1、九年级数学元旦短训班中考必考之圆综合 【板块一】概念、性质综合运用【知识点睛】圆概念、性质圆的概念、定义：等腰三角性 线段、角度关系一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（弧的度数= 弧所对圆心角度数）直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或者等圆中，相等的圆周角所对的弧相等圆的轴对称性垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧知二得三：圆心；平分弦；垂直弦；平分劣弧；平分优弧圆的旋转不变性同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组
2、量都分别相等圆中处理问题的灵活性、综合性：（1）半径相等，线段可以转移；（2）圆周角可以转移；（3）弦、弧、角之间关系的转化；（4）其它几何知识可以放在圆的背景中考查 中考经典1 （2010 成都）如图，在ABC 中， AB为O 的直径， 60B，70C， 则 BOD的度数是_度2 （2011 江苏无锡）如图，以原点 O 为圆心的圆交 x 轴于点 A、B 两点，交y 轴的正半轴于点 C，D 为第一象限内O 上的一点，若DAB = 20，则OCD = _3 （2011 江苏连云港）如图，点 D 为边 AC 上一点，点 O 为边 AB 上一点，AD=DO以 O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交 A
3、C 于另一点 E，交AB 于点 F，G ，连接 EF若 BAC=22 ，则EFG=_4（2010 芜湖）如图所示，在圆O 内有折线 OABC，其中OA=8，AB=12 ，A=B =60，则 BC 的长为_ 5 （2010 荆门）如图，MN 是O 的直径，MN=2，点 A 在O 上，AMN=30 ， B 为 AN的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为_6 （2010 泰州）如图O 的半径为 1cm，弦 AB、 CD 的长度分别为2cm，1cm 则弦 AC、BD 所夹的锐角 7已知圆 O 的半径为 1，弦 ，则 BAC 等于_8相交两圆的半径分别为 8 和 5，公共弦为 8
4、，这两个圆的圆心距等于_【板块二】与圆有关的位置关系第 1 题图DOCBA DCBAyxO第 2 题图 CBOA第 4 题图CEDBGOFA第 3 题图 PBAONM第 5 题图 第 6 题图 DOCBA【知识点睛】点与圆的位置关系d 表示点到圆心的距离，r 表示半径，当 d r 时，点在圆外；当 d r 时，点在圆上；当 0d r 时，点在圆内直线与圆的位置关系时，相离; ，相切; ，相交切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径切线的判定：（1） 定义（2） 连半径，证垂直（3） 作垂直，证半径切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
5、圆与圆的位置关系dR+r，外离 d=R+r，外切 R-rdR+r，相交1 l2l1NMOBAd=R-r，内切 0dR-r，内含练习：（1）两圆相切，半径分别为 4cm 和 6cm，则两圆的圆心距等于_（2）已知圆 O1 和圆 O2 相内切，圆心距为 1cm，圆 O2 半径为 4cm，求圆O1 的半径等于_ 中考经典9在 RtABC 中，C =90，AC=3，BC=4，以 C 为圆心，R 为半径作圆与斜边 AB 有一公共点，则 R 的取值范围为 10(2010 苏州) 如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 (2，0)、(0，2) ，C 的圆心坐标为(1，0)，半径为 1若 D 是C 上的一个动点
6、，线段 DA与 y 轴交于点 E，则 ABE 面积的最小值是( )A2 B1 C D 211 （2010 四川）如图，直线 l1l 2，O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点B点 M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上的动点，MN 沿 l1 和 l2 平移O 的半径为 1，160 下列结论 错误的是（ ） A 43MN B若 MN 与O 相切，则 3AMC若 MON90 ，则 MN 与O 相切Dl 1 和 l2 的距离为 212如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，DCBC，AB=ADBC，且 AB 为O 的直径，求证：O 与 DC 相切第 10 题图y xOEDCBA第 11 题
7、图EDCBOAFEODCBAPO 2O113 （2011 淄博）已知：ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 O 在边 AB 上，O 过点 B 且分别与边 AB，BC 相交于点 D，E，EFAC ，垂足为 F（1）求证：直线 EF 是O 的切线；（2）当直线 DF 与O 相切时，求O 的半径14 （2010 山东）如图，小圆的圆心在原点，半径为 3，大圆的圆心坐标为(a，0) ，半径为 5，如果两圆内含，那么 a 的取值范围是_15 （2010 鄂尔多斯）如图，O 1 和O 2 的半径分别为 1 和 2，连接 O1 O2，交O 2 于点 P，O 1 O2=5，若将O 1 绕点 P 按顺时针方向
8、旋转 360，则O 1 与O 2 共相切 _次BA NMlAB第 14 题图 第 15 题图16如图所示，点 A、B 在直线 MN 上，AB=11cm ，A 、B 的半径均为1cm，A 以每秒 2cm 的速度自左向右运动，与此同时，B 的半径也不断增大，其半径 r(cm)与时间 t(秒)之间的关系式为 r=1+t(t0)，当点A 出发后_秒两圆相切17(2011 浙江) 如图，相距 2cm 的两个点 A、B 在直线 l上，它们分别以 2 cm/s 和1 cm/s 的速度在 l上同时向右平移，当点 、B 分别平移到点 1A、 B的位置时，半径为 1 cm 的 与半径为 1的B 相切，则点 平移到
