1、课时提升作业 十七概率的基本性质(25 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1.若 A,B 是互斥事件,则 ( )A.P(AB)1 D.P(AB)1【解析】选 D.因为 A,B 互斥,所以 P(AB)=P(A)+P(B)1.(当 A,B对立时,P(AB)=1)2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A=两次都击中飞机,B=两次都没击中飞机,C=恰有一炮弹击中飞机,D=至少有一炮弹击中飞机,下列关系不正确的是 ( )A.AD B.BD= C.AC=D D.AB=BD【解析】选 D.“恰有一炮 弹击中飞机” 指第一枚 击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至
2、少有一炮 弹击中” 包含两种情况 :一种是恰有一炮弹击中,一种是两炮弹都击中,所以 ABBD.3.下列各组事件中,不是互斥事件的是 ( )A.一个射手进行一次射击,命中环数大于 8 与命中环数小于 6B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于 90 分与平均分不高于 90 分C.同时投掷 3 枚硬币,恰有两枚正面向上与至多一枚正面向上D.检验某种产品,合格率高于 70%与合格率低于 70%【解析】选 B.对于 B,设事件 A1为平均分不低于 90 分,事件 A2为平均分不高于 90 分,则 A1A2为平均分等于 90 分,A 1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件.【补偿训练】从装有十个红球和十
3、个白球的罐子里任取 2 球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是 ( )A.至少有一个红球;至少有一个白球B.恰有一个红球;都是白球C.至少有一个红球;都是白球D.至多有一个红球;都是红球【解析】选 B.对于 A,“至少有一个 红球” 可能 为一个红球、一个白球,“至少有一个白球” 可能 为一个白球、一个 红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于 B,“恰有一个红球” ,则另一个必是白球,与“都是白球 ”是互斥事件 ,而任取 2 个球还 有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于 C,“至少有一个红球” 为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件 ;对于 D,“至多有一个红
4、球”为都是白球或一红一白,与“都是红球 ”是对立事件.4.某城市 2017 年的空气质量状况如表所示:污染指数T30 60 100 110 130 140概率 P 110 16 13 730 215 130其中污染指数 T50 时,空气质量为优;50T100 时,空气质量为良;100T150 时,空气质量为轻微污染.该城市 2017 年空气质量达到良或优的概率为 ( )A. B. C. D.35 1180 119 59【解析】选 A.所求概率为 + + = .1101613355.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率是 0.52,摸出白球的概率是 0.2
5、8,那么摸出黑球的概率是 ( )A.0.2 B.0.28 C.0.52 D.0.8【解析】选 A.本题主要考查互斥事件的概率加法公式.设“摸出红球” 为事件 M,“摸出白球 ”为事件 N,“摸出黑球”为事件 E,则 P(M)+P(N)+P(E)=1,所以 P(E)=1-P(M)-P(N)=1-0.52-0.28=0.2.二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6.在掷骰子的游戏中,向上的数字为 5 或 6 的概率为 .【解析】记事件 A为“向上的数字 为 5”,事件 B为“向上的数字为 6”,则A 与 B 互斥.所以 P(AB)=P(A)+P(B)= + = .161613答案:137.同时
6、抛掷两枚骰子,既不出现 5 点也不出现 6 点的概率为 ,则 5 点49或 6 点至少出现一个的概率是 .【解析】记既没有 5 点也没有 6 点的事件为 A,则 P(A)= ,5 点或 6 点至少出现一个的事件为 B.49因为 AB=,AB 为必然事件,所以 A 与 B 是对立事件,则 P(B)=1-P(A)=1- = .4959故 5 点或 6 点至少出现一个的概率为 .59答案:598.(2018泰安高一检测)经统计某储蓄所一个窗口等候的人数及相应的概率如下:排队人数0 1 2 3 45 人及 5 人以上概率 t 0.3 0.16 0.3 0.1 0.04(1)t= .(2)至少 3 人排
7、队等候的概率是 .【解析】(1) 因 为 t+0.3+0.16+0.3+0.1+0.04=1,所以 t=0.1.(2)至少 3 人包括 3 人,4 人,5 人以及 5 人以上,且这三类是互斥的,所以概率为 0.3+0.1+0.04=0.44.答案:(1)0.1 (2)0.44三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9.某保险公司利用随机抽样的方法,对投保的车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000车辆数(辆) 500 130 100 150 120(1)若每辆车的投保金额为 2 800 元,估计赔付金额大于投保金额的概
