1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。提技能题组训练商品利润最优化问题1.某商店经营一种玩具,已知所获利润 y(元)与销售的单价 x(元)之间的关系为 y=-x2+24x+2956,则获利最多为( )A.3144 元 B.3100 元 C.144 元 D.2956 元【解析】选 B.当 x=- =- =12 时, =b2 242(1) 424=3100(元).4(1)2 9562424(1)【一题多解】用配方法将方程转化为顶点式:y=-x 2+24x+2956=-(x-12)2+3100,所以当 x=
2、12 时 ,获利最多为 3100 元.2.为丰富城市菜篮子,市郊某村一年中修建了一些蔬菜大棚.平均修建每公顷大棚要用的支架、塑料膜等材料的费用为 27000 元,此外还要购置喷灌设备,这项费用(元)与大棚面积(公顷)的平方成正比,比例系数为 9000.每公顷大棚的年平均经济收益为 75000 元,若要使菜农的收益达到最大,应修建 公顷大棚.【解析】设大棚面积为 x,喷灌设备的费用为 9000x2,菜农所获得的收益为 y 元,根据题意得:y=75000x-27000x-9000x2=-9000 +64000,(x249)2所以当修建 公顷大棚时,菜农的收益最大.249答案:2493.(2013孝
3、感中考)在“母亲节”前夕,我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动,他们购进一批单价为 20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖,并将所得利润捐给贫困母亲.经试验发现,若每件按 24 元的价格销售时,每天能卖出 36 件;若每件按 29 元的价格销售时,每天能卖出 21 件.假定每天销售件数 y(件)与销售价格 x(元/件)满足一个以 x 为自变量的一次函数.(1)求 y 与 x 满足的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围).(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下,销售价格定为多少元时,才能使每天获得的利润 P 最大?【解析】(1) 设 y 与 x 满足的函数关系式为:y=kx+b(k0)
4、.由题意可得: 解得36=24+,21=29+. k=3,=108.y 与 x 的函数关系式为 y=-3x+108.(2)每天 获得的利 润为:P= (-3x+108)(x-20)=-3x2+168x-2160=-3(x-28)2+192.当销售价格定为 28 元时,每天获得的利润最大.【变式训练】某工厂现有 80 台机器,每台机器平均每天生产 384 件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量,在试生产中发现,由于其他生产条件没变,因此每增加一台机器,每台机器平均每天将少生产 4 件产品.(1)如果增加 x 台机器,每天的生产总量为 y 件,请你写出 y 与 x 之间的关系式.(2)增加多
5、少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?【解析】(1) 根据 题意得,y=(80+x)(384-4x)=30720+64x-4x2=-4(x-8)2+30976.即 y 与 x 之间的关系式为 y=-4(x-8)2+30976.(2)由(1)知, 当 x=8(台) 时,y 有最大值为 30976 件.即增加 8 台机器,可以使每天的生产总量最大;最大生产总量是 30976件.【知识归纳】求实际问题中的最值的两个步骤(1)根据 实际问题 中所提供的变量之间的关系,构建二次函数模型(写出二次函数关系式).(2)利用二次函数图象及性质求函数的最大(小) 值.面积的最优化问题1.如图,
6、在 RtABC 中,C=90,AC=4cm,BC=6cm,动点 P 从点 C 沿 CA,以 1cm/s 的速度向点 A 运动,同时动点 Q 从点 C沿 CB,以 2cm/s 的速度向点 B 运动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也停止运动,则运动过程中所构成的CPQ 的面积y(cm2)与运动时间 x(s)之间的函数图象大致是( ) 【解析】选 C.SCPQ=CPCQ =x2x=x2,即 y=x2(0x3).2.长为 20cm,宽为 10cm 的矩形,四个角上剪去边长为 xcm 的小正方形,然后把四边折起来,制成底面为 ycm2的无盖的长方体盒子,则 y与 x 的关系式为 .【解析】根据题意,
7、长方体盒子的长为(20-2x)cm,宽为(10-2x)cm,则底面积为 y= (10-2x)(20-2x)(0x5).答案:y=(10-2x)(20-2x)( 0x5)【易错提醒】用二次函数解决实际问题时需注意自变量的取值范围,此题很容易忘了标注取值范围.3.(2014肥城安站中学质检)用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长 x(m)与面积 y(m2)满足函数关系 y=-(x-12)2+144(0x24),那么该矩形面积的最大值为 m 2.【解析】因为边长 x(m)与面积 y(m2)的关系式 为 y=-(x-12)2+144(0x24),所以矩形面积的最大值为 144m2.答案:144
8、4.(2013莆田中考)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形)矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形的边长 AB=4m,ABC= 60.设 AE=xm(0x4),矩形的面积为 Sm2.(1)求 S 与 x 的函数关系式.(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为 20 元/m 2,黄色花草的价格为 40 元/m 2.当 x 为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号).【解析】(1) 过 点 A 作 AMEH 于点 M,由轴对称性的性质得:AE=AH,BE=BF, EAM=60, EM=AEsin60=
9、x,32EH= x.3B=60,BEF 为等 边三角形,EF=BE=4-x,S= x(4-x),即 S=- x2+4 x.3 3 3(2)设购买 花草所需的总费用为 W 元,易得 S 四边形 ABCD=8 ,3则 W=40(8 -S)+20S=320 -20S,3 3W=20 x2-80 x+320 =20 (x-2)2+240 ,3 3 3 3 3当 x=2 时 ,W 最小 =240 .3答:当 x=2 时 ,购买花草所需的 总费用最低,最低总费用是 240 元.3【错在哪？】作业错例 课堂实拍我市新进一种水果,其成本是每吨 0.5 万元,且售价每吨不超过 1.5万元.这种水果市场上的销售量 y(t)是每吨销售价 x(万元)的一次函数,且 x=0.6 时,y=2.4;x=1 时,y=2.(1)求出销售量 y(t)与每吨销售价 x(万元)之间的函数关系式.(2)若销售利润为 W(万元),请写出 W 与 x 之间的函数关系式,并求出销售价为多少时的销售利润最高?(1)找错:第 步出现错误.(2)纠错: .答案：(1) (2)又因 为售价每吨不超过 1.5 万元,根据二次函数性质,当 x1.75 时,y随 x 的增大而增大,所以当 x=1.5 万元时,销售利润最高,最高为 1.5 万元.关闭 Word 文档返回原板块
