1、人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结 相关概念及定义 二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数，2yaxbca，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，0a二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全体实数0abc， 二次函数 的结构特征：2yx 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数xx是 2 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数abc，abc项 二次函数各种形式之间的变换 二次函数 用配方法可化成： 的形式，xy2 khxay2其中 .abckbh42， 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ；2； ； ； .axy22hx
2、ykhxay2 cbxay 二次函数解析式的表示方法 一般式： （ ， ， 为常数， ） ；2bcabc0 顶点式： （ ， ， 为常数， ） ；()yxkk 两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐12a01x2x标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的240bac这三种形式可以互化. 二次函数 图象的画法2yxbc 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式2yaxbc，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两2()ahk侧，左右对称地描
3、点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交y点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ，0c，0c， 2hc， x10x（若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.2xx 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点.y 二次函数 的性质2a的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0向上 0，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最y小值 0 二次函数 的性质2yaxc 二次函数 的性质：2yaxh 二次函数 的性质2yaxhk 抛物线 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.2yaxbc 的符号决定抛物线的开口
4、方向：当 时，开口向上；当 时，0a0a开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 对称轴：平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记y2bxay作直线 .0x 顶点坐标： ），（ abc422 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，a那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.0a向下 0，轴y时， 随 的增大而减小； 时，0xyx0x随 的增大而增大； 时， 有最y大值 0的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0向上 0c，轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最y小值 ca向下 ，轴时， 随 的
5、增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最x0x大值 的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0向上 0h，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最y小值 0a向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最yxxh大值 的符号a开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质0向上 hk，X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最y小值 ka向下 ，X=h时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最yxxh大值 抛物线 中， 与函数图像的关系cbxay2ba, 二次项系数二次
6、函数 中， 作为二次项系数，显然 2 0a 当 时，抛物线开口向上， 越大，开口越小，反之 的值越小，开0口越大； 当 时，抛物线开口向下， 越小，开口越小，反之 的值越大，开aa口越大总结起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小a 一次项系数 b在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴ab 在 的前提下，0当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧；02y当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴；bba当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧0y 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即a当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧；b02ba当 时， ，即抛
7、物线的对称轴就是 轴；0y当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置ab总结： 常数项 c 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵0yxy坐标为正； 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵0cyxy坐标为负总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的ab， 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法： ，顶点是abcxacxy4222 ，对称轴是直线 .），（ abc4 配方法：运用配方的方法
8、，将抛物线的解析式化为 的khxy2形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 .hkhx 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 用待定系数法求二次函数的解析式 一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择cbxay2 xy一般式. 顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.kh 交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：1x2.21xay 直线与抛物线的交点 轴与抛物线 得交点为(0, ).cbayc
9、与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( ,hbxay2 h).cbha2 抛物线与 轴的交点:二次函数 的图像与 轴的两个交点x x的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.12 02c抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；0x有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切；x0x没有交点 抛物线与 轴相离. 平行于 轴的直线与抛物线的交点x可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根.kkcbxa 一次函数 的图像 与二次函数 的0nyl 02a
10、cbxy图像 的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程G2ykn组有两组不同的解时 与 有两个交点; 方程组只有一组解时lG与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.l lG 抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交x cbxay2点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故021， BA1x2 0xacb12, acbacbxxxxB 442221212121 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 关于 轴对称x关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2yabcx 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；hk hk 关于 轴对称y关于 轴对
11、称后，得到的解析式是 ； 2axbcy 2yaxbc关于 轴对称后，得到的解析式是 ；hk hk 关于原点对称关于原点对称后，得到的解析式是 ；2yxc 2yxc关于原点对称后，得到的解析式是 ；ak ak 关于顶点对称关于顶点对称后，得到的解析式是 ；2yxbc 22byxca关于顶点对称后，得到的解析式是 ahk ahk 关于点 对称 mn，关于点 对称后，得到的解析式是2yxn，ahk 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，a可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已
12、知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数图象的平移 平移步骤： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk， 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方2yaxh，法如下：【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2平移规律在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 三点式。1，已知抛物线 y
13、=ax2+bx+c 经过 A（ ，0） ，B（ ，0） ，C（0，-3）三点，332求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=a(x-1) +4 ， 经过点 A（2，3） ，求抛物线的解析式。 顶点式。1，已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A（2，1） ，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=4(x+a) 2-2a 的顶点为（3，1） ，求抛物线的解析式。 交点式。1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b)的解析式。2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0） ， （1，0）求抛物线 y= a(x-2a)(x-21b)的解析式。
14、定点式。1，在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线 经过 x 52axy轴上一定点 Q，直线 经过点 Q,求抛物线的解析式。2)(xy2，抛物线 y= x2 +(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线 y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线 y=ax2+ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。 平移式。1，把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。2，抛物线 向上平移,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.3xy 距离式。1，抛物线 y=a
15、x2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。2，已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m0)与 x 轴交于 A、B 两点，与 轴交于 C 点，且 AB=BC,求此抛物线的解析式。 对称轴式。1、抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。2、已知抛物线 y=-x2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA= OC，求此抛物线的解析式。43 对称式。1，平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A（-
16、10，0） ，AC=16，D（2，6） 。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B 到 B1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。2，求与抛物线 y=x2+4x+3 关于 y 轴（或 x 轴）对称的抛物线的解析式。 切点式。1，已知直线 y=ax-a2(a0) 与抛物线 y=mx2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。2， 直线 y=x+a 与抛物线 y=ax2 +k 的唯一公共点 A（2，1）,求抛物线的解析式。 判别式式。1、已知关于 X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0 有两个相等的实数根，求抛物线 y=-x2+(m+1)x+3 解析式。2、已知抛物线 y=(a+2)x2-(a+1)x+2a 的顶点在 x 轴上,求抛物线的解析式。3、已知抛物线 y=(m+1)x2+(m+2)x+1 与 x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。
