1、高中数学必修二立体图形参考答案与试题解析一填空题（共 17 小题）1 （2014福建）要制作一个容器为 4m3，高为 1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 160 （单位：元）考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有专题： 不等式的解法及应用分析： 此题首先需要由实际问题向数学问题转化，设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求解答： 解：设池底长和宽分别为 a，b，成本为 y，则 长方形容器的容器为 4m3，高为 1m，故底面面积 S=ab=4，
2、y=20S+102（a+b）=20（a+b）+80，a+b2 =4，故当 a=b=2 时，y 取最小值 160，即该容器的最低总造价是 160 元，故答案为：160点评： 本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题2 （2014南通模拟）已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且AB=6，BC=2 ，则棱锥 OABCD 的体积为 8 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积解答： 解：矩形的对角线的长为： ，所以球
3、心到矩形的距离为：=2，所以棱锥 OABCD 的体积为： =8 故答案为：8点评： 本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型3 （2014河西区三模）已知正四棱锥 OABCD 的体积为 ，底面边长为 ，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表面积为 24 考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征菁优网版权所有专题： 压轴题；空间位置关系与距离分析： 先直接利用锥体的体积公式即可求得正四棱锥 OABCD 的高，再利用直角三角形求出正四棱锥 OABCD 的侧棱长 OA，最后根据球的表面积公式计算即得解答： 解：如图，正四棱锥 OABCD 的体积 V= sh= （
4、 ）OH= ，OH= ，在直角三角形 OAH 中，OA= = =所以表面积为 4r2=24；故答案为：24点评： 本题考查锥体的体积、球的表面积计算，考查学生的运算能力，属基础题4 （2014江苏模拟）在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若点 P 是棱上一点，则满足|PA|+|PC 1|=2 的点 P 的个数为 6 考点： 棱柱的结构特征菁优网版权所有专题： 综合题；空间位置关系与距离分析： 由题意可得点 P 是以 2c= 为焦距，以 a=1 为长半轴， 为短半轴的椭圆与正方体与棱的交点，可求解答： 解： 正方体的棱长为 1AC1= ，|PA|+|PC1|=2，点 P 是以
5、2c= 为焦距，以 a=1 为长半轴，以 为短半轴的椭圆，P 在正方体的棱上，P 应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在棱B1C1，C 1D1， CC1，AA 1，AB，AD 上各有一点满足条件故答案为：6点评： 本题以正方体为载体，主要考查了椭圆定义的灵活应用，属于综合性试题5 （2014南昌模拟）如图，正三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于点 G，已知AED 是AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：动点 A在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上；恒有平面 AGF平面 BCED；三棱锥 AFED 的体积有最大值；直线 AE
6、 与 BD 不可能垂直其中正确的命题的序号是 考点： 棱锥的结构特征菁优网版权所有专题： 阅读型分析： 由斜线的射影定理可判断正确；由面面垂直的判定定理，可判断正确；由三棱锥的体积公式，可判断正确；由异面直线所成的角的概念可判断不正确解答： 解：解答： 解：过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC 及其内切圆 O1 和外切圆O 2，且两圆同圆心，即ABC 的内心与外心重合，易得 ABC 为正三角形，由题意O 1 的半径为 r=1，ABC 的边长为 ，圆锥的底面半径为 ，高为 3， 故答案为：3点评： 本题考查的知识点是旋转体，圆锥的体积，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高，是解答的关键7 （2014
7、宝山区二模）已知圆锥的母线长为 5，侧面积为 15，则此圆锥的体积为 12 （结果保留 ） 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离分析： 设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h，根据侧面积公式算出底面半径r=3，用勾股定理算出高 h= =4，代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积解答： 解：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l，高为 h圆锥的母线长为 l=5，侧面积为 15， lr=15，解之得底面半径 r=3因此，圆锥的高 h= =4圆锥的体积为：V= r2h= 94=12故答案为：12点评： 本题给出圆锥母线长和侧面积，求它的体积，着重考查了
8、圆锥的侧面积公式和体积公式等知识，属于基础题8 （2014达州二模）如图， ABC 与 ACD 都是等腰直角三角形，且AD=DC=2，AC=BC，平面 DAC平面 ABC，如果以 ABC 平面为水平平面，正视图的观察方向与 AB 垂直，则三棱锥 DABC 左视图的面积为 考点： 简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题： 计算题分析： 几何体的左视图是一个三角形，三角形的一条边长是 DC，过 C 向 AB 做垂线，连接 D 与垂足 F，这个三角形底边 CF 长度就是左视图三角形的底边长度，左视图的高即棱锥顶点 D 到底面的距离，根据条件中数据做出面积解答： 解：由题意知几何体的左视图是一个三角形
