1、习题课椭圆方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A 组1.已知点 M( ,0),直线 y=k(x+ )与椭圆 +y2=1 相交于 A,B 两点,则ABM 的周长为( )A.4 B.8 C.12 D.16解析:椭圆 +y2=1 的焦点在 x 轴上,a 2=4,b2=1,c= ,所以椭圆的两个焦点为 N(- ,0),M( ,0).又因为直线 y=k(x+ )必经过定点 N(- ,0),由椭圆的定义知ABM 的周长为 AB+AM+BM=(AN+AM)+(BN+BM)=2a+2a=4a=8.答案:B2.设 F1,F2是椭圆 =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1| |PF2|=2 1,则F
2、1PF2的面积等于 ( )A.5 B.4 C.3 D.1解析:由椭圆方程,得 a=3,b=2,c= ,因为|PF 1|+|PF2|=2a=6,且|PF 1| |PF2|=2 1,所以|PF 1|=4,|PF2|=2.由 22+42=(2 )2可知,F 1PF2是直角三角形,故 F1PF2的面积为 |PF1|PF2|= 42=4.答案:B3.椭圆 x2+4y2=36 的弦被 A(4,2)平分 ,则此弦所在的直线方程为( )A.x-2y=0 B.x+2y-4=0C.2x+3y-14=0 D.x+2y-8=0解析:设以 A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于 E(x1,y1),F(x2,y2), A
3、(4,2)为 EF 中点, x1+x2=8,y1+y2=4,把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆 x2+4y2=36,得 (x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, 8(x1-x2)+16(y1-y2)=0, k= =- , 以 A(4,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4),整理,得 x+2y-8=0.答案:D4.已知椭圆 +y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,当F 1PF2的面积为 1 时, 等于( )A.0 B.1 C.2 D.解析:设 P(x0,y0),则依题意有 |F1F2|y0|=1,而|F 1F2|
4、=2 ,所以 y0= .故得 x0= .取 P ,可得 =0.答案:A5.已知椭圆的两个焦点分别是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF 2|,那么动点 Q 的轨迹是( )A.圆 B.椭圆 C.射线 D.直线解析:因为|PQ|=|PF 2|且|PF 1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF 1|=2a.又因为 F1,P,Q 三点共线,所以|PF 1|+|PQ|=|F1Q|.故|F 1Q|=2a,即 Q 在以 F1为圆心,以 2a 为半径的圆上.答案:A6.已知斜率为 2 的直线 l 被椭圆 =1 截得的弦长为 ,则直线 l 的方程为 . 解析:
5、设直线 l 的方程为 y=2x+m,与椭圆交于 A,B 两点的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),由消去 y 并整理得 14x2+12mx+3(m2-2)=0,所以 x1+x2=- m,x1x2= (m2-2).由弦长公式得|AB|= ,解得 m= ,所以直线 l 的方程为 y=2x .答案:y=2x 7. 导学号 90074062 设 AB 是椭圆 =1 的不垂直于对称轴的弦 ,M 为 AB 的中点,O 为坐标原点,则 kABkOM= . 解析:由题意,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中点 M ,所以 kAB= ,kOM= ,所以 kABkOM= .又因为点 A(x1,
6、y1),B(x2,y2)在椭圆上 ,所以 b2 +a2 =a2b2,b2 +a2 =a2b2,所以 b2( )+a2( )=0,所以 =- .答案:-8.已知椭圆的焦点在 x 轴上,且焦距为 4,P 为椭圆上一点,且|F 1F2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若PF 1F2的面积为 2 ,求点 P 的坐标.解(1)由题意知,2c=4,c=2,且|PF 1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即 2a=8,所以 a=4.所以 b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在 x 轴上,所以椭圆的方程为 =1.(2)设点 P 的坐标为 (x0,y0),依题意知,
7、|F1F2|y0|=2 ,所以|y 0|= ,y0= ,代入椭圆方程 =1,得 x0=2 ,所以点 P 的坐标为(2 )或(2 ,- )或( -2 )或(- 2 ,- ).9.已知圆 A:(x+3)2+y2=100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过 B 且与圆 A 内切,求圆心 P 的轨迹方程.解设圆 P 的半径为 r,又圆 P 过点 B,所以|PB|=r.又因为圆 P 与圆 A 内切,圆 A 的半径为 10,所以两圆的圆心距|PA|=10-r,即|PA|+|PB|=10(大于|AB|),所以点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.所以 2a=10,2c=|AB|=6.所以 a=5
8、,c=3.所以 b2=a2-c2=25-9=16.即点 P 的轨迹方程为 =1.10.已知椭圆 =1(ab0)的离心率为 ,且 a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 A,B 两点,且线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,求 m 的值.解(1)由题意得 解得故椭圆方程为 x2+ =1.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程得即 3x2+2mx+m2-2=0,所以 x0= =- ,y0=x0+m= ,即 M .又因为点 M 在圆 x2+y2=5 上,所以 =5,解得 m=3.B 组1.
9、若点 A(m,1)在椭圆 =1 的内部 ,则实数 m 的取值范围是( )A.(- )B.(-,- )( ,+)C.(-2,2)D.(-1,1)解析:因为点 A(m,1)在椭圆 =1 的内部,所以 b0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.解析:根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A,B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a=2(|AF|+|BF|)=8,所以 a=2.又 d= ,所以 1b2). e= , , a=4,故椭
10、圆 C2的方程为 =1.(2)设 A,B 两点的坐标分别为 (xA,yA),(xB,yB),由 =2 及(1)知,O,A ,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx,联立 得(1 +4k2)x2=4, .联立 得(4+k 2)x2=16, .又由 =2 ,得 =4 . =4 ,解得 k=1.故直线 AB 的方程是 y=x 或 y=-x.6.导学号 90074063 如图,椭圆 E: =1(ab0)经过点 A(0,-1),且离心率为 .(1)求椭圆 E 的方程 ;(2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.解(1)由题设知 ,b=1,结合 a2=b2+c2,解得 a= .所以椭圆的方程为 +y2=1.(2)由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k2),代入 +y2=1,得 (1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知得 0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则 x1+x2= ,x1x2= .从而直线 AP,AQ 的斜率之和kAP+kAQ= =2k+(2-k) =2k+(2-k) =2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.
