1、1第三章 空间向量与立体几何学习目标 1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.知识点一 空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线 l， m 的方向向量分别为 a， b，平面 ， 的法向量分别为 ， v，则线线平行 l ma ba kb， kR线面平行 l a a 0面面平行 v kv， kR线线垂直 l ma bab0线面垂直 l a a k ， kR面面垂直 v v 0线线夹角 l，
2、m 的夹角为 (0 )，cos 2|ab|a|b|线面夹角 l， 的夹角为 (0 )，sin 2 |a |a| |面面夹角 ， 的夹角为 (0 )，cos 22 | v| |v|知识点二 用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)
3、几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.类型一 空间向量及其运算例 1 如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， S 到 A、 B、 C、 D 的距离都等于 2.给出以下结论： 0；SA SB SC SD 0；SA SB SC SD 0；SA SB SC SD ；SA SB SC SD 0.SA SC 其中正确结论的序号是 .答案 3解析 容易推出 0，所以正确；又因为底面 ABCD 是边长为 1 的SA SB SC SD BA DC 正方形， SA SB SC SD2，所以 22cos ASB，
4、 22cos CSD，SA SB SC SD 而 ASB CSD，于是 ，因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序SA SB SC SD 号是.反思与感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练 1 如图，在平行六面体 A1B1C1D1 ABCD 中， M 分 成的比为 ， N 分 成的比为AC 12 A1D 2，设 a， b， c，试用 a、 b、 c 表示 .AB AD AA1 MN 解 连接 AN，则 ，MN MA AN 由已知 ABCD 是平行四边形，故 a b，AC AB AD 又 M 分
5、 成的比为 ，AC 12故 (a b).MA 13AC 13由已知， N 分 成的比为 2，故 (c2 b).A1D AN AD DN AD ND AD 13A1D 13于是 (a b) (c2 b) ( a b c).MN MA AN 13 13 13类型二 利用空间向量解决位置关系问题例 2 四棱锥 P ABCD 中， PD平面 ABCD， ABCD 是正方形， E 是 PA 的中点，求证：(1)PC平面 EBD.(2)平面 PBC平面 PCD.证明 (1)如图，以 D 为坐标原点，分别以 DC， DA， DP 所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系.4设 DC a，
6、PD b，则 D(0，0，0)， C(a，0，0)， B(a， a，0)， P(0，0， b)， E(0， ).a2 b2(0， )， ( a， a，0).DE a2 b2 DB 设平面 EBD 的一个法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!令 x1，得 n(1，1， )，ab因为 n( a，0， b)(1，1， )0，PC ab所以 n，故 PC平面 EBD.PC (2)由题意得平面 PDC 的一个法向量为 (0， a，0)，DA 又 ( a， a， b)， ( a，0， b)，PB PC 设平面 PBC 的一个法向量为 m( x1， y1， z1)，则Error!
7、即Error!得 y10，令 x11，则 z1 ，所以 m(1，0， )，ab ab因为 m(0， a，0)(1，0， )0，DA ab所以 m，即平面 PBC平面 PCD.DA 反思与感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线
8、面垂直的方法5证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练 2 正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别是 BB1、 CD 的中点，求证：平面 AED平面 A1FD1.证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体棱长为 1，则E ， D1(0，0，1)， A(1，0，0)， F .(1， 1，12) (0， 12， 0) (1，0，0) ， ， .DA D1A1 DE (1， 1， 12) D1F (0， 12， 1)设 m( x1， y1
9、， z1)， n( x2， y2， z2)分别是平面 AED 和 A1FD1的一个法向量，由Error! 得Error!令 y11，得 m(0，1，2).又由Error! 得Error!令 z21，得 n(0，2，1). mn(0，1，2)(0，2，1)0， m n，故平面 AED平面 A1FD1.类型三 利用空间向量求角例 3 如图所示，长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB16， BC10， AA18，点 E， F 分别在A1B1， D1C1上， A1E D1F4.过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)
10、求直线 AF 与平面 所成角的正弦值.解 (1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示，6(2)作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E4， EM AA18.因为 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC10.于是 MH 6，所以 AH10.EH2 EM2以 D 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则DA A(10，0，0)， H(10，10，0)， E(10，4，8)， F(0，4，8)， (10，0，0)，FE (0，6，8).HE 设 n( x， y， z)是平面 EHGF 的法向量，则Error! 即Error!所以可取 n(0，4，3).
11、又 (10，4，8)，故|cos n， | .AF AF |nAF |n|AF | 4515所以 AF 与平面 EHGF 所成角的正弦值为 .4515反思与感悟 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为 0| |，且 与 同向，则 AB CD AB CD AB CD AB CD D.若两个非零向量 与 满足 0，则 AB CD AB CD AB CD 答案 D解析 A 错.因为空间任意两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面.B 错.因为| a| b|仅表示 a 与 b 的模相等，与方向无关.C 错.因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有 这种AB CD 写法.D 对. 0， ， 与 共线，AB CD AB CD AB CD 故 正确.AB CD 2.在正方体 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 的对角线交于点 O，且 a， b，则 等于( )OA OB BC A. a b B.a b C. a b D.2(a b)12答案 A解析 a b.BC BO OC BO OA OA OB 3.在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 是 AB 的中点，则 sin ， 的值等于( )DB1 CM
