1、 1 四川省 成都市2017 届高三 数学6 月热身考试 试题 文 第卷（共60 分） 一、 选择题： 本大题共12 个小题,每小题5 分,共 60 分.在每小题给出的四个 选 项中， 只有一项是符合题 目 要求的. 1. 复数 2 5 , z i i 是虚 数单 位， 则z 的共轭复 数的 虚部 是（ ） A5i B 5i C 5 D 5 2. 双 曲线 22 1 45 xy 的 离 心率 为 （ ） A 35 5B 3 2C 5 3D 2 33. 已知 , xy 的取值 如下 表所 示 从散点 图分 析y 与x 的线 性关 系，且 0.95 y x a ，则a （ ） A 2.2 B3.3
2、6 C 2.6 D1.95 4. 在 等差 数列 n a 中， 已知 2 a 与 4 a 是方程 2 6 8 0 xx 的两 个根 ，若 42 aa ，则 2018 a （ ） A 2018 B 2017 C 2016 D 2015 5. 命题 :“ , ln 0“ p x e a x 为真命 题的 一个 充分不 必要 条件 是（ ） A 1 a B 1 a C 1 a D 1 a 6. 孙 子 算经 中 有道 算 术题： “今 有百 鹿入 城， 家 取一鹿 不尽 ，又 三家 共一 鹿适尽 ，问 城中 家几 何？ ” ， 意思是 有 100 头 鹿， 若每 户分一 头则 还有 剩余 ，再 每三
3、户 分一 头则 正好 分完 ，问共 有多 少户 人家 ？涉 及框 图如下 ，则 输出i 的值 是（ ） A 77 B 76 C 75 D 74 2 7. 如 图是 一个 正三 棱柱 挖 去一个 圆柱 得到 的一 个几 何体的 三视 图 ， 则 该几 何 体的体 积与 挖去 的圆 柱的 体积 比为（ ） A 33 1 B 3 3 1 3 C 33 D 33 1 8. 有 一个 正方 体的 玩具 ， 六个面 分别 标注 了数 字1,2,3,4,5,6 ，甲乙两 位学 生进 行如 下游 戏：甲 先抛 掷一 次，记 下正 方体 朝上 的数 字为a ，再由 乙抛 掷一 次， 朝上数 字为b ，若 1 a
4、b 就称 甲、 乙两人 “默 切配 合” ， 则甲 、乙 两人 “默 切 配合” 的概 率 （ ） A 1 9B 2 9C 7 18D 4 99. 若 函数 32 1 (2 1) 1 3 x x x f x e me m e 有两 个极 值点 ， 则实数m 的取 值范 围是 （ ） A 1 ( ,1 2) 2 B 1 ,1 2 2 C ( ,1 2) D( ,1 2) (1 2, ) 10. 已 知等 差数 列 n a 中， 25 4, 7, , a a m n N ， 满 足 1 2 3 1 m m m m m nn a a a a a ，则 n 等于 （ ） A1 和 2 B 2 和3 C
5、3 和 4 D 2 和 4 11. 若 函数 sin(2 ) f x x b ，对 任意 实数x 都有 2 ( ) ( ), ( ) 1 33 f x f x f ，则实 数b 的值 为（ ） 3 A 2 和 0 B 0 和1 C 1 D 2 12. 已知 12 , FF 为双曲 线 22 22 1( , 0) xy ab ab 的左右 焦点， 过 1 F 的直线l 与圆 2 2 2 xyb 相切 于点M ， 且 21 2 MF MF ，则 直线l 的斜 率是 （ ） A 3 2B 7 2C 3 2 D 7 2 第卷（共90 分） 二、填空题（每题 5 分， 满分 20 分，将答案填在答 题纸
6、上） 13. 已 知向 量 (3,0), ( 2,1), a b b c ，且 7 a b c ，则t 14. 将 参加 冬季 越野 跑的 600 名 选手编 号为 ：001,002, ,600 ， 采 用系 统 抽样 方 法抽 取一 个容 量为50 的样 本，把 编号 分为50 组后 ，第 一组的 001 到 012 这12 个编 号中 随机 抽得的 号码 为 004 ，这 600 名选手 穿着 三种颜 色的 衣服 ，从 001 到301 穿红色衣 服， 从302 到 496 穿白 色衣 服，从 497 到 600 穿黄色 衣服 ，则 抽 到穿白 色衣 服的 选手 人数 为 15. 已 知直
7、 线l 与x 轴不 垂直 ， 且直线l 过点 (2,0) M 与抛 物线 2 4 yx 交于 , AB 两点， 则 22 11 AM BM 16. 如 图 ， 在 棱长 为1 的正方 体 1 1 1 1 ABCD ABCD 中 ， 动 点P 在其表 面上 运 动， 且 PA x ， 把 点的 轨迹 长 度 L f x 称为 “喇 叭花 ”函 数， 给出下 列结 论： 3 1 4 f ； 3 ( 2) 2 f ； 2 3 5 3 () 36 f ； 21 3 () 33 f 其中正 确的 结论 是： （填 上你 认为 所有 正确的 结论 序号 ） 三、解答题 （本大题 共6 小题，共 70 分.