9、，三角形的一条边长是 DC，过 C 向 AB 做垂线，垂足为 F，连接 D 与垂足 F，这个三角形的投影就是左视图，左视图三角形，由图形及勾股定理可知 CF 的长度为 1，即左视图底边长为 1，D 到底面的距离是 ，故左视图的高是 ，三角形的面积是 ，故答案为：点评： 本题考查简单空间图形的三视图，考查根据几何图形得到三视图，并且求出三视图的面积，本题是一个基础题，运算量不大9 （2014河东区一模）三棱柱三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形）如图所示，则这个三棱柱的全面积等于 12+4 考点： 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有专题： 计算题；空间位置关系与距离
10、分析： 根据三视图复原的几何体的形状，通过已知的三视图的数据，求出几何体的表面积解答： 解：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为 2 的等腰直角三角形，高为 2 的三棱柱所以几何体的表面积为：S 底 +S 侧 = 故答案为： 点评： 本题主要考查三视图的应用，利用三视图得到空间几何体的直观图，是解决三视图问题的基本方法10 （2014虹口区三模）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 3：1：2 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有专题： 计算题；压轴题分析： 由已知中一个圆柱和一个圆锥
11、的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案解答： 解：设球的半径为 R，则圆柱和圆锥的高均为 2R，则 V 圆柱 =2R3，V 圆锥 = R3，V 球 = R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2点评： 本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键11如图所示的等腰直角三角形，表示一个水平放置的平面图形的平面直观图，则这个平面图形的面积是 考点： 平面图形的直观图菁优网版权所有专题： 计算题分析： 可根据直观图和原图面积之
12、间的关系求解，也可作出原图，直接求面积解答： 解：由题意，直观图的面积为 =1，因为直观图和原图面积之间的关系为 ，故原ABO 的面积是 2 故答案为：点评： 本题考查斜二测画法及斜二测画法中原图和直观图面积之间的联系，考查作图能力和运算能力12如图，正方形 OABC的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 考点： 平面图形的直观图菁优网版权所有专题： 计算题分析： 由已知中正方形 O1A1B1C1 的边长为 1，我们易得直观图的面积为 1，又由它是一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图，可以根据原几何图形的面积：直观图的面积=2 ：1，快速的计算出答案解答： 解：
13、由于原几何图形的面积：直观图的面积=2 ：1又 正方形 O1A1B1C1 的边长为 1，SO1A1B1C1=1原图形的面积 S=2故答案为：2点评： 本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中原几何图形的面积：直观图的面积=2 ：1，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化13 （2012上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有专题： 计算题分析： 通过侧面展开图的面积求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可解答： 解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，因为 4=l2，所以 l=2，
14、半圆的弧长为 2，圆锥的底面半径为 2r=2，r=1，所以圆锥的体积为： = 故答案为： 点评： 本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力14 （2012上海）一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，该圆柱的表面积为 6 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有专题： 计算题分析： 求出圆柱的底面半径，然后直接求出圆柱的表面积即可解答： 解：因为一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2，所以它的底面半径为：1，所以圆柱的表面积为 S=2S 底 +S 侧 =212+22=6故答案为：6点评： 本题考查旋转体的表面积的求法，考查计算能力15 （2009山东模拟）
15、如图 2，一个圆锥形容器的高为 a，内装有一定量的水如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为 （如图 2） ，则图 2中的水面高度为 a 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 菁优网版权所有专题： 压轴题；空间位置关系与距离分析： 圆锥正置与倒置时，水的体积不变，另外水面是平行于底面的平面，此平面截得的小圆锥与原圆锥成相似体，它们的体积之比为对应高的立方比解答： 解：令圆锥倒置时水的体积为 V，圆锥体积为 V则 =正置后：V 水 = V则突出的部分 V 空 = V设此时空出部分高为 h，则h3： ，故水的高度为：a故答案为：a点评： 此题若用 V 水 =V 台 计算是比较麻烦的，因为台体的上底面
16、半径还需用 导出来，我们用 V 水 =V 锥 V 空 ，而 V 空 与 V 锥 的体积之间有比例关系，可以直接求出16 （2012松江区三模）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2，且侧棱AA1面 A1B1C1，正视图是边长为 2 的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为 2 考点： 简单空间图形的三视图菁优网版权所有专题： 计算题分析： 三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边上的高，在边长是 2 的等边三角形中做出底边上的高的长度，得到结果解答： 解：由题意知三棱柱的左视图是一个矩形，矩形的长是三棱柱的侧棱长，宽是底面三角形的一条边
