1、课程名称：随机过程 课程设计（论文）题 目: 平稳时间序列 MA(q)模型的计算 学 院： 理学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 数学 12-1 班 学 生 姓名： 学 生 学号： 2011027041 指 导 教师： 蔡吉花 2013 年 12 月 10 日目 录随机过程课程设计1任务书 .3摘 要 .41.基本原理 .12.问题的分析与求解 .12.1 模型的识别 .12.1.1 MA(q)序列的自相关函数 .22.1.2 MA(q)序列的偏相关函数 .32.2 样本的自相关和偏相关函数 .52.2.1 样本的自相关函数 .52.2.2 样本偏相关函数与自相关函数的关系 .52.3
2、模型的参数估计 .63.计算程序与结果 .74.确定模型阶数 .125.结论 .136.参考文献 .13附 录 .14随机过程课程设计任务书随机过程课程设计2姓名 吕超 学号 2012027143 指导教师 蔡吉花设计题目 平稳时间序列的 MA(q)模型的计算理论要点时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数和阶数，确定平稳时间序列模型的类型，看是否是要研究的 MA（q）模型.然后运用此模型进行相关分析。设计目标通过课程设计，独立完成所给出的课题。通过课题的理论设计和在计算机中实验调试代码，加深计算理论知识的理解，培养计算软件开发的实践技能，提高分析解决
3、具体问题的能力。研究方法步骤获取被观测系统时间序列数据。根据数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数和偏相关函数。判断该数据符合 MA(q)模型,最后由参数估计求出 MA(q)模型预期结果由已知的一组平稳时间序列的数据，编写 matlab 程序求出自相关函数和偏相关函数,并且画图判别平稳时间序列符合 MA(q)模型,由参数估计求出 MA(q)模型.计划与进步的安排课程安排一周，分 4 次完成：第一次（ 1 天）：审题并查找相关资料，第二次（2-3 天）：对相关资料进行整理和分析，第三次 (4-6 天)：编写程序进行求解并撰写论文，第四次（ 7 天）：对论文进行整体检查和排版。参考资料1吴怀宇
4、时间序列分析与综合 武汉大学出版社2周荫清 随机过程理论 电子工业出版社3刘次华 随机过程（第五版） 华中科技大学出版社4田铮 时间序列的理论与方法 高等教育出版社 施普林格出版社填写时间 2013 年 12 月 15 日 摘 要随机过程课程设计3时间序列是指按照时间先后的顺序排列的随机序列，或者说是定义在概率空间上的一串有序随机变量集合 ，简记为 ；它的每一个样本(,)p ,01,.tXtX（现实）序列，是指按时间先后顺序对 所反映的具体随机现象或系统进行观测或试验得到的一串动态数据 。所谓时间序列分析，就是根据有序随机变量或,01,.tx者观测到的有序数据之间相互依赖所包含的信息，用概率统
5、计方法定量的建立一个合适的数学模型，并根据这个模型对所相应序列所反映的过程或系统做出预报或进行控制。本文主要研究自回归模型(线性模型)，首先对 MA（q）模型的理论作相关分析，包括模型的识别、模型的定阶方法、求样本的自（或偏）相关函数、模型的参数估计以及模型的预报。再通过引例，用 Matlab 程序对化学反应过程中记录的浓度的 197 个数据进行分析，找出其变化规律，先将已知数据标准化，然后求出其变自相关函数和偏相关函数，再画出图像，根据图像判别相关函数的拖尾，截尾性，最后确定一个具体的 MA（q）模型。关键字：平稳时间序列，自相关函数，偏相关函数，MA(q)模型随机过程课程设计0平稳时间序列
6、的 MA(q)模型的计算1. 基本原理MA（q）模型：设 为零均值的实平稳时间序列，阶数为 q 的滑动平均模型定义为t(1.1)1ttttaa其中 称为滑动平均系数，并简记公式(1)为 。满足,12,kq ()MAq的随机序列称为 MA(q)序列。用延迟算子表示，以上(1)公式可以写成()MAq(1.2)()ttB(1.3)1q对于(1.2)中的 模型，若满足条件： 的根全在单位圆外，即Aq()0B所有根的模于 1，则称此条件为 MA(q)模型的可逆性条件。当模型满足可逆性条件时， 存在，此时公式(2)可以写成()B1()ttaB它称为逆转形势，模型(1.2)中的 可以看做是白噪声序列 输入线
7、性系统ta中的输出。对于一个平稳时间序列预测问题，首先要考虑的是寻求与它拟合最好的预测模型。而模型的识别与阶数的确定则是选择模型的关键。2. 问题的分析与求解要想运用平稳时间序列模型对实际生活中的问题进行预报和控制，首先我们得知道是哪类时间序列模型，然后才能运用此模型进行相关分析。因此，如何判别时间序列模型以及怎样确定模型的参数成为解决本问题的关键。2.1 模型的识别由随机过程分析知，利用白噪声 的特性，对于任一相关随机时序ta，总可用一个互相独立的正态白噪声序列 经线性滤波作用而得到。也,01,.tX ta就是说，以 为输入，由滤波器将 “加权叠加” ，给出输出时序 。这种输入、输出及tat