8、解答应写 出文字说明、证明过 程或 演算步骤.） 4 17. 在 ABC 中 ， 内 角 , A B C 的对边 分 别为 , abc ， 已 知向 量 (cos 2cos ,2 ), (cos , ) m A C c a n B b 平行. （1）求 sin sin C A 的值； （2）若 cos cos 1, b C c B ABC 周长为5 ，求b 的长. 18. 微 信运 动和 运动 手环 的普及 ，增 强了 人民 运动 的积极 性， 每天 一万 步称 为一种 健康 时尚 ，某 中学 在全 校范围 内内 积极 倡导 和督 促师生 开展 “每 天一 万步 ”活动 ，经 过几 个月 的扎
9、 实落地 工作 后， 学校 想了 解全 校师生 每天 一万 步的 情况 ，学校 界定 一人 一天 走路 不足 4 千步为 不健 康生 活方 式，不 少于16 千步 为超 健康 生活方 式者 ，其 他为 一般 生 活方 式者 ，学 校委 托数 学组调 查， 数学 组采 用分 层抽样 的办 法去 估计 全校 师生 的情况 ， 结合 实际 及便 于分 层抽样 ， 认定 全校 教师 人数 为 200 人 ， 高 一学 生人 数为 700 人 ， 高二学 生人 数 600 人， 高三 学生 人数500 ， 从 中 抽取n 人作为 调查 对象 ， 得 到了如 图所 示的 这n 人的频 率分布 直方 图 ，
10、 这n 人 中有 20 人被学 校界 定为 不健 康生活 方式 者. （1 ） 求这 次作 为抽 样调 查 对象的 教师 人数 ； （2 ） 根据 频率 分布 直方 图 估算全 校师 生每 人一 天走 路步数 的中 位数 （四 舍五 入精确 到整 数步 ） ； （3 ） 校办 公室 欲从 全校 师 生中速 记抽 取3 人作为 “每 天一万 步” 活动 的慰 问对 象，计 划学 校界 定不 健康 生 活方式 者鞭 策性 精神 鼓励0 元， 超 健康 生活 方式 者表 彰奖励 20 元， 一般 生活 方式 者鼓励 性奖 励10 元， 利 用 样本估 计总 体， 将频 率视 为概率 ，求 这次 校办
11、 公室 慰问奖 励金 额恰 好为30 元的 概率. 19. 已 知球 内接 四棱 锥P ABCD 的高 为3, , AC BC 相交 于O ，球的 表面 积为 169 9 ，若E 为PC 中点. （1 ） 求异 面直 线BP 和AD 所成 角 的余弦 值； （2 ） 求点E 到平 面PAD 的距离. 5 20. 已知 椭圆 22 22 : 1( 0) xy C a b ab 的右 焦点 ( 3,0) ， 且经过 点 3 ( 1, ) 2 ，点M 是x 轴上 的一 点， 过点M 的直线l 与椭 圆C 交于 , AB 两点（点A 在x 轴的上 方） （1 ） 求椭 圆C 的方程 ； （2）若 2
12、AM MB ，且直 线l 与圆 22 4 : 7 O x y 相切 于点N ，求 MN 的长. 21. 已 知函 数 ( 0) x e f x x x ，直线 : 2 0 l x ty . （1 ） 若直 线l 与曲线 y f x 相切 ， 求切点 横坐 标的 值； （2 ） 若函 数 3 3 ( 0) x x g x x e ，求证 ： f x g x . 请考生在 22 、23 两题中任 选一题作答，如果多 做， 则按所做的 第一题记 分. 22.选修 4-4： 坐标 系与 参 数方程 在直角 坐标 系xOy 中， 圆C 的参 数方程 1 cos ( sin x y 为参 数） ， 以O
13、为极 点 ，x 轴的 非负 半轴 为极 轴建 立极坐 标系. （1 ） 求圆C 的极 坐标 方程 ； （2 ） 直线l 的极 坐标 方程 是 (sin 3 cos ) 3 3 ，射线 11 : (0 ) 2 OM 与圆C 的交 点为 6 , OP ，与直 线l 的交点 为Q ，求OP OQ 的范围. 23.选修 4-5： 不等 式选 讲 已知函 数 2 2 3 , 1 2 f x x a x g x x . （1 ） 解不 等式 5 gx ； （2 ） 若对 于任 意 1 xR ，都有 2 xR ， 使得 12 ( ) ( ) f x g x 成立， 求实 数a 的取值 范围. 试卷答案 一、