9、点 1A的所用时间为 s【板块三】确定圆条件【知识点睛】（1）不在一条直线上的三个点共圆；（2）四点共圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心，是三角形三条角平分线的交点过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，圆心叫三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点O xyBCA第 18 题图 OPEDCBA圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角【中考经典】18 （2011 山东烟台）如图，ABC 的外心坐标是 _19（2011 江西南昌）如图，在ABC 中，点 P 是 ABC 的内心，则PBC+PCA+ PAB= 度20如图，AB 是直径，C、D 是圆上的两点，连结
10、AC、CD ，作射线 AD，若BAC=20 ，则 CDE 的度数为 _21 （2010 广东广州）如图，O 的半径为 1，点 P 是O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是 APB上任一点（与端点 A、B 不重合） ，DEAB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作D ，分别过点 A、B作D 的切线，两条切线相交于点 C（1）求弦 AB 的长；（2）判断ACB 是否为定值，若是，求出ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记ABC 的面积为 S，若 2DE4 3，求 ABC 的周长 第 19 题图 第 20 题图PB ADCOyx22 （2011 广东茂名）如图，P 与 y轴
11、相切于坐标原点 O(0，0)，与 x轴相交于点 A(5， 0)，过点 A 的直线 AB 与 轴的正半轴交于点 B，与P 交于点 C(1)已知 AC 3，求点 B 的坐标； (2)若 AC a，D 是 OB 的中点问：点 O、P 、C、D 四点是否在同一圆上？请说明理由如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为 1O，函数 xk的图象经过点 1，求 k的值(用含 a的代数式表示) ABCDEFPOFEDC BA测试提高23 （2011 福建莆田）已知菱形 ABCD 的边长为 1ADC=60，等边AEF两边分别交边 DC、CB 于点 E、F（1）特殊发现：如图 1，若点 E、F 分别是边 DC、CB
12、的中点求证：菱形 ABCD 对角线 AC、BD 交点 O 即为等边 AEF 的外心；（2）若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动记等边AEF 的外心为点P猜想验证：如图 2，猜想AEF 的外心 P 落在哪一直线上，并加以证明；图 1 图 2图 1OBCDA ODCBA【板块四】圆中常见辅助线圆中有弦，常作弦心距（或者作垂直于弦的半径或直径，有时还要连结过弦端点的半径）1 （2010 舟山）如图，已知O 的半径为 5，锐角 ABC内接于O，BDAC 于点 D，AB=8 ， 则 tanCBD 的值等于（ ）A 34 B 5 C 3 D 4构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定
13、理来沟通弦、弧、弦心距之间的联系圆中有直径，常作直径所对的圆周角或者（由圆周角 90，可以找直径）例如第一讲第 18 题圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形（若题中有三角函数但无直角三角形，则也需作直径构造直角三角形）2（2010 黑河）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，若O 的半径为 6，sinB= 13，则线段 AC 的长是_练习：（2010 舟山）如图，已知O 的半径为 5，锐角 ABC 内接于O，BD AC 于点 D，AB =8， 则 tanCBD 的值等于（ ）A 34 B 5 C 3 D 4圆中有切线，常作过切点的半径（若无切点，则过圆心作切线的垂线）3（2011
14、江苏苏州）如图，已知 AB 是O 的一DOCBADOCBA条直径，延长 AB 至 C 点，使得 AC=3BC，CD 与 O 相切，切点为 D若CD= 3，则线段 BC 的长度等于_4遇到三角形外心，常连接外心和三角形顶点得半径；遇到三角形内心，常连接内心和三角形各边切点得垂直、得半径；连接内心和顶点得角平分线如第一讲中 17、19 题两圆相切，常作两圆的连心线；两圆相交时，常引的辅助线是：公共弦；连心线5（2011 湖北）已知O 1 与O 2 相交于 A、 B 两点，点 O1 在O 2 上，C 为O 2 上一点（不与 A， B， O1 重合） ，且是O 1 外一点，直线 CB 与O 1 交于另
15、一点 D，求证：O 1CAD 公共弦可以联通两圆中的弦、角关系，而连心线则垂直平分公共弦【板块五】圆中相关计算【知识点睛】1 弧长 180nlR2 扇形面积： 236S； 1SlR3 圆锥的侧面积： rl4阴影面积： （1）直接求；（2）转化为易求面积的和或者差 中考经典6 （2010 黄石）如图，从一个直径为 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 60的扇EHCGDBAO形 ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（ ）A 13 B 6 C 3 D 47（2011 衢州）如图，一张半径为 1 的圆形纸片在边长为 a（a3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到