8、 tX滤波器三者之间的关系可用模型（2.1）120(1)tttt jta随机过程课程设计1来描述，式（2.1）中 是实数权重，且 。式（2.1）通常称(0,12)j 0jj为 的滑动和， 是将时序 用现在与过去时刻的白噪声 的加权和表出，并且是军方tatatXta收敛的，特别的，当 时， 式（2.1）可以写成jqj12ttttqtXa(2.2)将式（2.2）称为 q 阶滑动平均模型，记作 MA(q)。显然，凡是满足 MA(q)模型的时序，总是平稳的，而不论 的值如何。()j引入后移算子 B，有 (2.3)(ttXBa式（2.3）中 。如果多项式 可逆，即 存21() q ()B1()在，则式（
9、2.3）可以写成 ()tt将 分解因式()B1qjjvB于是 11()jtt tjbXX式中 为常数。当 时，上式右边的每一项可展开成一个()jbq()jvjq收敛级数。由此可见 MA(q)模型是可逆的。显然，可逆的虫咬条件是 ，1()jvjq或方程式 的根全在 B 平面单位圆外。210qB为了将 AR(p)、 MA(q)、ARMA(p,q)模型加以区别，下特给出一个表，可快速的识别平稳时间序列属于哪类模型。模型类别AR(p) MA(q) ARMA(p,q)模型方程 ()ttBXa()ttXBa()()ttXBa平稳条件 的根全0在单位圆外 无条件平稳 的根全0在单位圆外自相关函数 拖尾 截尾
10、 拖尾偏相关函数 截尾 拖尾 拖尾2.1.1 MA(q)序列的自相关函数设 为零均值的是平稳时间序列，阶数为 q 的自回归模型定义为tX1ttttaa用 乘以上式两边，再取均值(由于序列的值为零，故自相关函数与协方差函tk随机过程课程设计2数相同)，为了不致混淆，记所得协方差函数为 ，则k1 1()( )ktktrqrrkqrkEaaaa 111q qtjtkjitikijtijijaEE利用 2,0.astts显然上式第二项对一切 都为零，其余各项依赖于kk(1) 当 =0 时，有k22220111qqtiiaiaEa(2) 当 时，有1kq 222211 1aq qktkiktkaiki
11、ia (3) 当 时，右边四项都为 0，此时q0k用 除以 得标准化自相关函数 ，简称它为自相关函数0k /综上可得 序列的协方差函数 和自相关函数()MAkk（2.4）221(),0),1,0,aqkkqk （2.5）122,1,0,.kqkk从（2.4）式看出， 序列的自相关函数 在 时全为零，这种性质称()MAqk为 步截尾性，它表明 序列只有 步相关性，即当 时， 与qq|tsqs不相关，这是 模型所具有的本质特性，截尾处的 值就是模型的阶数。t k2.1.2 MA(q)序列的偏相关函数在零均值平稳时间序列中，给定 和 之间的偏相ktktt XX,11Lkt关函数定义为随机过程课程设计
12、3.222 XktktttEXE考虑用对 xt作最小方差来求 MA(q)序列的偏相关函数 ，同时推出偏相k关函数和自相关函数的关系。为了使应满足方程组 ,21j,0Qkj 由 ijkk1jijjk1-j0 itjtkik1jijjtjj2t 2k1jjtjtEQ 于是 kjQijkijkj ,21,01等价于kjijkij ,21,01 或okkkk kkk 021 10212101 ,（2.6）写成矩阵式为随机过程课程设计4kkkk 21211221由（2.6） 式可得，由自相关函数的值可以求出偏相关函数. ，系数可以由上k式直接求解.现在给出求解 的常用递推式：k1 1,1111, ,()
13、(),2.kkk jkjjjkjkj2.2 样本的自相关和偏相关函数2.2.1 样本的自相关函数设有零均值平稳时间序列 的一段样本观测值 ,样本协方tXNx,21差函数定义为， .kNikik x1* ,0易知， 是 的无偏估计，但不一定是非负定的，故常用如下估计式代替 ：*k *k， kNikikx1 1,0N（2.7） 同理样本自相关函数定义为， 0k1,N（2.8） （7）式是 的有偏估计，但 是非负定的.事实上，设当 ，kk 时或 0tNt，对于任意的 m 个实数 有0tx m,21随机过程课程设计5 t itmitjtimijji ijtijtjiijtijtjimij ijNtij
14、tjimijiji xNxNx0)(111 211 11111 实际问题中， 一般取得较大（不少于 50） ，故（2.7）近无偏的.由于（2.7）计误差随 增大而增大，一般取 (常取 左右).kk40k2.2.2 样本偏相关函数与自相关函数的关系计算得出 的值，进而可以得出 的值。k k样本偏相关函数 可用下式定义：kkkkkk 11 21212 以及以下递推公式： .,21, )(,1,1,1 1,1 kjjkkkjjk jkjjkj 2.3 模型的参数估计滑动平均模型公式 1tttqtaa此时要估计的参数为 和 ，将各参数换成估计，得12,q 2（2.9）21(),0 ),1.akqkq 上式是参数的非线性方程组，可以直接求解，也可以用其他方法求解，下面介绍用迭代法求解的步骤，首先将（*）式写成
