1、求轨迹方程的常用方法一、求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭 圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件， 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2. 直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以 判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的 几何上的等量关系，再用点 P 的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得 到轨迹方程。3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动 的某个几何量 t，以此量作为参变数，分别建
2、立 P 点坐标 x，y 与该参数 t 的函数关系 xf（t） ，yg（t） ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 F （x，y）0。4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的， 而该点的运动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P （x，y） ，用（ x，y）表示出相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知 曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线 的性质等） ，可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，
3、这 类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得 所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到 轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。二、求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律， 即 P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。)()0)(.2 为 参 数又 可 用 参 数 方 程表 示程轨 迹 方 程 既 可 用 普 通 方 tgyfx，yxF来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通 方程。3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解， （即以 该方
4、程的某些解为坐标的点不在轨迹上） ，又要检验是否丢解。 （即轨迹上 的某些点未能用所求的方程表示） ，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补 充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。三、典例分析1.用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例 1：已知 的顶点 A，B 的坐标分别为（-4
5、，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足C求点 C 的轨迹。,sin45isnB【解析】由 可知 ，即 ，满足椭 ,si 15cab10|BA圆的定义。令椭圆方程为 ，则 ，12yax 34, b则轨迹方程为 （ ，图形为椭圆（不含左，右顶点） 。952)5x【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1） 圆：到定点的距离等于定长（2） 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4） 到定点与定直线距离相等。【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1，圆 的圆心为M2， 一动圆与这两个圆外切，求动
6、圆圆心 P 的轨迹方程。解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得： ，。动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M 2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b 2=12。故所求轨迹方程为2:一动圆与圆 O： 外切，而与圆 C： 内切，那么动圆的圆12yx 0862xy心 M 的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】令动圆半径为 R，则有 ，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选1|RMOD。2.用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例 2： 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？解
7、 设 M 点的坐标为 由平几的中线定理：在直角三角),(yx形 AOB 中，OM= ,21aAB2,yxayxM 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周.【点评】此题中找到了 OM= 这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法21有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。4）借助平几中的
8、有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式 2】: 动点 P（x,y）到两定点 A（3，0）和 B（3，0）的距离的比等于 2（即） ，求动点 P 的轨迹方程？2|PBA【解答】|PA|= 22)3(|,)3( yxByx代入 得|PBA 22 4)3()( yx化简得（x5） 2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆.3.用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。
9、注意参数的取值范围。例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l 2，若 l1交 x 轴于 A 点，l 2交 y 轴于 B点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。【解析】分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ， （k）)(22 ll的 方 程 为则 直 线由A)0(1 的 坐 标 为轴 交 点与kByl 42 的 坐 标 为轴 交 点与M 为 AB 的中点，)(124为 参 数kyx消去 k，得 x2y50。另
10、外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程；当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用PAB 为直角三角形的几何特性：|21|ABMP解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ，l 1l 2，PAB 为直角三角形|21|P由 直 角 三 角 形 的 性 质222 )()4()( yxyx化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。分析 3：设 M（x，y）
11、 ，由已知 l1l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k21，即可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法 3：设 M（x，y） ，M 为 AB 中点，A（2x，0） ，B（0，2y） 。又 l1，l 2过点 P（2，4） ，且 l1l 2PAPB，从而 kPAkPB1，0yxkBPA而0522 xy， 化 简 ， 得注意到 l1x 轴时，l 2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4）中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x2y50综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。【点评】解法 1 用
12、了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运 用了 kPAkPB1， 这些等量关系。用参数法求解时，一 |21|P般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度， 有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意 义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式 3】过圆 O：x 2 +y2= 4 外一点 A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的 中点 M 的轨迹。 解法一：“几何法”设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以 OMBC,所以|OM | | | ， 即(x 2 +y2)+