8、率.(2)在样本车辆中,车主是新司机的占 10%,在赔付金额为 4 000 元的样本车辆中,车主是新司机的占 20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为 4 000 元的概率.【解析】(1) 设 A 表示事件 “赔付金额为 3 000 元”,B 表示事件“赔付金额为4 000 元”,以 频率估计 概率得 P(A)= =0.15,P(B)= =0.12,1501 000 1201 000由于投保金额为 2 800 元,赔付金额大于投保金额的情形是赔付 3 000元和 4 000 元,所以其概率为 P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设 C 表示事件“投保车辆中新司机获赔 4
9、 000 元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有 0.11 000=100,而赔付金 额为 4 000 元的车辆中车主为新司机的有 0.2120=24,所以在已投保车辆中新司机获赔金额为 4 000 元的频率为 =0.24,24100由频率估计概率得 P(C)=0.24.10.一盒中装有各色球 12 个,其中 5 个红球、4 个黑球、2 个白球、1 个绿球.从中随机取出 1 球,求:(1)取出 1 球是红球或黑球的概率.(2)取出的 1 球是红球或黑球或白球的概率.【解析】(1) 从 12 个球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得红球或黑球共有 5+4=9 种不同取法
10、,任取 1 球有 12 种取法.所以任取 1 球是红球或黑球的概率为 P1= = .91234(2)从 12 个球中任取 1 球得红球有 5 种取法,得黑球有 4 种取法,得白球有 2 种取法,从而得红球或黑球或白球的概率为 = .5+4+212 1112【一题多解 1】(利用互斥事件求概率)记事件 A1=任取 1 球为红球,A 2=任取 1 球 为黑球,A 3=任取 1 球为白球,A 4=任取 1 球为绿球, 则 P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,512 412 212P(A4)= .112根据题意知,事件 A1,A2,A3,A4 彼此互斥,由互斥事件概率公式,得(1)取出 1
11、 球 为红球或黑球的概率为P(A1A2)=P(A1)+P(A2)= + = .51241234(2)取出 1 球 为红球或黑球或白球的概率为P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = .5124122121112【一题多解 2】(利用对立事件求概率)(1)由一 题多解 1 知,取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球,即 A1A2 的对立事件为 A3A4,所以取得 1 球为红球或黑球的概率为P(A1A2)=1-P(A3A4)=1-P(A3)-P(A4)=1- - = = .21211291234(2)A1A2A3 的对立事件 为 A4,所以 P(A
12、1A2A3)=1-P(A4)=1- = .1121112(20 分钟 40 分)一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)1.抛掷一枚骰子,记事件 A 为“落地时向上的点数是奇数”,事件 B为“落地时向上的点数是偶数”,事件 C 为“落地时向上的点数是 3的倍数”,事件 D 为“落地时向上的点数是 6 或 4”,则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A.A 与 B B.B 与 C C.A 与 D D.C 与 D【解析】选 C.A 与 B 互斥且对立;B 与 C 有可能同时发生,即出现 6,从而不互斥;A 与 D 不会同时发生,从而 A 与 D 互斥,又因为还可能出现2,故 A 与 D
13、 不对立;C 与 D 有可能同时发生,从而不互斥.2.某家庭电话,打进的电话响第一声时被接的概率为 ,响第二声时110被接的概率为 ,响第三声时被接的概率为 ,响第四声时被接的概310 25率为 ;则电话在响前四声内被接的概率为 ( )110A. B. C. D.12 910 310 45【解析】选 B.设“电话响第一声被接 ”为事件 A,“电话响第二声被接”为事件 B,“电话 响第三声被接 ”为事件 C,“电话响第四声被接”为事件 D,则 A,B,C,D 两两互斥,从而 P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= +110+ + = .31025 110910二、填空题(