17、上的高，在边长是 2 的等边三角形中，底边上的高是 = ，侧视图的面积是 2故答案为：2点评： 本题考查简单的空间图形三视图，考查三视图的面积的计算，考查通过原图观察三视图的大小，本题是一个易错题，易错点在侧视图的宽，错成底边的边长17 （2011徐汇区三模）在一个水平放置的底面半径为 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为 Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 Rcm，则 R= cm考点： 球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题： 计算题分析： 求出球的体积等于水面高度恰好上升 Rcm 的体积，即可求出 R 的值解答： 解：在一个
18、水平放置的底面半径为 cm 的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为 Rcm 的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升 Rcm，所以， ，所以 R= （cm） ；故答案为： 点评： 本题是基础题，考查球的体积，圆柱的体积的求法，考查计算能力二解答题（共 3 小题）18 （2014松江区二模）如图， ABC 中，ACB=90，ABC=30 ，BC= ，在三角形内挖去一个半圆（圆心 O 在边 BC 上，半圆与 AC、AB 分别相切于点 C、M，与 BC 交于点 N） ，将 ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴
19、影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离分析： 根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与 AC 长，再利用面积公式与体积公式计算即可解答： 解：（1）连接 OM，则 OMAB设 OM=r，OB= r，在BMO 中，sin ABC= = r=S=4r2= （2）ABC 中， ACB=90， ABC=30，BC= ，AC=1V=V 圆锥 V 球 = AC2BC r3= = 点评： 本题考查旋转体的表面积与体积的计算S球 =4r2；V 圆锥 = r319如图，已知某几
20、何体的三视图如下（单位：cm） （1）画出这个几何体的直观图（不要求写画法） ；（2）求这个几何体的表面积及体积考点： 空间几何体的直观图；由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题： 计算题；作图题分析： （1）根据三视图的画出，进行复原画出几何体的图形即可（2）几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体，求出底面面积，然后求出体积即可解答： 解：（1）这个几何体的直观图如图所示（2）这个几何体可看成是正方体 AC1 及直三棱柱 B1C1QA1D1P 的组合体由 PA1=PD1= ，A 1D1=AD=2，可得 PA1PD1故所求几何体的表面积S=522+2 21+2
21、 2=22+4 （cm 2） ，所求几何体的体积 V=23+ （ ） 22=10（cm 3） 点评： 本题考查三视图复原几何体，画出中逐步按照三视图的作法复原，考查空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，转化思想，是中档题20某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 1 所示墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体 ABCDEFGH图 2、图 3 分别是该标识墩的正视图和俯视图（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积考点： 简单空间图形的三视图；由三视图求面积、体积菁优网版权所有专题： 计算题；作图题分析： （1）由于墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH，下半部分是长方
22、体ABCDEFGH，故其正视图与侧视图全等（2）由三视图我们易得，底面为边长为 40cm 的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为 60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果解答： 解：（1）该安全标识墩侧视图如图所示（2）该安全标识墩的体积V=VPEFGH+VABCDEFGH= 404060+404020=64000（cm 3） 点评： 根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为 N 棱锥（N 值由另外
23、一个视图的边数确定） ；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定） ；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为 N 棱柱（N 值由另外一个视图的边数确定） ；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台AD=AE，ABC 是正三角形，A 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上，故正确由知，平面 AGF 一定过平面 BCED 的垂线，恒有平面 AGF平面 BCED，故正确三棱锥 AFED 的底面积是定值，体积由高即 A到底面的距离决定，当
24、平面 ADE平面 BCED 时，三棱锥 AFED 的体积有最大值，故 正确当（AE） 2+EF2=（A F） 2 时，面直线 AE 与 BD 垂直，故不正确故正确答案点评： 本题考查了线面、面面垂直的判定定理、性质定理的运用，考查了空间线线、线面的位置关系及所成的角的概念，考查了空间想象能力，属基础题6 （2014长春三模）若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 1，则圆锥的体积为 3 考点： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台） ；球的体积和表面积菁优网版权所有专题： 空间位置关系与距离分析： 过圆锥的旋转轴作轴截面，得ABC 及其内切圆 O1 和外切圆O 2，且两圆同圆心，即ABC 的内心与外心重合，易得 ABC 为正三角形，由题意O 1 的半径为 r=1，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案