13、(x ) 2 +y2 =16化简得：（x2） 2+ y2 =4由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1） 。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。解法二：“参数法”设点 M 的坐标为（x,y） ，B（x 1,y1）,C （x 2,y2）直线 AB 的方程为 y=k(x4),由直线与圆的方程得（1+k 2）x 2 8k 2x +16k24=0.(*),由点 M 为 BC 的中点，所以 x= .(1) , 2214kx又 OMBC ，所以 k= .(2)由方程（1） （2）y消去
14、k 得（x2） 2+ y2 =4,又由方程（*）的0 得 k2 ,所以 x1.3所以点 M 的轨迹方程为（x2） 2+ y2 =4 （0x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心，2 为半径的圆在圆 O 内的部分。4.用代入法等其它方法求轨迹方程例 4. 的的 中 点求 线 段为 定 点上 的 动 点是 椭 圆点 MAB，aAbyaxB)02(12轨迹方程。分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点，且点 B 的运动是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点法求动点 M 的轨迹方程。【解析】设动点 M 的坐标为（x，
15、y） ，而设 B 点坐标为（x 0，y 0）则由 M 为线段 AB 中点，可得yayax2200即点 B 坐标可表为（2x2a，2y）上在 椭 圆点又 1)(20byaxyx，ba )(12220从 而 有14)(22byaxM，的 轨 迹 方 程 为得 动 点整 理【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式 4】如图所示，已知 P(4，0) 是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点Q 的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 【解析】： 设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在 RtA
16、BP 中，|AR|=|PR| 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在 RtOAR 中，|AR| 2=|AO|2|OR| 2=36(x 2+y2)又|AR|=|PR|= )4( BQRAPoy x所以有(x4) 2+y2=36(x 2+y2),即 x2+y24x10=0因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 Q(x,y)，R( x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以
17、x1= ,0,241y代入方程 x2+y24x 10=0, 得10=0)(整理得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 四、常见错误：【例题 5】 中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，求点 AA的轨迹方程。【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为 ，12byax则由定义可知 ，则 ，得轨迹方程为3,5ca4b1625yx【错因剖析】ABC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。【正确解答】A
18、BC 为三角形，故 A，B，C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点 ，)0,5.(,即轨迹方程为 )5(1625xyx提示：1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其 中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外， 要将其“捉拿归案” 。2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方 法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。针对性练习：1:已知两点 给出下列曲线方程：)45,(),1NM ； ； ； ，在曲线上存在点024yx32y
19、x12yx12yxP 满足 的所有曲线方程是（ ）|A B C D 【答案】:D【解答】: 要使得曲线上存在点 P 满足 ,即要使得曲线与 MN 的中垂线|NM有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选 D32xy2.两条直线 与 的交点的轨迹方程是 .01my01yx【解答】:直接消去参数 即得 (交轨法): 02yx3:已知圆的方程为(x-1) 2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程是 .【解答】:令 M 点的坐标为( ,则 A 的坐标为(2 ,代入圆的方程里面得:)yx)2yx041)2(yx4:当参数 m 随意变化时，则抛物线 的顶点的轨
20、迹方程为yxmx221_。【分析】：把所求轨迹上的动点坐标 x，y 分别用已有的参数 m 来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为 m1254它的顶点坐标为 xy54，消去参数 m 得： y34故所求动点的轨迹方程为 。0xy5:点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，则点 M 的轨迹方程为x5_。【分析】：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线 的距离小 1，意味着点 M0到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M0的轨迹方程。【解答】：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线 的距离相等。则
21、点x4M 的轨迹是以 F（4，0）为焦点、 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 。xyx2166:求与两定点 距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_OA103， 、 ，【分析】:设动点为 P，由题意 ，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等2量关系式。【解答】：设 是所求轨迹上一点，依题意得xy， OPA12由两点间距离公式得： yx231化简得： xy207 抛物线 的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点42C 在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。【分析】：抛物线 的焦点为 。设ABC 重心 P 的坐标为 ，点xy201，F()xy，C 的坐标为 。其
22、中()x1， 1【解答】：因点 是重心，则由分点坐标公式得：Py， 3211yx，即 x32311，由点 在抛物线 上，得：Cy， xy42 124xy将 代入并化简，得： （x3211， 32)8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（ ，0），直线 y=x1 与其相交于 M、N 两点，MN 中点的横坐标为 ，求此双曲线方程。【解答】：设双曲线方程为 。将 y=x1 代入方程整理得2byax。由韦达定理得 。又有 ，联立方程322,2121 baxbax组，解得 。5,2a此双曲线的方程为 。9.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。【解
23、答】：设点 P 的坐标为（x，y），则由题意可得 。（1）当 x3 时，方程变为 ，化简得1)1(,43)1( 22 xyxy。)30(42y（2）当 x3 时，方程变为 ，化简得xx 7)(,)( 22。故所求的点 P 的轨迹方程是 或10.过原点作直线 l 和抛物线 交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点642xyM 的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y=kx。把它代入抛物线方程 ，得 。因为直线和抛物线相交，所以0，解得 。),624()624,( x设 A（ ），B（ ），M（x，y），由韦达定理得。由 消去 k 得 。又 ，所以 。),6(),(x点 M 的轨迹方程为 。,42y