16、的部分” 的面积是_8 （2011 毕节地区）如图，在ABC 中，AB =AC=10，CB =16，分别以 AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是_第 6 题图 第 7 题图 第 8 题图9 （2009 绵阳）如图，ABC 是直角边为 a 的等腰直角三角形，直角边 AB 是半圆 O1 的直径，半圆 O2 过 C 点且与半圆 O1 相切，则图中阴影部分的面积是_10如图，四边形 ABCD 是菱形 AB=10cm，ABC=60 ，分别以 ABCD 的四条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_第 9 题图 第 10 题图【板块六】圆之综合训练11如图，锐角三角形 ABC 的三个顶点都在O 上
17、， ABC 的高 AD、BE 相交于点 H（1）AD 的延长线交O 于 G，判断 HD 和 GD 的大小关系，并说明理由；（2）当ACB=60时，连结 CH，求证：CH 等于圆 O 的半径12 （2011 浙江省嘉兴分）如图，AB 是半圆直径，半径 OCAB 于点 O，AD 平分CAB 分别交 OC 于点 E，交弧 BC 于点 D，连结 CD、OD ，给出以下四个结论：S AEC=2SDEO；AC=2CD；线段 OD 是 DE 与 DA 的比例中项； ABCD2其中正确结论的序号是 OEDBA13 （2011 山东烟台）已知：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 G，E 是直线AB 上一动点
18、（不与点 A、 B、G 重合） ，直线 DE 交O 于点 F，直线 CF交直线 AB 于点 P设O 的半径为 r（1）如图 1，当点 E 在直径 AB 上时，试证明：OEOPr 2（2）当点 E 在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2 点 E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母， （1）中的结论是否成立？请说明理由 EA BCDGOPOGFEDCBA图 1 图 2PFEODCBAGPOFEDCBA14 （2011 广东肇庆）已知：如图，ABC 内接于 O，AB 为直径，CBA 的平分线交 AC 于点 F，交O 于点 D，DEAB 于点 E，且交 AC 于点 P，连结 AD （
19、1）求证：DAC=DBA；（2）求证： P是线段 AF 的中点；（3）若O 的半径为 5，AF 21，求 tanABF 的值15 （2011 浙江金华）如图，射线 PG 平分EPF，O 为射线 PG 上一点，以 O为圆心，10 为半径作O，分别与EPF 两边相交于 A、B 和 C、D ，连结OA，此时有 OAPE （1）求证：APAO ；（2）若 tanOPB = 12，求弦 AB 的长；（3）若以图中已标明的点（即 P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 16 （2011 江苏苏州）已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，以 AB
20、 为直径在正方形内作半圆，P 是半圆上的动点（不与点 A、B 重合） ，连接PA、PB、PC、PD（1）如图，当 PA 的长度等于_时，PAB=60；当 PA 的长度等于_时， PAD 是等腰三角形；yxS2S3S1(O)A BCDPPD CBA（2）如图，以 AB 边所在的直线为 x 轴，AD 边所在的直线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系（点 A 即为原点 O） ，把 PAD、PAB、 PBC 的面积分别记为 S1、S 2、S 3设 P 点坐标为（a，b） ，试求 2S1S3-S22 的最大值，并求出此时 a、b 的值图 图17 （2009 广西桂林）如图，已知直线 3:4lyx，它与
21、x轴、 y轴的交点分别为 A、B 两点（1）求点 A、点 B 的坐标；（2）设 F 是 x轴上一动点，用尺规作图作出P，使P 经过点 B 且与 x轴相切于点 F（不写作法和证明，保留作图痕迹） ；（3）设（2）中所作的P 的圆心坐标为 P（ xy， ） ，求 与 的函数关系式； （4）是否存在这样的P，既与 x轴相切又与直线 l相切于点 B，若存在，求出圆心 P 的坐标；若不存在，请说明理由xly 图1DMOBACP18 （2011 浙江湖州）如图 1，已知正方形 OABC 的边长为 2，顶点 A、C 分别在x、y 轴的正半轴上，M 是 BC 的中点P（0，m ）是线段 OC 上一动点（C点除
22、外） ，直线 PM 交 AB 的延长线于点 D（1）求点 D 的坐标（用含 m 的代数式表示） ；（2）当APD 是等腰三角形时，求 m 的值；（3）设过 P、M 、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E，过点 O 作直线ME 的垂线，垂足为 H（如图 2） 当点 P 从点 O 向点 运动时，点 H 也随之运动请直接写出点 H 所经过的路径长 （不必写解答过程）xA BV FO yxyOABCO1y=2xy=2xBAOy x19 （2010 福建福州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 2yx上，过点 B 作 x轴的垂线，垂足为 A，OA=5 若抛物线 216ybc过点 O、A两点（1）求该抛物线的解析式；（2）若 A 点关于直线 2yx的对称点为 C，判断点 C 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）如图 2，在（2）的条件下，O 1 是以 BC 为直径的圆过原点 O 作O 1 的切线 OP，P 为切点（P 与点 C 不重合） ，抛物线上是否存在点 Q，使得以 PQ 为直径的圆与O 1 相切？若存在，求出点 Q 的横坐标；若不存在，请说明理由图1 图 2
