B. C. -1 D.解析:由题意得|AF 1|= ,|AF2|=|BF2|. ABF2 是等腰直角三角形, |AF1|=|F1F2|,即 =2c. b2=a2-c2=2ac.整理得 e2+2e-1=0, e= -1.答案:C4.焦点在 x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为 2,到左顶点的距离为 3 的椭圆的标准方程是( )A. =1 B. +y2=1C. =1 D.x2+ =1解析:依题意,得 a=2,a+c=3,故 c=1,b= ,故所求椭圆的标准方程是 =1.答案:A5.若点 O 和点 F 分别为椭圆 =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆
3、上的任意一点,则 的最大值为 ( )A.2 B.3 C.6 D.8解析:由椭圆方程得 F(-1,0),设 P(x0,y0),则 =(x0,y0)(x0+1,y0)= +x0+ . P 为椭圆上一点, =1. +x0+3 +x0+3= (x0+2)2+2. -2x 02, 的最大值在 x0=2 时取得,且最大值等于 6.答案:C6.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是 . 解析:由已知,得 a=2b,c=2 ,又 a2-b2=c2,故 b2=4,a2=16,又焦点在 x 轴上,故椭圆方程为 =1.答案: =17. 导学号 900740
4、59 已知椭圆 =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点 P 使 ,则该椭圆的离心率的取值范围为 . 解析:如图所示,e= -1. |PF2| -1,即 e -1, e2+2e-10.又 0b0).由已知 a=2b, 且椭圆过点(2,- 6),从而有 =1 或 =1. 由 ,得 a2=148,b2=37,或 a2=52,b2=13.故所求椭圆的方程为 =1 或 =1.(2)如图所示,A 1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 的中线( 高),且 OF=c,A1A2=2b, c=b=3. a2=b2+c2=18.故所求椭圆的方程为 =1.1
5、0.已知椭圆 =1(ab0)的左焦点 F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点 F1 到直线 AB 的距离为 ,求椭圆的离心率.解(方法一) 由题意,直线 AB 的方程为 =1,即 bx-ay+ab=0. 焦点 F1 到直线 AB 的距离 d= , .两边平方、整理,得 8c2-14ac+5a2=0,两边同时除以 a2,得 8e2-14e+5=0,解得 e= 或 e= (舍去).(方法二)在AF 1B 中,由面积公式可得 =(a-c)b,将 b2=a2-c2 代入上式,整理得 8c2-14ac+5a2=0.(以下解法同解法一)B 组1.已知椭圆的长轴长为 20,短
6、轴长为 16,则椭圆上的点到椭圆中心距离的取值范围是( )A.6,10 B.6,8 C.8,10 D.16,20解析:不妨设焦点在 x 轴上,由题意知 a=10,b=8,设椭圆上的点 M(x0,y0),由椭圆的范围知,|x 0|a=10,|y 0|b=8,点 M 到椭圆中心的距离 d= .又因为 =1,所以 =64 =64- ,则 d=.因为 0 100,所以 64 +64100,所以 8d10.故选 C.答案:C2.已知 c 是椭圆 =1(ab0)的半焦距,则 的取值范围是( )A.(1,+) B.( ,+)C.(1, ) D.(1, 解析:如图,在AFO 中,令AFO= ,其中 为锐角,则
7、 =sin +cos = sin (1, .答案:D3.如图,把椭圆 =1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7 七个点,F 是椭圆的一个焦点 ,则|P 1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|= . 解析:设 F1 是椭圆的另一个焦点,则根据椭圆的对称性,知|P 1F|+|P7F|=|P1F|+|P1F1|=2a,同理,|P2F|+|P6F|=|P3F|+|P5F|=2a.又|P 4F|=a, |P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=
8、7a=35.答案:354.已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的直线与椭圆相交于 A,B 两点.若线段 AB 中点的横坐标是- ,求直线 AB 的方程 .解依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k0),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5,消去 y 整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由线段 AB 中点的横坐标是 - ,得 =- =- ,解得 k= ,适合 .所以直线 AB 的方程为 x- y+1=0 或 x+ y+1=0.5.已知椭圆长轴|A 1A2|=6,焦距|F
9、1F2|=4 ,过椭圆的左焦点 F1 作直线交椭圆于 M,N 两点,设MF 1F2=(0180),问 取何值时,|MN|等于椭圆短轴长?解(方法一) 如图,建立平面直角坐标系,则 a=3,c=2 ,b=1, 椭圆方程为 +y2=1.当直线 MN 斜率不存在时,得|MN|= ,不合题意.故可设过 F1 的直线方程为 y=k(x+2 ). 代入 ,整理可得(1+9k2)x2+36 k2x+72k2-9=0, x1+x2= ,x1x2= .代入|MN|= ,可得|MN|= . =2, k= ,即 tan = , = 或 = .(方法二)如图所示建立平面直角坐标系,由已知可得 a=3,c=2 ,b=1
10、.令|F 1M|=x,则|F 2M|=6-x,|F1F2|=4 ,在 MF1F2 中利用余弦定理得 x= ,若令|F 1N|=y,则|F 2N|=6-y,|F1F2|=4 ,在 NF1F2 中利用余弦定理得 y= , |MN|=x+y= , =2,cos = , = 或 = .6. 导学号 90074060 有一椭圆形溜冰场,长轴长 100 m,短轴长 60 m,现要在这个溜冰场上规定一个各顶点都在溜冰边界上的矩形区域,且使这个区域的面积最大,应把这个矩形的顶点定位在何处?这时矩形的周长是多少?解分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为 x 轴和 y 轴,以长轴的中点为坐标原点 O,建立如图所示
11、的平面直角坐标系 xOy,设矩形 ABCD 的各顶点都在椭圆上.易知矩形 ABCD 关于原点 O 及 x 轴、y 轴都是对称的.已知椭圆的长轴长 2a=100 m,短轴长 2b=60 m,则椭圆的方程为 =1.设顶点 A 的坐标为(x 0,y0),x00,y00,则 =1,得 (502- )= (502- ).根据矩形 ABCD 的对称性,可知它的面积 S=4x0y0.由于 (502- )= . 当 时, 取得最大值,此时 S 也取得最大值.此时 x0=25 ,y0=15 ,矩形 ABCD 的周长为 4(x0+y0)=4(25 +15 )=160 (m).因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距 25 m 的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形区域的顶点;这个矩形区域的周长为 160 m.
