1、学海导航知识点 1：三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。知识点 2：位似图形定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所成的直线多经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比。说明：（1）位似图形上任意两组对应点连线的交点或其延长线的交点就是位似中心.（2）利用位似图形的定义可将一个图形放大或缩小。判定位似图形方法：两个图形相似，而且还要求对应点的连线相交于同一点且对应边互相平行。位似图形与相似图形
2、区别：位似图形是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。知识点 3：图形与坐标确定物体的位置这部分内容应注意把“形”与“数”紧密地联系在一起。确定物体位置的方法有：以点的坐标确定点的位置；用一个角度和一个距离表示点的位置，如：点 B 在点 A 的北偏东 60方向上，且距点 A 30m。用经度及纬度确定点的位置；其他方式，如国际象棋竖条用字母，横条用数字表示，中国象棋用一、二、三和 1、2、3以及平、进、退来表示点的位置，等等。位似图形易错题位似图形和图形与坐标是同学们出错较多的地方，现举例说明，就易错情况做简要分析。例 1：已知ABC，以点 A 为位似中心，作出ADE，使ADE 是ABC 放大
3、2 倍的图形，这样的图形可以作出个（ ）A、1 个 B、2 个 C、4 个 D、无数个错解：如图一：这样的图形可以作出 1 个故选 A正解：如图二：这样的图形可以作出 2 个故选 B点拨：根据题意作图，注意有两种作法，在位似中心的两侧或同侧所以这样的图形可以作出 2 个例 2： 关于对位似图形的表述，下列命题正确的是 （只填序号）相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；位似图形一定有位似中心；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比 错解：选正解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一
4、定是相似图形，错误；位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；图 一 图 二图 一 图 二如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误；故填点拨：相似图形不一定是位似图形；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比例 3：如图，正方形 ABCD 和正方形 OEFG 中，点 A 和点 F 的坐标分别为（3，2） ， （-1，-1） ，则两个正方形的位似中心的坐标是_错 解 ：错 解 ：正 解 ：正 解 ：正 解 ：点拨：位似变化中对应点的连线一定经过位似中心本题应分两种情况讨
5、论。例 4: 如图所示，ADE=ACB，试判断ADE 和ABC 是否为位似图形。错解：ADE=ACB，且A=A ，所以ADE ACB ，并且两三角形的对应顶点的连线相交于一点 A，所以 ADE 与ACB 是位似图形。正解：不是位似图形，D 与 C 是对应顶点，E 与 B 是对应顶点，直线 DC 与直线 BE不能相交于点 A，故不符合位似图形的定义不是位似图形。点拨：要判断两个图形是否为位似图形，关键是根据位似图形的定义去判断。即（1）两个图形相似；（2）对应顶点的连线交于一点且对应边互相平行，本题中的两个三角形不满足第（2）个条件，故不是位似图形。一点就通位似图形是图形相似的重点内容之一，在每