14、每小题 5 分,共 10 分)3.甲、乙两人进行中国象棋比赛,甲赢的概率为 0.5,下和的概率为0.2,则甲不输的概率为 .【解析】甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件,所以根据互斥事件的概率计算公式可以知道甲不输的概率P=0.2+0.5=0.7.答案:0.74.甲射击一次,中靶概率是 p1,乙射击一次,中靶概率是 p2,已知 ,11是方程 x2-5x+6=0 的根,且 p1满足方程 x2-x+ =0.则甲射击一次,12 14不中靶概率为 ;乙射击一次,不中靶概率为 .【解析】由 p1满足方程 x2-x+ =0 知, -p1+ =0,解得 p1= ;因为 ,14 p21 14 12 11是方程
15、 x2-5x+6=0 的根,所以 =6,解得 p2= ,因此甲射击一次,12 1112 13不中靶概率为 1- = ,乙射击一次,不中靶概率为 1- = .1212 1323答案: 12 23三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)5.(2018济宁高一检测)人群中各种血型的人所占的比例见下表:血型 A B AB O该血型的人所占的比例(%) 28 29 8 35已知同种血型的人可以输血,O 型血可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给 AB 型血的人,其他不同血型的人不能互相输血,小明是 B 型血,若他因病需要输血,问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少?(2)任找一个
16、人,其血不能输给小明的概率是多少?【解析】(1) 对 任一人,其血型为 A,B,AB,O 型血的事件分别记为 A,B,C,D,它们是互斥的 .由已知,有 P(A)=0.28,P(B)=0.29,P(C)=0.08,P(D)=0.35.因为 B,O 型血可以输给 B 型血的人,故“可以输给 B 型血的人”为事件BD,根据概率的加法公式 ,得 P(BD)=P(B)+ P(D)=0.29+0.35=0.64.(2)由于 A,AB 型血不能输给 B 型血的人,故“不能输给 B 型血的人”为事件AC,且 P(AC)=P(A)+P(C)=0.28+0.08=0.36.【易错警示】不能由于只有四种血型就简单
17、地认为四种情况的概率都是 0.25.本题中某种血型的人所占的比例其实就是任找一人,他是该血型的概率.【补偿训练】袋中有 12 个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是 ,得到黑球或黄球的概率是 ,得到13 512黄球或绿球的概率是 ,试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概512率各是多少?【解析】从袋中任取一球,记事件“得到红球” 、“得到黑球” 、“得到黄球”、“得到绿球”分别为 A,B,C,D,则 P(A)= ,P(BC)=P(B)+P(C)= ,13 512P(CD)=P(C)+P(D)= ,512P(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-
18、= .1323则由P()+()=512,()+()=512,()+()+()=23,解得P()=14,()=16,()=14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别为 , , .1416146.(2018荆州高一检测)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如表所示.一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件17 件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.5 2 2.5 3已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y
19、 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.(将频率视为概率)【解析】(1) 由已知得 ,25+y+10=55,x+y=35,所以 x=15,y=20,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为:115+1.530+225+2.520+310100=1.9(分钟).(2)记 A 为事件“ 一位顾 客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”,A1,A2,A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”“ 该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”“该顾客一次 购物的结算时间为 2分钟”.将频 率视为概率 ,得P(A1)= = ,P(A2)= = ,15100320 30100310P(A3)= = .2510014因为 A=A1A2A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件,所以 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + + = .32031014 710故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .710