14、选择题 1-5: DBCAB 6-10: CADAB 11 、A 12 ：C 二、填空题 13. 2 14. 17 15. 1 416. 三、解答题 17. 解： （1 ）由 已知 得 (cos 2cos ) (2 )cos b A C c a B ， 由正弦 定理 ，可 设 0 sin sin sin a b c k A B C ， 则 (cos 2cos ) sin (2 sin sin )cos A C k B k C k A B ， 即 (cos 2cos )sin (2sin sin )cos A C B C k A B ， 7 化简可 得sin( ) 2sin( ) A B B C
15、 ，又A B C ， 所以sin 2sin CA ，因此 sin 2 sin C A . （2 ） 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 1 2 2 2 a b c a c b a b C c B b c a ab ac a ， 由（1 ）知 sin 2 sin cC aA ，则 2 c ，由 周长 5 abc ，得 2 b . 18. 解： （1 ）由 频率 分布 直 方图知 0,4 的频 率为0.05 4 0.2 ，于 是 20 0.2, 100 n n ， 由分层 抽样 的原 理知 这次 作为抽 样调 查对 象的 教师 人数为 200 1 100 100 10 200 700
16、600 500 10 人. （2 ） 由频 率分 布直 方图 知 0,4 的频率 为 0.2, 4,8 的频率 为 0.25, 8,12 的频率 为 0.3 ， 设中位 数为x ，则 0.2 0.25 ( 8) 0.075 0.5 x ，于 是 26 3 x （千步） ； （3 ） 有频 率分 布直 方图 知 不健康 生活 方式 者概 率为0.2 ，超健 康生 活方 式者 的概 率为0.1 ，一般 生活 方式 者的概 率为0.7 ， 因为30 10 10 10 0 10 20 0 20 10 10 0 20 10 20 0 20 0 10 20 10 0 ， 这次校 办公 室慰 问奖 励金 额
17、恰好 为30 元的概 率为 3 0.7 6 0.2 0.7 0.1 0.427 . 19. 解 ：由 球的 表面 积公 式 2 4 SR ，得球 的半 径 13 6 R ， 设球心 为 1 O ，在正 四棱 锥P ABCD 中，高为PO ，则 1 O 必在PO 上， 连 1 AO ，则 11 5 13 , 66 OO AO ， 则在 1 Rt OOA ，有 2 2 2 11 OO OA O A ，即 2 OA ，可得 正方 形ABCD 的边 长为22 , 侧棱 22 13 PA OP OA . （1 ） 在正 方形ABCD 中， / BC AD ，所 PBC 以 是异面 直线BP 和AD 所成
18、的 角或 其补角 ， 取BC 中点M ，在 等腰 PBC 中， 可得PM BC ，斜高 11 PM ， 则在Rt PMB 中， 2 26 cos 13 13 BM PBC PB ， 所以异 面直 线BP 和AD 所成 的角 的余弦 值为 26 13 ； （2）由 , OE 为 , CA CP 中点 ，得 / OE AP ， 8 且满足OE 平面 , PAD AP 平面PAD ，所 以 / OE 平面PAD ， 所以E 到平面PAD 的距 离等 于O 到平面PAD 的距离 ， 又因为 11 2 2 11 22, 2 2 2 22 PAD AOD SS , 再设O 到平面PAD 的距 离为h ，则
19、 由 E PAD O PAD P AOD V V V ， 可得 11 33 PAD AOD S h S PO ，则 3 22 11 h ， 所以点E 到平 面PAD 的距离 3 22 11 . 20. 解：（ 1 ）由 题意 知 2 2 2 2 2 2 3 3 () ( 1) 2 1 4 a b c b ，即 2 ( 4)(4 3) 0 aa ， 又 22 33 ab ，故 22 4, 1 ab ， 椭圆C 的方程 为 2 2 1 4 x y . （2）设 ( ,0) Mm ，直线 1 1 2 2 : , ( , ), ( , ) l x ty m A x y B x y ， 由 2 AM M
20、B ，有 12 2 yy ， 由 2 2 2 2 2 1 ( 4) 2 4 0 4 x y t y my m x yy m ， 由韦达 定理 得 2 1 2 1 2 22 24 , 44 tm m y y y y tt ， 由 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 , 2 y y y y y y y y ，则 22 1 2 1 2 1 2 2 ( ) ( ) y y y y y y ， 2 2 22 42 , 2( ) 44 m tm tt ，化简 得 2 2 2 2 ( 4)( 4) 8 m t t m ，原点O 到直 线的 距离 2 1 m d t ， 又直线l 与圆 22 4 : 7