6、年中考中多有涉及.本文结合近年各地中考题对位似图形问题进行解析. 例：如图，在直角坐标系中 A（-2，4），B（-5，2），C（-2，2），以点 D（0，1）为对称中心，作出ABC 的中心对称图形ABC；以 E（0，-2）为位似中心，在 E 点右侧按比例尺 2：1 将ABC放大为ABC（1）在坐标系中画出ABC和ABC；（2）写出ABC的顶点坐标；（3）请判断ABC 和ABC是否位似，如果ABC 与ABC位似，求出ABC与ABC位似中心 F 点的坐标分析：作出ABC 的中心对称图形ABC（1）连接 AD 并延长到 A使AD=AD ，确定 A点，同样的方法确定 B，C 点（2）连接 EA并延长使
7、 ，确定 A点，同样的方法确定 B，C点2“E（3）连接 AA，BB ，CC是否交于一点，若交于一点可判断它们是位似点 拨 ： 在 网 格 中 作 中 心 对 称 和 位 似 变 换 要 方 便 的 多 判 断 两 个 图 形 是 不 是 位 似 图 形 要看 它 们 的 对 应 点 的 连 线 过 不 过 同 一 个 点 点 拨 ： 在 网 格 中 作 中 心 对 称 和 位 似 变 换 要 方 便 的 多 判 断 两 个 图 形 是 不 是 位 似 图 形 要看 它 们 的 对 应 点 的 连 线 过 不 过 同 一 个 点 指点迷津 构造三角形的中位线解题三角形的中位线定理在几何证明中应
8、用广泛，但许多同学头痛添加辅助线，现举例说明。例 1：在ABC 中，AB=2AC，AF= AB，D、E41分别为 AB、BC 的中点，EF 与 CA 的延长线交于点 G，求证：AF=AG例 2. 如图，ABC 中，B=2C，M 为 BC 中点，AD BC，求证： ABDM21分 析 ：分 析 ：分析：要证 ，可以找出谁等于 ，因为ABD 是直角三角形，那么斜边ABDM21AB21AB 边的中线就是 ，所以作 AB 的中点 N，连 DN 可以尝试；因为与 AB 平行的中位线等于 ，所以作 AC 的中点 K，连 MK,DK 可以尝试.下面只写出其中一种情况。证明：作 AB 的中点 N，连 DN、M
9、NADBC ， ABD21M 为 BC 中点，MN/ACDMN= CDN=BN ，B=BDN又BDN=DMN+ DNM，B=2 C2C=C+ DNMDNM= DMNDM=DN ABD1点拨：题设的已知条件中有中点的条件，又要求证明一条线段是另一条线段的一半，可首先考虑三角形的中位线定理。例 3. 已知：AB=CD，AN=ND，BM=CM。求证：1=2。分析：AB 与 CD 是四边形的边，怎样把它们建立起联系呢？而由 M、N 分别为 BC、这样就把1 与2 通过中位线移到同一个GMN 中，故问题得证。证明：连结 BD，取 BD 中点 G，再连结 MG、NGG、N、M 均为中点 1=GNM，2=
10、GME又AB=CD MG=NGGNM= GME 1= 2点拨：有中点常构造中位线，连 BD 是构造中位线的基本图形，连 AC 也可以。数学广角某自然风景区有一块长 12 米，宽 8 米的矩形草坪，喷水嘴安装在矩形对角线的交点O 上，现计划从 O 点引 3 条射线，把草坪分成面积相等的三部分，分别种植三种不同的草，不考虑各部分的间隙。（1）请你设计出符合题意的方案示意图（只要求画出图形，至少设计三个方案）；（2）直接写出三条射线与矩形的有关边的交点位置；（3）试判断设计的方案中，所画出的三个面积相等的图形是否位似？解：（1）所设计方案如图、所示。（2）图中 AE=4 米，BE=AH=10 米；
11、图中 BE1=4 米，DE 1= 米； 图中BE2=6 米，AH 2=DF2= 米。（3）不是位似图形。点拨：满足条件的图形有很多种，我们可发散思维，多角度思考并尝试，要根据图形的面积算出三条射线与矩形有关边的交点位置，由位似图形的定义，判断出是不是位似图形。图形的相似同步辅导 2 测试题测试题说明：本测试题重点考察位似图形，三角形的中位线和图形与坐标。重视能力的考察和易错点的检测，同学们做题可要细心啊！选择题1.下列说法错误的是（ ）A、位似图形一定是相似图形 B、相似图形不一定是位似图形C、位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D、位似图形中每组对应点所在的直线必互相平行2.