21、O x y 相切 ，所 以 2 4 7 1 m t ，即 22 7 1 4 tm ， 9 2 2 2 2 42 22 ( 4)( 4) 8 21 16 16 0 7 1 4 m t t m mm tm ，即 22 (3 4)(7 4) 0 mm ， 解得 2 4 3 m ，此时 2 4 3 t ，满 足 0 ，此时 23 ( ,0) 3 M ， 在Rt OMN 中， 4 4 4 21 3 7 21 MN ，所 以 MN 的长为 4 21 21 . 21. 解： （1 ）由 ( 0) x e f x x x ，得 22 ( 1) ( 0) x x x e x e e x f x x xx ， 易
22、知 (0,1) x 时， 0, f x f x 单调递 减， (1, ) x 时， 0, f x f x 单调递 增， 根据直 线l 的方程 2 x ty ，可 得l 恒过点 (2,0) ， 当 0 t 时，直 线:2 lx 垂直x 轴，与 曲线 y f x 相交于 一点 ，即 焦点 横坐标 为 2 ； 当 0 t 时，设 切线 00 ( , ) A x y ，直 线l 可化为 12 yx tt ，斜率 0 0 0 2 0 ( 1) 1 () x ex k f x tx ， 又直线l 和曲 线 y f x 均过点 00 ( , ) A x y ，则 满足 0 00 0 12 x e yx t
23、t x ， 所以 00 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 ( 1) ( 1) 1 2 1 1 2 1 () xx e x e x x x x x x x x t t x x x t ，两边 约去t 后， 可得 0 0 0 1 ( 2) 1 x x x ，化简 得 2 00 4 2 0 xx ， 切点横 坐标 0 22 x ，综 上所 述， 由和 可 知， 该公 共点 的横坐 标为 2 和22 ； （2 ） 若 0 1, 1 mn 时， 欲证 f m f n ， 由题意 2 mn ，由 问可 知 fx 在 (1, ) 上单 调递减 ，证 (2 ) f m f m 对 (0,1)
24、 m 恒成立 即可. 设函数 ( ) 2 (2 ) m f m f m ，则 2 2 (2 1) ( ) (2 ) (2 ) m em m f m f m m ， 即 2 22 ( ) ( 1) ( ) (2 ) mm ee mm mm ， 10 设 2 ( 0) x e h x x x ，则 3 ( 2) x ex hx x ， 易知 (0,2) x 时， 0, ( ) h x h x 单调递 减， (2, ) x 时， 0, ( ) h x h x 单调递 增， 当 (0,1) m 时， 有 2 (1,2) m ，且满 足 2 mm ，故 ( ) (2 ) 0 h m h m ， 即 2
25、22 0 (2 ) mm ee mm ，又 10 m ，则 ( ) 0 m ， 所以 m 在 (0,1) 上单 调递 减， 有 10 m ， 即 2 f m f m ，所 以 f m f n . 22. 解： （1 ）圆C 的普 通方 程 是 22 ( 1) 1 xy ，又 cos , sin xy ， 所以圆C 的极 坐标 方程 是 2cos . （2）设 11 ( , ) P ，则有 1 1 2 1 cos , ( , ) Q ，则 有 2 11 33 sin 3 cos ， 所以 1 1 2 1 1 1 1 6 3 cos 63 (0 ) 2 sin 3 cos 3 tan OP OQ
26、， 因为 1 tan 0 ，所以06 OP OQ . 23. 解： （1 ）由 1 2 5 x ，得 5 1 2 5 7 1 3 xx ， 得不是 的解 集为 | 2 4 xx . （2 ） 因为 任意 1 xR ，都 有 2 xR ，使 得 12 ( ) ( ) f x g x 成立 ，所 以 | | y y f x y y g x ， 又 2 2 3 (2 ) (2 3) 3 , 1 2 2 f x x a x x a x a g x x ， 所以 32 a ，解得 1 a 或 5 a ，所以 实数a 的取值 范围 为 1 a 或 5 a . 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