12、 （2011 广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的 ，得到的图形是（ ）123. （2011 浙江省嘉兴）如图，边长为 4 的等边ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED的面积为（ ）（A） （B） （C） （D）3233436（第 3 题）BCDE4. 如图，已知棋子“车”的坐标为（2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（ ）A. （3，2） B. （3，1） C. （2，2） D. （2，2）5.如图，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，边 OA 在 x 轴上，OC 在 y轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形
13、OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，那么点 B的坐标是（ ）14A （3，2） B （2，3） C （2，3）或（2，3） D （3，2）或（3，2）6.（2011 山东东营）如图，ABC 中，A，B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是(-1，0)以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作ABC 的位似图形ABC，并把ABC 的边长放大到原来的 2 倍设点 B 的对应点 B的横坐标是 a，则点 B 的横坐标是（ ）A 12aB 1()2aC ()D 3BA第 5 题-1 x1O-11yBAC填空题1把一个正多边形放大到原来的 2.5 倍，则原图与新图的相似比为_2. 如果两个位似
14、图形的对应线段长分别为 3cm 和 5cm，且较小图形周长为 30cm，则较大图形周长为 . 3如图，DCAB，OA=2OC， ，则 与 的位似比是_OCD AB4如图，在 ABCD 中，F 是 AD 延长线上一点，连接 BF 交 DC 于点 E，则图中的位似A三角形共有 对 5小明从他前面 2 米远的一小块积水中看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水的距离为 20 米，小明眼睛离地面 1.5 米，则旗杆的高度为 6.若原图形上的点的坐标为（-2，3） ，以原点 O 为位似中心，原图形与像的位似比为 3，则像上的对应点的坐标为 解答题1.如图，在 68 网格图中，每个小正方形边长均为 1，点
15、 O 和ABC 的顶点均在小正方形的顶点.（1）以 O 为位似中心，在网格图中作ABC和ABC 位似，且位似比为 12；（2）连接（1）中的 AA,求四边形 AACC 的周长.（结果保留根号）第 3 题OA BCD第 4 题B CEDA FAB C.oCBAAB C.o2.如图，ABC 中，AD、BE 是高（1）求证： BCAED（2）连接 DE，那么CDE 与CAB 是位似图形吗？3如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1，ABC 和DEF的顶点都在方格纸的格点上(1) 判断ABC 和DEF 是否相似，并说明理由；(2) P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D，F 是DEF 边上的 7 个
16、格点，请在这 7 个格点中选取 3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与ABC 相似(要求写出 2 个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)4.如图，ABC 中，DC=AC ，D 为 BC 的中点，E 为 CD 的中点。求证：AB=2AE5.在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 各顶点坐标分别为 A（0，3）， B（2，4），C（4，3），D （2，1）。（1）求图中四边形 ABCD 的面积。（2）将四边形沿 AC 所在直线翻折，求四边形各顶点坐标。（3）改变四边形的一个顶点的坐标，使四边形 ABCD 变成菱形，说出两种不同的改法。ACBFEDP1P2P3P4P5AB D E
17、C图形的相似同步辅导 2 测试题答案选择题答案 1.D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.D填空题答案1. 25 2. 50cm 3. 12 4.3 对 5. 15 米 6. （ ，1）或（ ，-1）32解答题答案1.答案（1）如下图.（2）四边形 AACC 的周长=4+6 22. 解：（1）证明：AD、BE 是高，ADC=BEC=90，C=C ，ADCBEC， BAED（2）解：如图，CDE 与CAB 不是位似图形因为 DE、AB 的交点不为点 A3.解：(1) ABC 和DEF 相似根据勾股定理，得 25B， C，BC=5 ；42DE， F， 10E 2ABC， ABCDEF (2) 答案不唯一，下面 6 个三角形中的任意 2 个均可CBAAB C.oP 2P5D，P 4P5F，P 2P4D，P 4P5D，P 2P4 P5，P 1FD4. 证明：取 AB 的中点 F，连结 DF。D 为 BC 中点FD/AC 且FD=DECAD=ADC= FDA又 AD=AD ，即 AB=2AE5. （1）S 四边形 ABCD=6（2）A（0，3），B（2，2），C（4，3），D（2，5）（3）一种方法为使 B 点坐标变为（ 2，5），另一种方法为使 D 点坐标变为（2，2）。ACBFEDP1P2P3P4(第 22 题)P5AB D E CF
